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高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)空间几何体的结构特征及其三视图和直观图 理 北师大版


第一节

空间几何体的结构特征及其三视图和直观图

【考纲下载】F 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中 简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识 别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图 形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等没有 严格要求).

1.空间几何体的结构特征 (1)多面体 ①棱柱的侧棱都互相平行,上下底面是互相平行且全等的多边形. ②棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. ③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上下底面是相互平行且相似的多边形. (2)旋转体 ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到. ②圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到. ③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到,也可由平行于 圆锥底面的平面截圆锥得到. ④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 2.三视图 (1)三视图的名称 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图. (2)三视图的画法 ①画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线. ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几 何体得到的正投影图. 3.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 45°,z′轴 与 x′轴和 y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的 线段在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半. 1.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗? 提示:

不一定.如图所示,尽管几何体满足了两个平面平行且其余各面都是平行四边形,但不 能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行.
-1-

2.正方体的正视图、侧视图、俯视图一定相同吗? 提示:由于正视图的方向没确定,因此正视图、侧视图、俯视图不一定相同.

1.下列说法正确的是( ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 解析:选 D 由棱柱和棱锥的概念可知,A、B、C 均错误.由于棱台是平行于棱锥底面的 平面截棱锥,截面与底面之间的部分,故棱台各侧棱的延长线交于一点. 2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 解析:选 C 由球的性质可知,用平面截球所得的截面都是圆面. 3.如图所示,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 解析:选 C 正方体的三个视图都相同;正三棱台的三个视图都不同;圆锥的正视图和侧 视图相同;正四棱锥的正视图和侧视图相同. 4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来 的图形是( )

解析:选 A 由直观图的画法可知,落在 y 轴上的对角线的长度为 2 2. 5.有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个( )

A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 解析:选 A 从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但大小不一样,可以判断是棱台.

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考点一

空间几何体的结构特征

[例 1] 下列结论中正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆 锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 [自主解答] A 错误.如图 1 所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体, 各面都是三角形,但它不是棱锥. B 错误.如图 2 所示,若△ABC 不是直角三角形,或是直角三角形但旋转轴不是直角边, 所得的几何体都不是圆锥.

图1

图2 C 错误.若六棱锥的所有棱都相等,则底面多边形是正六边形.但由几何图形知,若以正 六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.故选 D. [答案] D 【方法规律】 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型, 在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判 定. (2)通过反例对结构特征进行辨析, 即要说明一个命题是错误的, 只要举出一个反例即可. 给出下列四个命题: ①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱; ②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体; ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥; ④长方体一定是正四棱柱. 其中正确的命题个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 A 反例:①直平行六面体底面是菱形,满足条件但不是正棱柱;②底面是等腰 梯形的直棱柱,满足条件但不是长方体;③若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边 长,故③中不能组成正六棱锥;④显然错误,故选 A. 高频考点 考点二 空间几何体的三视图

1.空间几何体的三视图是每年高考的热点,题型为选择题或填空题,难度适中,属中档 题.

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2.高考对三视图的考查常有以下几个命题角度: (1)由几何体的直观图求三视图; (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图; (3)由几何体的三视图还原出几何体的形状. [例 2] (1)(2013·四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以 是( )

(2)(2013·湖南高考)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正 方体的正视图的面积不可能等于( ) 2-1 2+1 A.1 B. 2 C. D. 2 2 (3)(2013·新课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ?xyz 中的坐标分别 是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为 投影面,则得到的正视图可以为( )

[自主解答] (1)由于俯视图是两个圆,所以排除 A,B,C,故选 D. (2)由题可知正方体的底面与水平面平行,先把正方体正放,然后将正方体按某一侧棱逆 时针旋转,易知当正方体正放时,其正视图的面积最小,为 1×1=1;当正方体逆时针旋转 2-1 45°时,其正视图的面积最大,为 1× 2= 2.而 <1,所以正方体的正视图的面积不可 2 2-1 . 2 (3)设 O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以 O、A、B、C 为顶点的四面体补 成一正方体后,由于 OA⊥BC,所以该几何体以 zOx 平面为投影面的正视图为 A. [答案] (1)D (2)C (3)A 能等于

三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的 部分用实线,不能看到的部分用虚线表示. (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测
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直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项 逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合. (3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图 的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图. 1.底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为 2,当其正视图有最大面积时,其侧视图的 面积为( ) A.2 3 B.3 C. 3 D.4

解析:选 A 当正视图的面积达到最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积,可以按如图 所示位置放置,此时侧视图的面积为 2 3. 2.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )

解析:选 D A 图是两个圆柱的组合体的俯视图;B 图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体 的俯视图;C 图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图,采用 排除法,故选 D. 3.一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为( )

A.2+ 3

D.4+ 3 1 2 解析:选 D 依题意得,该几何体的侧视图的面积等于 2 + ×2× 3=4+ 3. 2 考点三 [例 3] 空间几何体的直观图

B.1+ 3

C.2+2 3

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如图所示,△A′B′C′是△ABC 的直观图,且△A′B′C′是边长为 a 的正三角形,求△ ABC 的面积. [自主解答]

建立如图所示的坐标系 xOy′,△A′B′C′的顶点 C′在 y′轴上,A′B′边在 x 轴上, 把 y′轴绕原点逆时针旋转 45°得 y 轴, 在 y 轴上取点 C 使 OC=2OC′, A、B 点即为 A′、B′ 点,长度不变. OC′ A′C′ 已知 A′B′=A′C′=a,在△OA′C′中,由正弦定理得 = , sin∠OA′C′ sin 45° sin 120° 6 所以 OC′= a= a,所以原三角形 ABC 的高 OC= 6a, sin 45° 2 1 6 2 所以 S△ABC= ×a× 6a= a . 2 2 【互动探究】 若本例改为“已知△ABC 是边长为 a 的正三角形,求其直观图△A′B′C′的面积”.应 如何求? 3 1 2 6 解:由斜二测画法规则可知,直观图△A′B′C′一底边上的高为 a× × = a, 2 2 2 8 1 6 6 2 故其面积 S△A′B′C′= a× a= a . 2 8 16 【方法规律】 平面图形的直观图与原图形面积的两个关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系: 2 S 直观图= S 原图形,S 原图形=2 2S 直观图.记住上述关系,解题时能起到事半功倍的作用. 4

有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示), ∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________.

解析:如图①,在直观图中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E, 2 则在 Rt△ABE 中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE= . 2 而四边形 AECD 为矩形,AD=1,∴EC=AD=1. 2 ∴BC=BE+EC= +1.由此可还原原图形如图②. 2

-6-

图② 2 在原图形中,A′D′=1,A′B′=2,B′C′= +1,且 A′D′∥B′C′,A′B′⊥ 2 B′C′, 1 1 ? 2 2? ∴这块菜地的面积为 S= (A′D′+B′C′)·A′B′= ×?1+1+ ?×2=2+ . 2 2 ? 2 2? 答案:2+ 2 2

图①

————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— ?1 个特征——三视图的长度特征 “长对正,宽相等,高平齐”,即正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长, 侧视图和俯视图一样宽. ?2 个概念——正棱柱、正棱锥的概念 (1)正棱柱: 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱, 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 反 之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正 多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫做正四面体. ?3 个注意点——画三视图应注意的三个问题 (1)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚 线的画法. (2)确定正视、侧视、俯视的方向,观察同一物体方向不同,所画的三视图也不同. (3)观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的,并注意它们的组成方式,特别是它们 的交线位置.

易误警示(十) 三视图识图中的易误辨析 [典例] (2012·陕西高考)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到如图 2 所示的 几何体,则该几何体的侧视图为( )

[解题指导] 依据三视图的画法规则作出判断,并注意实线与虚线的区别.
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[解析] 侧视图中能够看到线段 AD1,应画为实线,而看不到 B1C,应画为虚线.由于 AD1 与 B1C 不平行,投影为相交线,故应选 B. [答案] B [名师点评] 1.因对三视图的原理认识不到位,区分不清选项 A 和 B,而易误选 A. 2.因对三视图的画法要求不明而误选 C 或 D.在画三视 图时,分界线和可见轮廓线都用实线画,被遮住的部分的轮廓线用虚线画. 3.解答此类问题时,还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视 图.在复习时要明确三视图的含义,掌握“长对正、宽相等、高平齐”的要求. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,侧视图是有一 直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为( )

解析:选 C 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”,故正视图的高一定是 2,正视 图和俯视图“长对正”,故正视图的底面边长为 2,根据侧视图中的直角说明这个空间几何体 最前面的面垂直于底面,这个面遮住了后面的一个侧棱,综合以上可知,这个空间几何体的 正视图可能是 C.

[全盘巩固] 1.以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( ) A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解析:选 A 画几何体的三视图要考虑视角,但对于球无论选择怎样的视角,其三视图总 是三个全等的圆. 2.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( ) A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 解析:

选 D 球、正方体的三视图形状都相同,大小均相等,首先排除选项 A 和 C.对于如图所 示三棱锥 O?ABC,当 OA、OB、OC 两两垂直且 OA=OB=OC 时,其三视图的形状都相同,大小均 相等,故排除选项 B.不论圆柱如何放置,其三视图的形状都不会完全相同,故选 D. 3.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角均为 45°,腰和上底均为 1 的等 腰梯形,那么原平面图形的面积是 ( ) 1+ 2 2+ 2 A.2+ 2 B. C. D.1+ 2 2 2
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解析:选 A 由题意画出斜二测直观图及还原后原图,由直观图中底角均为 45°,腰和 上底长均为 1, 得下底长为 1+ 2, 所以原图是上、 下底分别为 1,1+ 2, 高为 2 的直角梯形. 所 1 以面积 S= ×(1+ 2+1)×2=2+ 2. 2

4.某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示,则在图乙的四个图中可以作为该几何体的 俯视图的是( )

A.(1)(3) B.(1)(3)(4) C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(3)(4) 解析:选 A 若图(2)是俯视图,则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切, 故图(2)不合要求;若图(4)是俯视图,则正视图和侧视图不相同,故图(4)不合要求,故选 A. 5.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,选项中不可能是该锥体的俯视图的是( )

解析:选 C 若俯视图是等边三角形且为图中的位置,则正视图是等腰三角形,且高线是 实线,故选 C. 6. 一个几何体的三视图如图所示,其正视图的面积等于 8,俯视图是一个面积为 4 3的 正三角形,则其侧视图的面积为( )

A.4 3 B.8 3 C.8 2 D.4 解析:选 A 由三视图知该几何体是正三棱柱,设其底面边长为 a,高为 h,则其正视图

-9-

为矩形, 矩形的面积 S1=ah=8, 俯视图为边长为 a 的正三角形, 三角形的面积 S2= 则 a=4,h=2,而侧视图为矩形,底边为

3 2 a =4 3, 4

3 3 a,高为 h,故侧视图的面积为 S= ah=4 3. 2 2 7. 如图所示, 在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中, 点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点, 则三棱锥 P?ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________.

解析:三棱锥 P?ABC 的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形,故它们的面积相等, 面积比值为 1. 答案:1 8. 对于长和宽分别相等的两个矩形,给出下列三个命题: ①存在三棱柱,其正视图、俯视图如图所示; ②存在四棱柱,其正视图、俯视图如图所示; ③存在圆柱,其正视图、俯视图如图所示. 其中为真命题的是________(填序号).

解析:只要把底面为等腰直角三角形的直三棱柱的一个侧面放在水平面上,就可以使得 这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求,故命题①是真命题;把一个正四棱柱的一个侧面放 置在水平面上,即可使得这个四棱柱的正视图和俯视图符合要求,故命题②是真命题;只要 把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求,故命题③也是真命题. 答案:①②③ 9.已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中 AB=AC,四边形 BCDE 为矩形),则该组合 体的俯视图可以是________(把正确的图的序号都填上).

解析:几何体由四棱锥与四棱柱组成时,得①正确;几何体由四棱锥与圆柱组成时,得 ②正确; 几何体由圆锥与圆柱组成时, 得③正确; 几何体由圆锥与四棱柱组成时, 得④正确. 故 填①②③④. 答案:①②③④ 10.已知:图①是截去一个角的长方体,试按图示的方向画出其三视图;图②是某几何 体的三视图,试说明该几何体的构成.

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解:图①几何体的三视图为:

图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体. 11.正四棱锥的高为 3,侧棱长为 7,求侧面上的斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少?

解:如图所示,在正四棱锥 S?ABCD 中,高 OS= 3,侧棱 SA=SB=SC=SD= 7, 2 2 在 Rt△SOA 中,OA= SA -OS =2,∴AC=4.∴AB=BC=CD=DA=2 2. 作 OE⊥AB 于 E,则 E 为 AB 的中点.连接 SE,则 SE 即为斜高, 1 在 Rt△SOE 中,∵OE= BC= 2,SO= 3,∴SE= 5,即侧面上的斜高为 5. 2 12.已知正三棱锥 V?ABC 的正视图、侧视图和俯视图,如图所示.

(1)画出该三棱锥的直观图; (2)求出侧视图的面积.

解:(1)如图所示. (2)根据三视图间的关系可得 BC=2 3,∴侧视图中 VA= 3 ?2 ?2 2 4 -? × ×2 3? =2 3, ?3 2 ?

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1 ∴S△VBC= ×2 3×2 3=6. 2 [冲击名校] 1.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面中面积的最大值是(

)

A.8 B.6 2 C.10 D.8 2 解析: 选 C 由三视图可知, 该几何体的四个面都是直角三角形, 面积分别为 6,6 2, 8,10, 所以面积最大的是 10. 2.已知一几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正方形,在该 几何体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,这些几何形体是 ________(写出所有正确结论的序号).

①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体; ④每个面都是等腰三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 解析:由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为 a,高为 b 的长方体,这四个顶点 的几何形体若是平行四边形,则一定是矩形,故②不正确.故填①③④⑤. 答案:①③④⑤

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