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四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考数学(理)试题


成都实验外国语高 2015 届(高三)11 月考题数学理科卷 成都实验外国语学校 赵光明

第 I 卷(选择题,50 分)
一、选择题(每小题 5 分,10 小题,共 50 分,每小题只有一个选项符合要求)

1. 若集合 M ? {x | x 2 ? 1} , N ? {x | y ?
A. N B. M
<

br />1 ,则 M ? N =D } x

C. ?

D. {x | 0 ? x ? 1}

2.下列结论正确的是 C A.若向量 a // b ,则存在唯一的实数 λ 使得 a ? λb ; B.已知向量 a, b 为非零向量,则“ a, b 的夹角为钝角”的充要条 件是“ a ? b ? 0 ” ; C. “若 θ ?

π π 1 1 , 则c 的否命题为 “若 θ ? , 则c ; o s θ? ” o s θ? ” 3 3 2 2
2

2 D. 若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 , 则 ?p :?x? R x , ? x? ? 1 0

9 3.某程序框图如图 1 所示,若该程序运行后输出的值是 ,则 C 5 A. a ? 6 B. a ? 5 C. a ? 4 D. a ? 7
4.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S15 为一确定常数,下列各式也 为确定常数的是( C ) A. a2 ? a13 B. a2 a13 C. a1 ? a8 ? a15 D. a1a8a15

5、某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、 俯视图都是边长为 1 的正方形,则此四面体的外接 球的表面积为 A A. 3? B. 4? C. 2? D.

5 ? 2

正视图

侧视图

俯视图

6.若(9x- )n(n∈N )的展开式中第 3 项的二项式系数为 36,则其展开式中的常数 3 x
*

1

项为 A A.84 值范围是 ( D )

B.-252

C.252

D.-84

7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在线段 AD1 上运动,则异面直线 CP 与 BA1 所成的角的取

A.

B.

C.

D.

8 . 如 图 所 示 , 在 ?ABC 中 , AD ? DB , F 在 线 段 CD 上 , 设 AB ? a , AC ? b ,

AF ? xa ? yb ,则 1 4 的最小值为 D ? x y
A. 6+2 2 C. 9 B. 9 3 D. 6+4 2

C

F

A

D

B

?x-[x],x≥0 9.设函数 f(x)=? 其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[- ?f(x+1),x<0, 1 1 1.3]=-2,[1.3]=1,则函数 y=f(x)- x- 不同零点的个数为(B) 4 4
A.2 B.3 C.4 D.5

10.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) , 给出定义: 设 f ?( x ) 是函数 y ? f ( x) 的 导数, f ??( x ) 是 f ?( x ) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函 数 y ? f ( x) 的“拐点”。经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次 函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。设函数 g ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,则 3 2 12

? 1 ? ? 2 ? ? 2013? g? ? ? g? ? ? ...... ? g ? ? ? 2014 ? ? 2014 ? ? 2014 ?
A. 2011 B. 2012 C. 2013

C D. 2014

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(5 分每题,14、15、16 任选两题)
11.设复数

1? i ? x ? yi ,其中 x, y ? R ,则 x ? y ? ______.-2/5 2?i
2 2

12.直线 ax ? by ? a ? b ? 0与圆x ? y ? 2 的位置关系为-----------相交或相切 13.无重复数字的五位数 a1a2a3a4a5 , 当 a1<a2, a2>a3, a3<a4, a4>a5 时称为波形数,则由 1,2,3,4,5 任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率为 2/15

?x ? y ? 2 ? 0 ? 14 、 动 点 P( a, b) 在 不 等 式 组 ? x ? y ? 0 表 示 的 平 面 区 域 内 部 及 其 边 界 上 运 动 , 则 ? y?0 ?

w?

a ?b?3 的取值范围是 a ?1

. (??, ?1] ? [3, ??)

15. 若数列 {a n } 满足: 存在正整数 T , 对于任意正整数 n 都有 an ?T ? an 成立, 则称数列 {a n }

?an ? 1, an ? 1, ? 为周期数列,周期为 T . 已知数列 {a n } 满足 a1 ? m (m ? 0) , an ?1 = ? 1 现给 0 ? an ? 1. ?a , ? n
出以下命题: ① 若 a3 ? 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值 为 3 的数列 ③?T ? N* 且 T ? 2 ,存在 m ? 1 , {an } 是周期为 T 的数列 ④ ? m ? Q 且 m ? 2 , 数 列 {a n } 是 周 期 数 列 。 其 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是 (3) . (1) (2) ② 若 m ? 2 ,则数列 {a n } 是周期

三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤或 推理过程 16. (本小题 12 分)已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)当 x ? ? ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? x ? R ? 2 2

? ? 5? ? , ? 时,求函数 f ? x ? 取得最大值和最小值时 x 的值; ? 12 12 ? (Ⅱ)设锐角 ?ABC 的内角 A、B、C 的对应边分别是 a , b, c ,且 a ? 1, c ? N * ,若向量 m ? ?1, sin A? 与向量 n ? ?2, sin B ? 平行,求 c 的值。

解:(1)

………………………..3 分



……..4 分

所以当



取得最大值;





取得最小值;………..6 分

(2)因为向量 所以

与向量 ,

平行, …………….8 分

由余弦定理 ,又 分

, ,经检验符合三角形要求 ………..12

17.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ......? na n ? (1)求数列 {an } 的通项 a n ;

n ?1 a n ?1 (n ? N ? ) 2

(2)若存在 n ? N ,使得 an ? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值.
*

? 1, n ? 1 ? 解: (1) an ? ? 2 n ? 2 ?3 , n ? 2 ? ?n
(2) an ? ? n ? 1? ? ? ? ?

?????? 6 分

an a 2 ? 3n?2 , 由(1)可知当 n ? 2 时, n ? , n ?1 n ? 1 n ? n ? 1?
?????? 8 分

设 f ? n? ?

n ? n ? 1? ? n ? 2, n ? N * ? 2 ? 3n

则 f ? n ? 1? ? f ? n ? ?

2 ? n ? 1??1 ? n ? 1 1 1 1 ? 及 ? 0,? ? ? n ? 2? 又 n ?1 f ? 2? 3 2?3 f ? n ? 1? f ? n ?

a1 1 1 ? ,所以所求实数 ? 的最小值为 -----------------12 分 3 2 2 18.(本小题满分 13 分)
某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动:在一个不透明的口袋中装入外形一样号 码分别为 1,2,3,?,10 的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球,三球号码有且 仅有两个连号的为三等奖,奖金 30 元;三球号码都连号为二等奖,奖金 60 元;三球号 码分别为 1,5,10 为一等奖,奖金 240 元;其余情况无奖金。 (Ⅰ)求员工甲抽奖一次所得奖金 ξ 的分布列与期望; (Ⅱ)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会,他得奖次数 的方差是多少? 18、 (Ⅰ)甲抽奖一次,基本事件总数为 C10 =120,奖金 ξ 的所有可能取值为 0,30,60,240. 一等奖的情况只有一种,所以奖金为 240 元的概率为 P(ξ=240)=
3

1 120

三球连号的情况有 1,2,3;2,3,4;……8,9,10 共 8 种,所以 P(ξ=60)=

8 1 ? 120 15

仅有两球连号中,对应 1,2 与 9,10 的各有 7 种;对应 2,3;3,4;……8,9 各有 6 种。

7? 2 ? 6?7 7 ? 120 15 1 1 7 11 ? ? ? 奖金为 0 的概率为 P(ξ=0)= 1 ? 120 15 15 24
得奖金 30 的概率为 P(ξ=30)= ξ 的分布列为: ξ P 0 30 60 240

11 24

7 15

1 15

1 120
6分

E? ? 0 ?

11 7 1 1 ? 30 ? ? 60 ? ? 240 ? ? 20 24 15 15 120
11 13 ? 24 24

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得乙一次抽奖中中奖的概率为 P= 1 ?

10 分

四次抽奖是相互独立的, 所以中奖次数 η~B(4, 13 )故

24
19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC , AB ? AD , AB ? PA , BC ? 2 AB ? 2 AD ? 4 BE ,平面 PAB ? 平面 ABCD . (Ⅰ)求证:平面 PED ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为
5 ,求二面角 A ? PC ? D 的平面角的余弦值. 5

D? ? 4 ?

13 11 143 .12 分 ? ? 24 24 144

19.法一(Ⅰ)取 AD 中点 F ,连接 BF ,则 FD / /BE , ∴四边形 FBED 是平行四边形,∴ FB // ED BA CB ? ?2 ∵直角△ BAF 和直角△ CBA 中, AF BA ∴直角△ BAF 直角△ CBA ,易知 BF ? AC ∴ ED ? AC 2分 ∵平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAB 平面 ABCD ? AB
AB ? PA ∴ PA ? 平面 ABCD ∴ PA ? ED , ∵ PA AC ? A

4分 5分 6分

∴ ED ? 平面 PAC . ∴平面 PED ? 平面 PAC .

(Ⅱ)设 ED 交 AC 于 G ,连接 PG ,则 ?EPG 是直线 PE 与平面 PAC 所成的角.设 BE ? 1 由△ AGD △ CGE ,知

DG AD 2 ? ? , GE EC 3

∵ AB ? AD ? 2
3 3 5 2 5 ∴ EG ? DE ? , DG ? 5 5 5

∵∴ PE ? 3 , AE ? 5 , PA ? PE 2 ? AE 2 ? 2

9分

作 GH ? PC 于 H ,由 PC ? DE ,知 PC ? 平面 HDG , ∴ PC ? DG , A ? PC ? D ?GHD ∴ 是 二 面 角 10 分 ∵△ PCA △ GCH , ∴









.

PA PC 6 5 ? ,而 GC ? CE 2 ? EG 2 ? GH GC 5
PA ? GC 30 ? PC 5 6 , 3 15 , 5 15 . 5

∴ GH ?

∴ tan ?GHD ? ∴ cos ?GHD ?

即二面角 A ? PC ? D 的平面角的余弦值为 法二: (Ⅰ)∵平面 PAB ? 平面 ABCD , 平面 PAB 平面 ABCD ? AB , AB ? PA

12 分

∴ PA ? 平面 ABCD 又∵ AB ? AD ,故可如图建立空间直角坐标系 o ? xyz 2分 由已知 D(0, 2, 0) , E (2, 1, 0) , C (2, 4, 0) , P(0, 0, ? ) ( ? ? 0 ) ∴ AC ? (2, 4, 0) , AP ? (0, 0, ? ) , DE ? (2, ? 1, 0) ∴ DE ? AC ? 4 ? 4 ? 0 ? 0 , DE ? AP ? 0 , ∴ DE ? AC , DE ? AP , ∴ ED ? 平面 PAC . ∴平面 PED ? 平面 PAC 4分 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,平面 PAC 的一个法向量是 DE ? (2, ? 1, 0) , PE ? (2, 1, ? ? ) 设直线 PE 与平面 PAC 所成的角为 ? , ∴ sin ? ? | cos ? PE , DE ? | ? | ∵? ? 0 ∴ ? ? 2 ,即 P(0, 0, 2)
4 ?1 5 5 ? ?2 |? 5 , ? ? ?2 5

8分

设平面 PCD 的一个法向量为 n ? ( x0 , y0 , z0 ) , DC ? (2, 2, 0) , DP ? (0, ? 2, 2) 由 n ? DC , n ? DP
?2 x ? 2 y0 ? 0 ∴? 0 ,令 x0 ? 1 ,则 n ? (1, ? 1, ? 1) ??2 y0 ? 2 z0 ? 0

10 分

∴ cos ? n , DE ? ?

2 ?1 3? 5

?

15 5

11 分

显然二面角 A ? PC ? D 的平面角是锐角, ∴二面角 A ? PC ? D 的平面角的余弦 20.(本小题 13 分)

12 分

设椭圆 E 中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴长为 4,点 Q(2, 2 )在椭圆上。 (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 L 交椭圆 E 于 A、B 两点,且 OA ? OB ,求△OAB 的面积的取值范围。 (3)过 M( x1 , y1 )的直线 l1 : x1 x ? 2 y1 y ? 8 2 与过 N( x 2 , y 2 )的直线 l 2 :

x 2 x ? 2 y 2 y ? 8 2 的交点 P( x0 , y 0 )在椭圆 E 上,直线 MN 与椭圆 E 的两准线分别交于 G,
H 两点,求 OG ? OH 的值。 20 解:(1)因为椭圆 E:
? ?? ? ??

x2 y2 ? ? 1(a>b>0)过 M(2, 2 ) ,2b=4 a 2 b2
椭圆 E 的方程为

故可求得 b=2,a=2 2

x2 y2 ? ?1 8 4

-------------3 分

(2)设 P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2) ,当直线 L 斜率存在时设方程为 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 2 解方程组 ? x 2 y 2 得 x ? 2(kx ? m) ? 8 ,即 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 , ?1 ? ? 4 ?8
则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 8k ? m ? 4 ? 0 ()
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ?0, 要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2 所以 3m ? 8k ? 8 ? 0 , 即 m ?

2

8k 2 ? 8 3



将它代入()式可得 k ?[0, ??)
2

P 到 L 的距离为 d ?

|m| 1? k 2

?S ?


1 1 |m| | AB | d ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 2 2 1? k 2

?

1 m 2 [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 2
8k 2 ? 8 8 k2 及韦达定理代入可得 S ? 1? 4 3 3 4k ? 4k 2 ? 1

m2 ?


① 当k ? 0时 S ?

8 k2 8 1 1? 4 ? 1? 2 1 3 4k ? 4k ? 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 k
故S ?

由 4k ?
2

1 ? [4, ?? ) k2

8 1 8 1? ? ( , 2 2] 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 3 k

② 当 k ? 0 时, S ?

8 3

③ 当 AB 的斜率不存在时, S ?

8 ?8 ,综上 S ? ? , 2 2 ? --------------8 分 ? 3 ?3

(3)点 P( x 0 , y 0 )在直线 l1 : x1 x ? 2 y1 y ? 8 2 和 l 2 : x 2 x ? 2 y 2 y ? 8 2 上,

x1 x0 ? 2 y1 y0 ? 8 2 , x2 x0 ? 2 y2 y0 ? 8 2

故点 M( x1 , y1 )N( x 2 , y 2 )在直线 x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 上 故直线 MN 的方程, x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 上 设 G,H 分别是直线 MN 与椭圆准线, x ? ?4 的交点 由 x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 和 x ? ?4 得 G(-4,

4 2 ? 2 x0 ) y0

由 x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 和 x ? 4 得 H(4,
? ?? ? ??

4 2 ? 2 x0 ) y0

故 OG ? OH =-16+

32 ? 4 x0 y0
2

2

又 P( x 0 , y 0 )在椭圆 E:
2 2

x2 y2 ? ?1 8 4

x y 2 2 有 0 ? 0 ? 1 故 4x0 ? 32 ? 8 y0 8 4
OG ? OH =-16+
? ?? ? ??

32 ? (32 ? 8 y0 ) y0
x

2

2

=-8------------------13 分

21.设函数 f ( x) ? e ( e 为自然对数的底数), g n ( x) ? 1 ? x ? (1)证明: f ( x) ? g1 ( x) ;

x2 x3 xn ? ? ......? (n ? N ? ) 2! 3! n!

(2)当 x ? 0 时,比较 f ( x) 与 g n ( x) 的大小,并说明理由; (3)证明: 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ......? ??

? 2? ? 2?

1

? 2? ? 3?

2

? 2? ? 4?

3

? 2 ? * . ? ? g n (1) ? e ( n ? N ) ? n ? 1?

n

解: (1)证明:设 ?1 ( x) ? f ( x) ? g1 ( x) ? e x ? x ? 1 ,所以 ?1? ( x) ? e x ? 1 当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 . 即函数 ?1 ( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增,在 x ? 0 处取得唯一极小值 因为 ?1 (0) ? 0 ,所以对任意实数 x 均有 ?1 ( x)≥?1 (0) ? 0 .即 f ( x) ? g1 ( x)≥0 , 所以 f ( x) ≥g1 ( x) -----------------------------4 分 (2)解:当 x ? 0 时, f ( x) ? g n ( x) .用数学归纳法证明如下:

①当 n ? 1 时,由(1)知 f ( x) ? g1 ( x) 。 ②假设当 n ? k ( k ? N* )时,对任意 x ? 0 均有 f ( x) ? g k ( x) , 令 ? k ( x) ? f ( x) ? g k ( x) , ? k ?1 ( x) ? f ( x) ? g k ?1 ( x) ,

? ?1 ? x ? ? f ( x) ? g k ( x) , 因为对任意的正实数 x , ? k ?1? ( x) ? f ? ? x ? ? g k
由归纳假设知, ? k ?1? ( x) ? f ( x) ? g k ( x) ? 0 . 即 ? k ?1 ( x) ? f ( x) ? g k ?1 ( x) 在 (0, ? ?) 上为增函数,亦即 ? k ?1 ( x) ? ? k ?1 (0) , 因为 ? k ?1 (0) ? 0 ,所以 ? k ?1 ( x) ? 0 .从而对任意 x ? 0 ,有 f ( x) ? g k ?1 ( x) ? 0 . 即对任意 x ? 0 ,有 f ( x) ? g k ?1 ( x) .这就是说,当 n ? k ? 1 时,对任意 x ? 0 ,也有

f ( x) ? g k ?1 ( x) .由①、②知,当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? g n ( x) .
证明 1:先证对任意正整数 n , g n ?1? ? e . 由 ( 2 ) 知 , 当 x ? 0 时 , 对 任 意 正 整 数 n , 都 有 f ( x) ? g n ( x) . 令 x ? 1 , 得

g n ?1? ? f ?1? = e .所以 g n ?1? ? e .再证对任意正整数 n ,
?2? ?2? ?2? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?3? ?4?
1 2 3

1 1 ? 2 ? ?? ? ? g n ?1? ? 1 ? 1 ? ? ? 2! 3! ? n ?1 ?
n

n

?

1 . n!

1 ? 2 ? 要证明上式,只需证明对任意正整数 n ,不等式 ? ? ? 成立. n! ? n ?1 ?
即要证明对任意正整数 n ,不等式 n ! ? ?

? n ?1 ? ? (*)成立????????10 分 ? 2 ?

n

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式

? 1?1 ? ①当 n ? 1 时, 1! ? ? ? 成立,所以不等式(*)成立. ? 2 ? ? k ?1 ? ②假设当 n ? k ( k ? N )时,不等式(*)成立,即 k ! ? ? ? .?????11 分 ? 2 ?
*

1

k

则 ? k ? 1? ! ? ? k ? 1? k ! ? ? k ? 1? ?

? k ?1? ? k ?1? ? ? 2? ? ? 2 ? ? 2 ?

k

k ?1



?k ?2? k ?1 k ?1 ? 因为 ? 1 ? 2 ? ? ? k ? 2 ? ? ?1 ? 1 ? ? C0 ? C1 ? k ?1 k ?1 ? ? ? ? k ?1 k ?1 ? k ?1 ? ? k ?1? ? k ?1 ? ? ? ? 2 ?

k ?1

k ?1 ? 1 ? ? Ck ?1 ? ? ? k ?1?

k ?1

?2

? k ?1? 所以 ? k ? 1? ! ? 2 ? ? ? 2 ?

k ?1

?k ?2? ?? ? ? 2 ?

k ?1

.???????????????13 分

这说明当 n ? k ? 1 时,不等式(*)也成立.由①、②知对任意正整数 n ,不等式(*)都成 立.

?2? ?2? ?2? 综 上 可 知 , 对 任 意 正 整 数 n , 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?3? ?4?
---14 分

1

2

3

? 2 ? ?? ? ? g n ?1? ? e 成 立 ? n ?1 ?

n


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