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高中数学 1.1任意角和弧度制教案 新人教A版必修4


1.1 《任意角和弧度制》教案
【教学目标】 1.理解任意角的概念. 2.学会建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角,掌握终边相同角的集合的书写. 3.了解弧度制,能进行弧度与角度的换算. 4.认识弧长公式,能进行简单应用.对弧长公式只要 求了解,会进行简单应用,不必在应用 方面加深. 5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系, 培养学生学会用函数的观点分析、 解决问题

. 【导入新课】 复习初中学习过的知识:角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出问题: 1.初中所学角的概念. 2.实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的?度量单位是什么? 4.1°的角是如何定义的?弧长公式是什么? 5.角的范围是什么?如何分类的? 新授课 阶段 一、角的定义与范围的扩大 1.角的定义:一条射线绕着它的端点 O ,从起始位置 OA 旋转到终止位置 OB ,形成 一个角 ? ,点 O 是角的顶点,射线 OA, OB 分别是角 ? 的终边、始边. 说明:在不引起 混淆的前提下, “角 ? ”或“ ?? ”可以简记为 ? . 2.角的分类: 正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角; 负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角; 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角. 说明:零角的始边和终边重合. 3.象限角:
1

在直角坐标系中,使角的顶点 与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负轴重合 ,则 (1)象限角:若角的终边(端点除外)在第几象限,我们就 说这个角是第几象限角. 例如: 30 ,390 , ?330 都是第一象限角; 300 , ?60 是第四象限角. (2)非象限角(也称象限间角、轴线角) :如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属 于任何象限.例如: 90 ,180 , 270 等等. 说明:角的始边“与 x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与 x 轴的正半轴重合”.因为

x 轴的正半轴不包括原点,就不完全包括角的始边,角的始边是以角的顶点为其端点的
射线. 4.终边相同的角的集合:由特殊角 30 看出:所有与 30 角终边相同的角,连同 30 角 自 身 在 内 , 都 可 以 写 成 30 ? k ? 360

?k ? Z ?

的形式;反之,所有形如

30 ? k ? 360 ? k ? Z ? 的角都与 30 角的终边相同.从而得出一般规律:
所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一个集合

S ? ? ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z ? ,
即:任一与角 ? 终边相同的角,都可以表示成角 ? 与整数个周角的和. 说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 例1 在 0 与 360 范围内, 找出与下列各角终边相同的角, 并判断它们是第几象限角?

(1) ?120 ; (2) 640 ; (3) ?950 12? . 解: (1) ?120 ? 240 ? 360 , 所以,与 ?120 角终边相同的角是 240 ,它是第三象限角; (2) 640 ? 280 ? 360 , 所以,与 640 角终边相同的角是 280 角,它是第四象限角; (3) ?950 12? ? 129 48? ? 3 ? 360 ,

2

所以, ?950 12? 角终边相同的角是 129 48? 角,它是第二象 限角. 例 2 若 ? ? k ? 360 ?1575 , k ? Z ,试判断角 ? 所在象限. 解:∵ ? ? k ? 360 ?1575 ? (k ? 5) ? 360 ? 225 , ∴ ? 与 225 终边相同, 所以, ? 在第三象限. 例3 写出下列各边相同的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式 ?360 ? ? ? 720 的元素 ?

(k ? 5) ? Z

写出来: (1) 60 ; (2) ?21 ; (3) 363 14? . 解: (1) S ? ? | ? ? 60 ? k ? 360 , k ? Z ,

?

?

S 中适合 ?360 ? ? ? 720 的元素是

60 ? 1? 360 ? ?300 , 60 ? 0 ? 360 ? 60 , 60 ? 1? 360 ? 420 .
(2) S ? ? | ? ? ?21 ? k ? 360 , k ? Z , S 中适合 ?360 ? ? ? 720 的元素是

?

?

?21 ? 0 ? 360 ? ?21 , ?21 ? 1? 360 ? 339 , ?21 ? 2 ? 260 ? 699
(3) S ? ? | ? ? 363 14? ? k ? 360 , k ? Z

?

?

S 中适合 ?360 ? ? ? 720 的元素是
363 14? ? 2 ? 360 ? ?356 46?, 363 14? ? 1? 360 ? 3 14?, 363 14? ? 0 ? 360 ? 363 14?.
例 4 写出第一象限角的集合 M . 分析: (1)在 360 内第一象限角可表示为 0 ? ? ? 90 ; (2)与 0 ,90 终边相同的角分别为 0 ? k ? 360 ,90 ? k ? 360 ,(k ? Z ) ; (3 )第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合,我们表示为:

M ? ? ? | k ? 360 ? ? ? 90 ? k ? 360 , k ? Z ? .
3

学生讨论,归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法:

P ? ? ? | 90 ? k ? 360 ? ? ? 180 ? k ? 360 , k ? Z ? ; N ? ?? | 90 ? k ? 360 ? ? ? 180 ? k ? 360 , k ? Z ? ; Q ? ?? | 270 ? k ? 360 ? ? ? 360 ? k ? 360 , k ? Z ? .
说明:区间角的集合的表示不唯一. 例5 写出 y ? ? x( x ? 0) 所夹区域内的角的集合.

解:当 ? 终边落在 y ? x( x ? 0) 上时,角的集合为 ? | ? ? 45 ? k ? 360 , k ? Z ; 当 ? 终边落在 y ? ? x( x ? 0) 上时,角的集合为 ? | ? ? ?45 ? k ? 360 , k ? Z ; 所以,按逆时针方向旋转有集合: S ? ? | ?45 ? k ? 360 ? ? ? 45 ? k ? 360 , k ? Z . 二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的换算: ∵360?=2?(rad) , ∴ 1?= ∴180?=? rad.

?

?

?

?

?

?

?
180

rad ? 0.01745rad .

? 180 ? 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18'. ? ? ?

R o S l

2.弧长公式: l ? r ? ? . 由公式: ? ?

l ? l ?r?? . r

比公式 l ?

n?r 简单. 180

弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积 3.扇形面积公式 注意几点: 1. 今后在具体运算时, “弧度”二字和单位符号“rad”可以省略,如:3 表示 3rad , sin?表示?rad 角的正弦; 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住: 角度 弧度 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
4

S?

1 lR ,其中 l 是扇形弧长, R 是圆的半径. 2



30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

弧度 3.应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合 与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.

正角 零角 负角

正实数 零 负实数

任意角的集合 例 6 把下列各角从度化为弧度:

实数集 R

(1) 252? ; (2) 11 15 ;(3) 30 ;(4) 67 ?30 ' .
0 /
0

解:(1)

7 ? 5

(2) 0.0625 ?

(3)

1 ? 6

(4) 0.375?

变式练习:把下列各角从度化为弧度: (1)22?30′; (2)-210?;(3)1200?. 解:(1)

1 7 20 ?. ?; (2) ? ? ;(3) 6 3 8

例 7 把下列各角从弧度化为度: (1) ? ;(2) 3.5;(3) 2;(4)

3 5

? . 4

解: (1)108 ?;(2)200.5?;(3)114.6?;(4)45?. 变式练习:把下列各角从弧度化为度: (1)

? 4? 3? ; (2); (3) . 12 3 10

解: (1)15 ?; (2)-240?; (3)54?. 例 8 知扇形的周长为 8 cm ,圆心角 ? 为 2rad, ,求该扇形的面积. 解:因为 2R+2R=8,所以 R=2,S=4. 课堂小结 1.弧度制的定义; 2.弧度制与角度制的转换与区别; 3.牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用;
5

4.象限角与相衔接集奥的写法,终边相同的角的写法. 作业 习题 A 组 1 3 5

见《同步练习》 拓展提升 1. 若时针走过 2 小时 40 分,则分针走过的角是多少? 2. 下列命题正确的是: ( ) (B)第一象限的角都是锐角. (D)小于 900 的角都是锐角. 象限角.
2

(A)终边相同的角一定相等. (C)锐角都是第一象限的角. 3. 若 a 是第一象限的角,则 ? a 是第 4.一角为

,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_
o

_.

5.集合 M={α =k ? 90 ,k∈Z}中,各角的终边都在( A. 轴正半轴上, C. 轴或 轴上, B. 轴正半轴上, 轴正半轴或



D.

轴正半轴上

6.设 E ? {小于90o 的角}  , F ? {锐角},G= {第一象限的角} ,那么有( A. B. ) . ( ) D.

C.

7.设 C={α |α = k180 +45 ,k∈Z} ,
o o






.

则相等的角集合为_

_.

8.在 ?ABC 中,若 ?A : ?B : ?C ? 3 : 5 : 7 ,求 A,B,C 弧度数.

9. 直径为 20cm 的滑轮, 每秒钟旋转 45 , 则滑轮上一点经过 5 秒钟转过的弧长是多少?

6

10.选做题 如图,扇形 OAB 的面积是 4cm ,它的周长是 8cm ,求扇形的中心角及弦 AB 的 长.
2

B

A O

11.在 (1)



间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角: ; (2) ; (3) .

7

参考答案 1. 解:2 小时 40 分= 8 小时,? ?180 '? 8 ? ?480 .故分针 走过的角为 480 .
.

3

3

2. C 6.C

3. 一或三

4.

5. C

7. B=D,C=E 8.答案:A=

? ? 7? ;B= ;C= 5 3 15

9.答案:

25? 2

10.答案: ? ? 2, AB ? 4 sin 1

11.解:(1)∵



∴与

角终边相同的角是

角,它是第三象限的角;

(2)∵



∴与

终边相同的角是

,它是第四象限的角;

(3)



所以与

角终边相同的角是

,它是第二象限角.

8


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