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安徽省皖南八校2012届高三第一次联考理科数学试题


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安徽省皖南八校 2012 届高三第一次联考
数学(理)试题

考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.考生作答时,请将答案答在答题卡上。第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑;第Ⅱ卷请用直径 0.

5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷,草稿纸上作答无效。 ............................ 参考公式: 锥体体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。 3

如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x ? Z || x ? 1 |? 2}, B ? {x | log2 ( x ? 1) ? 1} ,则集合 A∩B 的元素个数为( A.0 2.设为虚数单位,复数 A.-1 B.2 C.5 D.8 ( D. ? ) )

a?i 是纯虚数,则实数等于 1? i
B.1 C. 2

2

3.已知双曲线

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点且斜率为 的直线与双曲线渐近 2 3 a b
( C.2 D. 2 3 )

线平行,则此双曲线离心率是 A.

2 3 3

B. 3

4.设 a1 , a2 , b1 , b2 ,均不为 0,则“ 集相同”的 A.充分必要条件 C.必要不充分条件

a1 b1 ? ”是“关于的不等式 a1 x ? b1 ? 0与a2 x ? b2 ? 0 的解 a 2 b2
( B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

?x ? y ? 3 ? 0 ? 5.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则z ?| y ? 2 x | 的最大值为 ?y ? 1 ?





A.6 B.5 C.4 D.3 6.计算机是将信息转化为二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一” ,若 1011(2)表示二进制数,
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温新堂个性化一对一教学 将它转换成十进制数式是 1? 2 ? 0 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1? 2 ? 11了么二进制数 11?1 (2)转换成十 ?? ?
3 2 1 0

2011

进制数形式是 2010 A.2 -1 7.已知 x0 是函数 f ( x) ?

( B.2
2011



-1

C.2

2012

-1

D.2

2013

-1 ( )

1 ? ln x 的一个零点,若 x1 ? (1, x0 ), x2 ? ( x0 ,??) ,则 1? x
B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

8.已知函数 f (x) 的图象如图,则 f (| x |) 的图象为





A.① B.② C.③ D.①②③图都不对 AC ? ? , 9.如图,已知三点 A,B,E 在平面内,点 C,D 在外,并且

DE ? ? , BD ? AB 。若 AB=3,AC=BD=4,CD=5,则 BD 与平面所成的
角等于 A. 60 ? C. 30 ? ( B. 45 ? D. 16 ?
2 2



10.在 ?ABC 中,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B,C 不重合) ,且 | AB | ?| AD | ? | BD | ? | DC | , 则 ?ABC 一定是 A.直角三角形 C.等腰三角形 ( B.等边三角形 D.等腰直角三角形 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡上。 11.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 b 的值为 。 )

12.①三角形纸片内有 1 个点,连同三角形的顶点共 4 个点,其中任意三点都 不共线,以这 4 个点为顶点作三角形,并把纸片剪成小三角形,可得小三 角形个数为 3 个;②三角形纸片内有 2 个点,连同三角形的顶点共 5 个点,其中任意三点都不 共线, 以这 5 个点为顶点作三角形, 并把纸片剪成小三角形, 可得小三角形个数为 5 个, ???? 以此类推,三角形纸片内有 2012 个点,连同三角形的顶点共 2015 个点,其其中任意三点都不 共线, 以这些点为顶点作三角形, 并把纸片剪成小三角形, 则这样的小三角形个数为 个 (用
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2

温新堂个性化一对一教学 数字作答) 13.已知角 ?, ? 的顶点在坐标原点,始边写轴的正半轴重合, ? , ? ? (0, ? ) ,角 ? 的终边与单位 圆交点的横坐标是 ?

3 5 ,角 ? ? ? 的终边与单位圆交点的纵坐标是 , 则 cos ? ? 5 13



14 . 设 x 6 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? a3 ( x ? 1) 3 ? a4 ( x ? 1) 4 ? a5 ( x ? 1) 5 ? a6 ( x ? 1) 6 , 则

a3 ?



15.平面上三条直线 x ? 2 y ? 1 ? 0, x ? 1 ? 0, x ? ky ? 0 ,如果这三条直线将平面划分为六部分,则 实数 k 的所有取值为 ①0 ② 。 (将你认为所有正确的序号都填上) ③1 ④2 ⑤3

1 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 一个盒子中装有 5 张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是 1、2、3、4、5,现从盒子 中随机抽取卡片。 (1)从盒中依次抽取两次卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,求两次取到的卡片的数字 既不全是奇数,也不全是偶数的概率; (2)若从盒子中有放回的抽取 3 次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到卡片的数字为偶数的 概率; (3)从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当放回记有奇数的卡片即停 止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数 X 的分布列和期望。

3

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温新堂个性化一对一教学 17. (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDE 中,AE⊥面 ABC,DB//AE,且 AC=AB=BC=AE=1,BD=2,F 为 CD 中点。 (1)求证:EF⊥平面 BCD; (2)求多面体 ABCDE 的体积; (3)求平面 ECD 和平面 ACB 所成的锐二面角的余弦值。

18. (本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? 2 3 sin x ?

sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x ) 的最大值,及当取最大值时 x 的取值集合。 (2)在三角形 ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,对定义域内任意 x,有

f ( x) ? f ( A),若 a ?

??? ???? ? 的最大值. 3, AB? AC 求

4

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温新堂个性化一对一教学 19. (本小题满分 13 分) 已 知 函 数

f ( x) ?

2x ? 1 ( x ? 2, x ? R) x?2







{an }





a1 ? t (t ? ?2, t ? R), an?1 ? f (an ),(n ? N ).
(1)若数列 {an } 是常数列,求 t 的值; (2)当 a1 ? 2 时,记 bn ?

an ? 1 (n ? N *) ,证明:数列 {bn } 是等比数列,并求出通项公式 an. an ? 1

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 5? 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 过点 A(a,0),B(0,b)的直线倾斜角为 ,原点到该直线的 6 a b
距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程; (2)斜率小于零的直线过点 D(1,0)与椭圆交于 M,N 两点,若 MD ? 2DN , 求直线 MN 的方 程;
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???? ?

????

5

温新堂个性化一对一教学 (3) 是否存在实数 k, 使直线 y ? kx ? 2 交椭圆于 P、 两点, PQ 为直径的圆过点 D Q 以 (1, ? 0) 若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由。

21. (本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? ax ?

b ? 2 ? 2a (a ? 0) 的图像在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 2 x ? 1 平行. x

(1)求 a,b 满足的关系式; (2)若 f ( x) ? 2ln x在[1,+?) 上恒成立,求 a 的取值范围; (3)证明: 1 ?

1 1 1 1 n ? ??? ? (2n ? 1) ? ( n ?? ) 3 5 2n ? 1 2 2n ? 1

6

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参考答案 1、B 2、A 3、A 4、C 5、D 6、B 7、D 8、B 9、C 10、C

56 11、8 12、4025 13、 65
提示: 1、B 2、A

14、20 15、①③④

A ? {?1,0,1, 2,3} , B ? {x |1 ? x ? 3} , A ? B ? {2,3} 所以元素个数为 2 个
a ? i ? a ? i ??1 ? i ? ? a ? 1? ? ? a ? 1?i ? ? 是纯虚数,则故 a ? ?1 . 1? i 2 2

3 、A 4、C 5、D

3 b b 2 3 3 2 2 依题意,应有 = ,又 = e -1,∴ e -1= ,解得 e= . a 3 a 3 3

6 、B

11?1 ( 2) ?
2011

1? 22010 ? 1? 22009 ? ? ? 1? 20 ?
转换成十进制数形式:

1 ? 22011 ? 22011 ? 1 1? 2 .

7、D 8、B 9、C 10、C 11、 8 12、4025 13、

56 65

14、20 15、①③④ 16、解: (Ⅰ)因为 1,3,5 是奇数,2、4 是偶数, 设事件 A 为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数,也不全是偶数” ??2 分

P( A) ?

1 1 C3 ? C2 3 ? C52 5



P( A) ? 1 ?

2 C32 ? C2 3 ? C52 5

??? 4 分

(Ⅱ)设表示事件“有放回地抽取 3 次卡片,每次抽取一张,恰有两次取到的卡片上数字为偶 数”, 由已知,每次取到的卡片上数字为偶数的概率为 则 P ( B ) ? C3 ? ( ) ? (1 ? ) ?
2 2

2 , 5

??6 分 ??8 分

2 5

2 5

36 . 125

(Ⅲ)依题意, X 的可能取值为 1, 2,3 .

P( X ? 1) ?

3 , 5
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2?3 3 ? , 5 ? 4 10 2 ? 1? 3 1 P ( X ? 3) ? ? , ???????11 分 5 ? 4 ? 3 10 所以 X 的分布列为 3 X 3 3 1 5 10 10 3 3 1 3 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . ???????12 分 5 10 10 2 P( X ? 2) ?
17、解: (Ⅰ)找 BC 中点 G 点,连接 AG,FG D

∵ F,G 分别为 DC,BC 中点
∴ FG ∥ DB ∥ EA

1 =2



∴ 四边形EFGA为平行四边形 DB⊥平面 ABC

∴EF //AG E
F A H G B

∵ AE ? 面 ABC , BD ∥ AE
又∵DB 平面 BCD 平面 ABC⊥平面 BCD

又∵G 为 BC 中点且 AC=AB=BC AG⊥BC AG⊥平面 BCD EF ? 平面 BCD ?????????.4 分

C

3 (Ⅱ)过 C 作 CH⊥AB,则 CH⊥平面 ABDE 且 CH= 2

z

D

1 1 ?1 ? 2 ? 3 3 ????8 分 VC ? ABDE ? ? S四边形ABDE ? CH ? ? ?1? ? 3 3 2 2 4
(Ⅲ)以 H 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 则

E F H A G C B

y

3 1 3 1 C ( , 0, 0), E (0, ? ,1), F ( , ,1) 2 2 4 4 ??? ? ??? ? 3 1 3 1 CE ? (? , ? ,1), CF ? (? , ,1) 2 2 4 4

x

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? 设平面CEF的法向量为n=(x,y,z), ? ? ??? ? ?CE ? n ? ? ? 由? ??? ? ? ?CF ? n ? ? ? ? 3 1 x? y? z ?0 ? 2 2 得n=( 3,1,1) 3 1 x? y?z ?0 4 4 ? 平面ABC的法向量为u ? (0, 0,1) ? ? ? ? n?u 1 5 则 cos n, u ? ? ? ? ? 5 5 n u
5 ??12分 5
0

平面角 ECD 和平面 ACB 所成的锐二面角的余弦值

法二(略解) :延长 DE 交 BA 延长线与 R 点,连接 CE,易知 AR=BA=1, ∠RCB= 90

?DCB为二面角E-DC-B的平面角cos ?DCB=

5 5 5 ??12分 5

平面角 ECD 和平面 ACB 所成的锐二面角的余弦值 18.解: (Ⅰ) f ? x ? ? 2 3 sin x ? 2 cos x ? 4sin( x ?

?
6

) ??????2 分

当x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

? k ? Z ?时,f ( x)取得最大值为4

? ? ? ? f ? x ?的最大值为4,x 的取值集合为 ? x | x ? 2k? ? , k ? Z ? ??4 分 3 ? ?
(Ⅱ)因为 f ( x ) 对定义域内任一 x 有 f ( x) ? f ( A)

? A=2k? ?

?

3 3 a c a sin C a sin B 由 ? 得,c= ,同理可得b= sin A sin C sin A sin A
? ?

(k ? z )

∵A为三角形内角 ∴A=

?

6分

∴ AB ? AC = cb cos A ?

a 2 sin B sin C 2? cos A ? 2sin B sin( ? B) 2 sin A 3

? 3 sin B cos B ? sin 2 B ?
?当 B ?

3 1 1 ? sin 2B ? (1 ? cos 2B) ? ? sin(2B ? ) 2 2 2 6
3 2 12分

?
3

AB 时, ? AC 最大为

?

?

9

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温新堂个性化一对一教学 19、解 (Ⅰ)∵数列 ?an ? 是常数列,∴ an?1 ? an ? t ,即 t ? ∴所求实数的值是 1 或-1. ??????????5 分

2t ? 1 ,解得 t ? ?1 ,或 t ? 1 . t?2

2an ? 1 ?1 an ?1 ? 1 an +2 a ?1 an ? 1 ? ?3 n (Ⅱ)? a1 ? 2, bn ? ,? b1 ? 3, bn ?1 ? , an +1 ? 1 2an ? 1 ? 1 an ? 1 an ? 1 an +2
即 bn?1 ? 3bn (n ? N * ) . ??9 分

∴ 数 列 {bn } 是 以 b1 ? 3 为 首 项 , 公 比 为 q ? 3 的 等 比 数 列 , 于 是

bn ? 3? 3n?1 ? 3n (n ? N * ) .??11 分
an ? 1 an ? 1 n 3n ? 1 * 由 bn ? . (n ? N ) ,即 ? 3 ,解得 an ? n 3 ?1 an ? 1 an ? 1
∴所求的通项公式 an ?

3n ? 1 (n ? N * ) .???? 13 分 n 3 ?1

20、解: (Ⅰ)由

b 3 1 1 3 , a ?b ? ? ? ? a 2 ? b 2 ,得 a ? 3 , b ? 1 , a 3 2 2 2
x2 ? y 2 ? 1 ????????3 分 3 x2 ? y 2 ? 1 ,得 (t 2 ? 3) y 2 ? 2ty ? 2 ? 0 , 3

所以椭圆方程是:

(Ⅱ)设 MN: x ? ty ? 1(t ? 0) 代入

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 MD ? 2DN ,得 y1 ? ?2y 2 .

???? ?

????

2t ?2 2 , y1 y2 ? ?2 y2 ? 2 ????????6 分 t ?3 t ?3 2t 2 ?2 ) ? 2 得 ?2( 2 ,? t ? ?1 , t ? 1 (舍去) t ?3 t ?3
由 y1 ? y2 ? ? y2 ? ?
2

直线 MN 的方程为: x ? ? y ? 1 即 x ? y ? 1 ? 0 ????????8 分 (Ⅲ)将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 (*) 3

记 P( x3 , y3 ) , Q( x4 , y4 ) , PQ 为直径的圆过 D(1, 0) ,则 PD ? QD ,即

( x3 ?1, y3 ) ? ( x4 ?1, y4 ) ? ( x3 ?1)( x4 ?1) ? y3 y4 ? 0 ,又 y3 ? kx3 ? 2 , y4 ? kx4 ? 2 ,得

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(k 2 ?1) x3 x4 ? (2k ?1)( x3 ? x4 ) ? 5 ? 0 ???①
7 12k ,代入①解得 k ? ? ?????11 分 2 6 3k ? 1 3k ? 1 7 此时(*)方程 ? ? 0 ,存在 k ? ? ,满足题设条件.????12 分 6 b 21、解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ? 2 ,根据题意 f ?(1) ? a ? b ? 2 ,即 b ? a ? 2 ??3 分 x a?2 ? 2 ? 2a , (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? ax ? x a?2 ? 2 ? 2a ? 2 ln x , x ??1, ??? 令 g ( x) ? f ( x) ? 2 ln x ? ax ? x 2?a a( x ? 1)(x ? ) a?2 2 a ? = 则 g (1) ? 0 , g ?( x ) ? a ? x x2 x2 2?a ?1 , ①当 0 ? a ? 1 时, a 2?a ' 2l 若1 ? x ? , g ( x ? ,g ( x) 在 [1, ??) 减函数, 则 所以 g ( x) ? g (1) ? 0 , f (x) ? n x 即 ) 0 a
又 x3 x4 ?

9

2

, x3 ? x4 ? ?

在 [1, ??) 上恒不成立. ② a ? 1 时,

2?a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ' ( x ) ? 0 , g ( x) 在 [1, ??) 增函数,又 g (1) ? 0 ,所以 a

f ( x) ? 2ln x .
综上所述,所求的取值范围是 [1, ??) ??8 分

(Ⅲ)有(Ⅱ)知当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 ln x 在 ?1, ?? ? 上恒成立.取 a ? 1 得 x ? 令x ?

1 ? 2 ln x x

2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 ? 1, n ? N * 得 ? ? 2 ln , 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2 2n ? 1 ? (1 ? ) ? 2 ln 即1 ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 2n ? 1 1 1 1 ? ln ? ( ? ) 所以 2n ? 1 2 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 n ? ln(2n ? 1) ? 上式中 n=1, 3, n, 2, ?, 然后 n 个不等式相加得到 1 ? ? ? … ? 3 5 2n ? 1 2 2n ? 1
??13 分

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