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高二数学第16周同步测试题(教师卷)


高二数学 第 16 周 同步测试题
命题人:黄晓文 审核人:黄东娜

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 )
2 1. “ x ? 1 ”是“ x ? 4 ”的(

)条件。 D C.充分必要 D.既不充分也不必要

A.充分不必要

B.必要不充分

?3?i ? 2. 复数 ? ? ?( ? 1? i ?
2

) 。

A
3 ? 4 i D. C 3 ? 4i
x D.?x ? R, 2 ? 0

B. ?3 ? 4i C. 3. 下列命题中的假命题是( ) 。 ...

A. ?3 ? 4i

? ? A. x ? R,lg x ? 0 B. x ? R, tan x ? 1

C. ?x ? R, x3 ? 0

4. 若集合 A= ? x | x ? 1,x ? R? , B= ? y | y ? x 2,x ? R? ,则 A ? B =( A. ?x | ?1 ? x ? 1? B. ?x | x ? 0? C. ?x | 0 ? x ? 1? ) 。 D. ? D

) 。

C

5. 若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间( A. (0,1)

B. (1,1.25) C. (1.25,1.75) ? 6. 函数 y ? 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 是 ( ) 。 A 4 A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为

D. (1.75,2)

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2
) C 。

7. 设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是(
A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ?

B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?

8. 设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于(
A.63 B.49 C.35 D.13

) 。B

9. 已知点 A? 0,2? , B ? 2,0? ,若点 C 在函数 y ? x2 的图象上,则使得 ?ABC 的面积为 2 的
点 C 的个数为(

A. 4 10. 双曲线 A.

) A 。 B.3

C.2

D.1 ) 。A

x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r=( 6 3

3

B.2

C. 3

D.6
1

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 )
(一)必做题(11~13 题)

11. 函数 y ?

1 6 ? x ? x2

的定义域是____________ 。 ?? 3,2?

12.函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是



f ( x) min ? ?

1 2

13.已知 ?an ? 是递增等比数列, a2 ? 2, a4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比 q ?
(二)选做题:

。 2

? x ? 1 ? 2t 14. (坐标系与参数方程选做题)若直线 ? (t 为参数)与直线 4 x ? ky ? 1 垂 ? y ? 2 ? 3t
直,则常数 k = 。 ?6

15. (几何证明选讲选做题)如图,在直角
梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB ? AB ,AB=AD= a ,CD= 点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF=

a , 2 a 2

班别

学号

姓名

成绩

一、选择题答题卡(50 分) 。 题号 答案 二、填空题(20 分) 。 11: ;12: ;13: ;14: ;15: 。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分。
16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点. Ⅰ) f
'

? x? ? 3x2 ? 3a ,
2

∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,

? f ' ? 2 ? ? 0 ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ? ?a ? 4, ? ∴? ?? ?? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? f ? 2? ? 8 ? ?
' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0? ,

当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ? ??, ??? 上单调递增, 此时函数 f ( x ) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,

? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
' 当 x ? ??, ? a 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增, ' '

∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点, x ?

a 是 f ( x) 的极小值点.

17. (本题满分 12) 某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标越大表明质量越好, 且质量指标值大于 或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生 产了 100 件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果: A 配方的频数分布表
指标值分组 频数 指标值分组 频数 [90,94) 8 [90,94) 4 [94,98) 20 [94,98) 12 [98,102) 42 [98,102) 42 [102,106) 22 [102,106) 32 [106,110] 8 [106,110] 10

B 配方的频数分布表

(I)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (II)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2,94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件 产品平均一件的利润. (19)解

3

(Ⅰ )由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的频率为 方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42

22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配 100

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配 100

(Ⅱ 由条件知用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标值 t≥94, ) 由 试验结果知,质量指标值 t≥94 的频率为 0.96,所以用 B 配方生产的一件产品的利润大 于 0 的概率估计值为 0.96. 用 B 配方生产的产品平均一件的利润为

1 ? (4 ? (?2) ? 54 ? 2 ? 42 ? 4) ? 2.68 (元) 100
18. (本题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD, PD∥ QA,QA=AB=

1 PD. 2

(I)证明:PQ⊥ 平面 DCQ; (II)求棱锥 Q—ABCD 的的体积与棱锥 P—DCQ 的体 积的比值.

(I)由条件知 PDAQ 为直角梯形 因为 QA⊥ 平面 ABCD,所以平面 PDAQ⊥ 平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥ AD,所以 DC⊥ 平面 PDAQ,可得 PQ⊥ DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 所以 PQ⊥ 平面 DCQ. (II)设 AB=a.

2 PD,则 PQ⊥ QD 2

………………6 分

由题设知 AQ 为棱锥 Q—ABCD 的高,所以棱锥 Q—ABCD 的体积 V1 ?

1 3 a . 3

由(I)知 PQ 为棱锥 P—DCQ 的高,而 PQ= 2a ,△DCQ 的面积为 所以棱锥 P—DCQ 的体积为 V2 ?

2 2 a , 2

1 3 a . 3

故棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值为 1.…………12 分

4

19.(14 分) 设函数 f ( x) ? x ? ax2 ? b ln x ,曲线 y= f (x) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切斜线率为 2. (I)求 a,b 的值; (II)证明: f ( x) ? 2 x ? 2 .

20.解: (I) f ?( x) ? 1 ? 2ax ? 由已知条件得 ?

b . x

????2 分

? f (1) ? 0, ?1 ? a ? 0, , 解得 a ? ?1, b ? 3. 即? ? f ?(1) ? 2. ?1 ? 2a ? b ? 2.

??????5 分

(II) f ( x)的定义域为(0, ??) ,由(I)知 f ( x) ? x ? x2 ? 3ln x. 设 g ( x) ? f ( x) ? (2x ? 2) ? 2 ? x ? x2 ? 3ln x, 则

g ' ( x) ? ?1 ? 2 x ?

3 2x 2 ? x ? 3 ( x ? 1)(2 x ? 3) ?? ?? x x x

当0 ? x ? 1时, g ?( x) ? 0;当x ? 1时, g ?( x) ? 0. 所以g ( x)在(0,1)单调增加, 在(1, ??)单调减少.
而 g (1) ? 0, 故当x ? 0时, g ( x) ? 0,即f ( x) ? 2 x ? 2.

5


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