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2013届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练21 数学思想在解题中的应用


训练 21

数学思想在解题中的应用(一)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2012· 北京东城模拟)已知向量 a=(3,2),b=(-6,1),而(λa+b)⊥(a-λb),则实数 λ 等于 ( ). 1 A.1 或 2 B.2 或-2 C.2 D.0 2.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32,则 S10 等于 ( ). A.18 B.24 C.60 D.90 cos 4x 3.(2012· 临沂模拟)函数 y= 2x 的图象大致是 ( ).

4.已知集合 A={(x,y)|x、y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x、y 为实数,且 x+y=1}, 则 A∩B 的元素个数为 ( ). A.0 B.1 C.2 D.3 5.若关于 x 的方程 x2+2kx-1=0 的两根 x1、x2 满足-1≤x1<0<x2<2,则 k 的取值范围是 ( ). 3 ? 3 ? ? ? A.?-4,0? B.?-4,0? ? ? ? ? 3? 3? ? ? C.?0,4? D.?0,4? ? ? ? ? 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2012· 合肥模拟)AB 是过椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的中心弦,F(c,0)为它的右焦点, 则△FAB 面积的最大值是________. π → OB → 7. 长度都为 2 的向量OA,→ 的夹角为3, C 在以 O 为圆心的圆弧 AB (劣弧)上,→ =mOA 点 OC → +nOB,则 m+n 的最大值是________. x2 y2 8.(2012· 厦门模拟)已知 F 是双曲线 4 -12=1 的左焦点,定点 A(1,4),P 是双曲线右支上的 动点,则|PF|+|PA|的最小值为________. 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分)

x2 y2 ? 5 2 ? 9.(11 分)(2012· 天津)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),点 P? a, a?在椭圆上. 5 2 ? ? (1)求椭圆的离心率; (2)设 A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点.若点 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线 OQ 的斜率的值.

10.(12 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx. (1)若函数 y=f(x)在 x=2 处有极值-6,求 y=f(x)的单调递减区间; b (2)若 y=f(x)的导数 f′(x)对 x∈[-1,1]都有 f′(x)≤2,求 的范围. a-1

11.(12 分)已知函数 f(x)=ln(x+1)-k(x-1)+1. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)≤0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; ln 2 ln 3 ln 4 ln n n?n-1? (3)证明: 3 + 4 + 5 +…+ < 4 (n∈N*且 n>1). n+1

训练 21

参考答案 数学思想在解题中的应用(一)

1.B [由(λa+b)⊥(a-λb)得(λa+b)· (a-λb)=0, ∴(3λ-6,2λ+1)· (3+6λ,2-λ)=0, 1 ∴λ=2 或 λ=-2,故选 B.] 2.C [设数列{an}的公差为 d. ?a3a7=a4, 2 ? ?a3?a3+4d?=?a3+d? , 则? ∴? ?a1+a8?8 ?a1+a8=8, =32, ?S8= 2 ? 解得:a1=-3,d=2, 10×9 ∴S10=10×(-3)+ ×2=60.] 2 cos 4x 3.A [易知函数 y= 2x 是非奇非偶函数,由此可排除 C,D 项,对此 A,B 项,当 x>0 cos 4x 时,x 取值越大,y= 2x 的波动幅度越小,由此排除 B 项,故选 A.] 2 2 ?x +y =1, ?x=1, ?x=0, 4.C [法一 由题得? ∴? 或? ?x+y=1, ?y=0 ?y=1. A∩B={(x,y)|(1,0),(0,1)},所以选 C. 法二 直接作出单位圆 x2+y2=1 和直线 x+y=1,观察得两曲线有两个交点,故选 C.] 5.B [构造函数 f(x)=x2+2kx-1,∵关于 x 的方程 x2+2kx-1=0 的两根 x1、x2 满足-1≤x1 <0<x2<2,
2

?f?-1?≥0, ∴?f?0?<0, ?f?2?>0,

?-2k≥0, 即?-1<0, ?4k+3>0,

3 ∴-4<k≤0.]

6.解析 如图所示,F′为椭圆的左焦点,连接 AF′,BF′,则四边形 AFBF′为平行四边 1 形,S△ABF=S△ABF′=2· |FF′|· h≤bc.当 A 与短轴端点重合时,(S△ABF)max=bc.

答案 bc → → → 7.解析 建立平面直角坐标系,设向量OA=(2,0),向量OB=(1, 3).设向量OC=(2cos α, π → → → 2sin α),0≤α≤3.由OC=mOA+nOB,得(2cos α,2sin α)=(2m+n, 3n), 1 2 即 2cos α=2m+n,2sin α= 3n,解得 m=cos α- sin α,n= sin α. 3 3 π? 2 3 1 2 3 ? 故 m+n=cos α+ sin α= 3 sin?α+3?≤ 3 . ? ? 3

2 3 3 8.解析 设双曲线的右焦点为 E,则|PF|-|PE|=4,|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|,当 A、P、E 共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|= ?1-4?2+?4-0?2=5,|PF|+|PA|的最小值为 9. 答案

答案 9 a2 a2 b2 5 ? 5 2 ? (1)因为点 P? a, a?在椭圆上,故5a2+2b2=1,可得a2=8. 2 ? ?5 2 2 2 a -b b 3 6 于是 e2= a2 =1-a2=8,所以椭圆的离心率 e= 4 . (2)设直线 OQ 的斜率为 k,则其方程为 y=kx,设点 Q 的坐标为(x0,y0). ?y0=kx0, ? a2b2 2 2 由条件得? x2 y0 消去 y0 并整理得 x0= 2 2 2.① 0 k a +b ?a2+b2=1. ? 2 由|AQ|=|AO|, A(-a,0)及 y0=kx0, 0+a)2+k2x2=a2.整理得(1+k2)x0+2ax0=0, x0≠0, 得(x 而 0 2 -2a 2 2 2a 故 x0= 2,代入①,整理得(1+k ) =4k ·2+4. b 1+k 2 a 8 32 由(1)知b2=5,故(1+k2)2= 5 k2+4, 即 5k4-22k2-15=0,可得 k2=5. 所以直线 OQ 的斜率 k=± 5. 10.解 (1)f′(x)=3x2+2ax+b, ?f′?2?=0, ?12+4a+b=0, 依题意有? 即? ?f?2?=-6, ?8+4a+2b=-6, 9.解 5 ? ?a=- , 2 解得? ?b=-2. ? 1 ∴f′(x)=3x2-5x-2.由 f′(x)<0,得- <x<2. 3 1 ? ? ∵y=f(x)的单调递减区间是?-3,2?. ? ? ?f′?-1?=3-2a+b≤2, ?2a-b-1≥0, (2)由? 得? ?f′?1?=3+2a+b≤2 ?2a+b+1≤0. 不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示: ?2a-b-1=0, ?a=0, 由? 得? ?2a+b+1=0 ?b=-1. ∴Q 点的坐标为(0,-1).

b 设 z= ,则 z 表示平面区域内的点(a,b)与点 P(1,0)连线斜率. a-1 ∵kPQ=1,由图可知 z≥1 或 z<-2, b 即 ∈(-∞,-2)∪[1,+∞). a-1 1 11.解 (1)函数 f(x)的定义域为(1,+∞),f′(x)= -k. x-1 1 当 k≤0 时,∵x-1>0,∴ >0,f′(x)>0. x-1 则 f(x)在(1,+∞)上是增函数. 1 1 当 k>0 时,令 f′(x)=0,即 -k=0,得 x=1+k. x-1 1? 1 1 ? 当 x∈?1,1+k?时,f′(x)= -k> -k=0, 1 ? ? x-1 1+k-1 1? ? 则 f(x)在?1,1+k?上是增函数. ? ? 1 1 1 ? ? 当 x∈?1+k,+∞?时,f′(x)= -k< -k=0, 1 ? ? x-1 1+k-1 1 ? ? ∴f(x)在?1+k,+∞?上是减函数. ? ? 综上可知,当 k≤0 时,f(x)在(1,+∞)上是增函数; 1 ? ? 在?1+k ,+∞?上是减函数. ? ? (2)由(1)知,当 k≤0 时,f(2)=1-k>0,不成立. 故只考虑 k>0 的情况. 1? ? 又由(1)知 f(x)max=f?1+k?=-ln k. ? ? 要使 f(x)≤0 恒成立,只要 f(x)max≤0 即可. 由-ln k≤0 得 k≥1. (3)证明:由(2)知当 k=1 时,有 f(x)≤0 在(1,+∞)内恒成立, 又 f(x)在[2,+∞)内是减函数,f(2)=0. ∴x∈(2,+∞)时,恒有 f(x)<0 成立, 即 ln(x-1)<x-2 在(2,+∞)内恒成立. 令 x-1=n2(n∈N*且 n>1),则 ln n2<n2-1. 即 2ln n<(n-1)(n+1), ln n n-1 ∴ < 2 (n∈N*,且 n>1). n+1 n-1 n?n-1? ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 ln 2 ln 3 ln 4 ∴ 3 + 4 + 5 +…+ <2+2+ 2+…+ 2 = 4 ,即 3 + 4 + 5 +…+ n+1 ln n n?n-1? < 4 (n∈N*且 n>1)成立. n+1

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