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高中数学第三节 三角函数图像与性质


第三节

三角函数图像与性质

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三角函数图像与性质

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三角函数图像与性质

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正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k∈Z).

函数 图像

y=sin x

y=cos x

y=tan x

定义域 值域 周期性

R [-1,1] 2π

R [-1,1] 2π

{x|x∈R,且x≠ π kπ+ ,k∈Z} 2

R π

奇偶性
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奇函数
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偶函数
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奇函数

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函数

y=sin x
? π ?2kπ- ,2kπ+ 2 ? π? ? ?为增;? ?2kπ+ 2?

y=cos x
[2kπ,2kπ +π]为 减;[2kπ- π,2kπ] 为增

y=tan x
? π π? ?kπ- ,kπ+ ? 2 2? ?

单调性

π 3π? ,2kπ+ ?为减 2 2?

为增

对称
中心

(kπ,0)

? ? π ?kπ+ ,0? 2 ? ?

?kπ ? ? ,0? ?2 ?

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函数 对称轴

y=sin x
π x=kπ+ 2

y=cos x
x=kπ

y=tan x 无

1.三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结.

2.研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴 时易忽视“k∈Z”这一条件.

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[试一试]
1.函数
?π ? y=tan?4 -x?的定义域是 ? ? ? ? ,x∈R? ? ? ? ? ,x∈R? ? ? ? ? ,k∈Z,x∈R? ? ? ? ? ,k∈Z,x∈R? ? ?

(

)

? ? ? π ? ? A. x x≠ 4 ? ? ?

? ? ? π ? ? B. x x≠- 4 ? ? ?

? ? ? 3π ? ? C. x x≠kπ- 4 ? ? ? ? ? ? 3π D.?x?x≠kπ+ 4 ? ? ?

答案:D
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2.若函数f(x)=-cos 2x,则f(x)的一个递增区间为
? π ? A.?-4,0? ? ? ?π 3π? C.?2, 4 ? ? ? ? π? B.?0,2 ? ? ? ?3π ? D.? 4 ,π? ? ?

(

)

解析:由 f(x)=-cos 2x 故只有 B 满足.

? π? 知递增区间为?kπ,kπ+2 ?,k∈Z, ? ?

答案:B

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1.三角函数单调区间的求法

先把函数式化成形如 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据 基本三角函数的单调区间,求出 x 所在的区间.应特别注意,考 虑问题应在函数的定义域内考虑. 注意区分下列两题的单调增区 间的不同:
? ?π ? π? (1)y=sin?2x-4 ?;(2)y=sin?4-2x?. ? ? ? ?

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2.求三角函数值域(最值)的两种方法
(1)将所给函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,通过分析 ωx+φ 的范围,结合图像写出函数的值域;

(2)换元法:把 sin x(cos x)看作一个整体,化为二次函 数来解决.

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[练一练]
1.函数 y=|sin x|的一个单调增区间是
? π π? A.?-4 ,4? ? ? ? 3π? C.?π, 2 ? ? ? ?π 3π? B.?4, 4 ? ? ? ?3π ? D.? 2 ,2π? ? ?

(

)

解析:作出函数 y=|sin x|的图像观察可知,函数 y=|sin x|
? 3π? 在?π, 2 ?上递增. ? ?

答案:C
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? ? π? π? 2.(2013· 天津高考)函数f(x)=sin?2x-4 ?在区间?0,2 ?上的最 ? ? ? ?

小值为 A.-1 2 B.- 2

(

)

2 C. D.0 2 ? π? π ? π 3π? 解 析 : 由 已 知 x ∈ ?0,2 ? , 得 2x - ∈ ?-4 , 4 ? , 所 以 4 ? ? ? ?
? π? ? sin?2x- 4 ?∈? - ? ? ? ? ? ? ? π? π? 2 ? 故函数 f(x)=sin?2x-4 ?在区间?0,4 ? , 1 ?, 2 ? ? ? ? ?

2 上的最小值为- . 2 答案:B
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1.函数

? ? π? π? f(x)=3sin?2x-6 ?在区间?0,2 ?上的值域为 ? ? ? ? ? 3 ? B.?-2,3? ? ?

(

)

? 3 3? A.?-2,2? ? ?

? 3 3 3 3? ? 3 3 ? ? C.?- D.?- , ,3? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? π? π? ? 1 π ? π 5π? ? ? ? ? ? ? ? 解析:当 x∈ 0,2 时,2x- ∈ -6, 6 ,sin 2x-6 ∈ -2,1?, 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? π? ? 3 故 3sin?2x-6 ?∈?-2,3?,即此时函数 f(x)的值域是?-2,3?. ? ? ? ? ? ?

答案:B
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2.(2014· 湛江调研)函数y=lg(sin x)+ ________.
解析:要使函数有意义必须有 sin x>0, sin x>0, ? ? ? ? ? 即? 1 1 cos x- ≥0, cos x≥ , ? ? 2 2 ? ?

1 cos x- 的定义域为 2

2kπ<x<π+2kπ, ? ? 解得? π (k∈Z), π - +2kπ≤x≤ +2kπ ? 3 ? 3
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结束

π ∴2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z, 3 ∴函数的定义域为
? ? ? π ?x?2kπ<x≤ 3 ? ? ? ? ? +2kπ,k∈Z?. ? ?

? ? ? π ? ? 答案: x 2kπ<x≤3 ? ? ?

? ? +2kπ,k∈Z? ? ?

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3.函数y=2cos2x+5sin x-4的值域为________.
解析:y=2cos2x+5sin x-4 =2(1-sin2x)+5sin x-4 =-2sin2x+5sin x-2 52 9 =-2(sin x- ) + . 4 8 故当sin x=1时,ymax=1, 当sin x=-1时,ymin=-9, 故y=2cos2x+5sin x-4的值域为[-9,1].
答案:[-9,1]
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[类题通法]
1.三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组), 常借助 三角函数线或三角函数图像来求解.
2.三角函数值域的不同求法

(1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求;
(2)把所给的三角函数式变换成 y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;
(3)把 sin x 或 cos x 看作一个整体,转换成二次函数求值域;

(4)利用 sin x± cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域.

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[典例]

求下列函数的单调递减区间: ? ?π ? π? (1)y=2sin?x-4 ?;(2)y=tan?3-2x?. ? ? ? ?
[解] π π 3π (1)由2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2

3π 7π 得2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 4 4
? π? 故函数y=2sin?x-4 ?的单调减区间为 ? ? ? 3π 7π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 4 4? ?
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注意 整体化 思想
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三角函数图像与性质

结束

π π -2x 2x - (2)把函数 y=tan 3 变为 y=-tan 3. π π π 由 k π - <2x - <k π + , k ∈Z , 2 3 2 误区警示 π 5π 解答本题易直接由 得 k π - <2x <k π+ ,k ∈Z , 6 6 kπ π k π 5π 即 - <x < + ,k ∈Z. 2 12 2 12 得出错误结论,原 π 因是忽略复合 -2x 故函数 y=tan 3 的单调减区间为 函数的单调性 k π π k π 5π - , + 2 12 2 12 (k ∈Z).

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? ? π ?? 若将本例(1)改为“y=2?sin?x-4 ??”,如何求解? ? ? ??

解:画出函数

? ? π? ? y=2?sin?x-4??的图像,易知其单调 ? ? ??

? 3π 5π? 递减区间为?kπ+ 4 ,kπ+ 4 ?(k∈Z). ? ?

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[类题通法]
(1)代换法:

三角函数的单调区间的求法

所谓代换法, 就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个 角 u(或 t), 利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调 区间. (2)图像法:

函数的单调性表现在图像上是:从左到右,图像上升趋势的区间 为单调递增区间,图像下降趋势的区间为单调递减区间,画出三角函 数的图像,结合图像易求它的单调区间. 提醒:求解三角函数的单调区间时若 x 的系数为负应先化为正,

同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.
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结束

ωx 1.(2013· 安徽师大附中3月月考)设ω>0,若函数f(x)=sin 2
? π π? ωx cos 在区间?-3,3 ?上单调递增,则ω的取值范围是 2 ? ? ? 2? A.?0,3? ? ? ?3 ? C.?2,+∞? ? ? ? 3? B.?0,2? ? ?

[针对训练]

(

)

D.[1,+∞)

? π π? ωx ωx 1 解析: f(x)=sin cos = sin ωx,若函数在区间?-3 ,3 ?上单 2 2 2 ? ? ? 3? T π π π 2π ? 调递增,则 =ω≥ + = ,即 ω∈ 0,2?,故选 B . 2 3 3 3 ? ?
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三角函数图像与性质

结束

? π? 2.函数y=cos?2x+6?的单调递增区间为________. ? ?

解析:函数y=cos x的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ],k π 7π ∈Z.由2kπ-π≤2x+ ≤2kπ,k∈Z,得kπ- ≤x≤kπ- 6 12 π ,k∈Z. 12
? 7π π? 答案:?kπ-12,kπ-12?(k∈Z) ? ?

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三角函数图像与性质

结束

正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形. 正切函数的图像只是中心对称图形,应把三角函数的对称性与 奇偶性结合,体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度有:

?1?求三角函数的对称轴或对称中心;
?2?由三角函数的对称性求参数值;

?3?三角函数对称性的应用.

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三角函数图像与性质

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求三角函数的对称轴或对称中心 π 1.(2014· 揭阳一模)当 x= 时,函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最 4
小值,则函数 y=f
?3π ? ? -x ? ?4 ?

角度一

(

)

?π ? A.是奇函数且图像关于点?2,0?对称 ? ?

B.是偶函数且图像关于点(π,0)对称 π C.是奇函数且图像关于直线 x= 对称 2 D.是偶函数且图像关于直线 x=π 对称
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三角函数图像与性质

结束

π 解析:∵当 x= 时,函数 f(x)取得最小值, 4
?π ? 3π ? ? ∴sin 4+φ =-1,∴φ=2kπ- (k∈Z). 4 ? ? ? ? 3π? 3π? ∴f(x)=Asin?x+2kπ- 4 ?=Asin?x- 4 ?. ? ? ? ?

∴y=f ∴y=f

?3π ? ? -x?=Asin(-x)=-Asin ?4 ?

x. π x= 对称. 2

?3π ? ? -x?是奇函数,且图像关于直线 ?4 ?

答案:C
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三角函数图像与性质

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角度二 由三角函数的对称性求参数值 2.(1)(2013· 哈尔滨二模)若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t

都有f

?π ? ?π ? ?π? ? +t?=f ? -t?,且f ? ?=-3,则实数m的值等( ?8 ? ?8 ? ?8 ?

)

A.-1 C.-5或-1
解析:由

B. ± 5 D.5或1
π x= .故当 x= 8

?π ? ?π ? f?8+t?=f?8-t?得,函数的对称轴为 ? ? ? ?

π 时,函数取得最大值或最小值,于是有-2+m=-3 或 2 8 +m=-3,即 m=-1 或-5. 答案:C
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结束

(2)(2014· 辽宁六校联考)已知ω>0,函数f(x)=cos
?π ? π 称轴为x= ,一个对称中心为点?12,0?,则ω有 3 ? ?

? π? ?ωx+ ? 3? ?

的一条对 ( )

A.最小值2 C.最小值1

B.最大值2

D.最大值1 π π T 2π 解析:由题意知 - ≥ ,T= ω ≤π,ω≥2,故选 A. 3 12 4

答案:A

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角度三

三角函数对称性的应用

3.(2013· 辽宁五校联考)设偶函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所 示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=
?1? 90° ,KL=1,则f?6?的值为 ? ?

( 1 B.- 4 3 D. 4

)

3 A.- 4 1 C.- 2
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1 解析:由题意知,点 M 到 x 轴的距离是 ,根据题意可设 f(x) 2 1 1 2π 1 = cos ωx, 又由题图知 · =1, 所以 ω=π, 所以 f(x)= cos πx, 2 2 ω 2 故
?1? 1 π ? ? f 6 = cos = 6 ? ? 2

3 . 4

答案:D

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[类题通法]
1.若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得 最大或最小值. 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. 2.对于函数 y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图像的最

高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线 x =x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验 f(x0)的值进行判断.

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三角函数图像与性质

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[课堂练通考点]
1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是 A.y=cos 2x C.y=tan 2x B.y=sin 2x
? π? D.y=sin?2x- 2? ? ?

(

)

解析:选项 A、D 中的函数均为偶函数,C 中函数的最小 π 正周期为 ,故选 B. 2 答案:B
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? π? 2.已知函数f(x)=2sin?ωx-6 ?(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)的 ? ?

单调递增区间为
? π 5π? A.?kπ+3 ,kπ+ 6 ?(k∈Z) ? ? ? π π? B.?2kπ- 6,2kπ+3 ?(k∈Z) ? ? ? π π? C.?kπ-3 ,kπ+6 ?(k∈Z) ? ? ? π π? D.?kπ-6 ,kπ+3 ?(k∈Z) ? ?

(

)

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三角函数图像与性质

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2π π 解析:根据已知得 ω =π,得 ω=2.由不等式 2kπ- ≤2x 2 π π π π - ≤2kπ+ (k∈Z),解得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z),所以 6 2 6 3 函数
? π π? f(x)的单调递增区间是?kπ-6 ,kπ+3 ?(k∈Z). ? ?

答案:D

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三角函数图像与性质

结束

?π ? 3.函数y=cos?4 -2x?的单调减区间为________. ? ?
?π ? ? π? 解析:由y=cos?4 -2x?=cos?2x-4 ?得 ? ? ? ?

π 2kπ≤2x- ≤2kπ+π(k∈Z), 4 π 5π 解得kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8
? π 5π? 所以函数的单调减区间为?kπ+8 ,kπ+ 8 ?(k∈Z). ? ? ? π 5π? 答案:?kπ+8,kπ+ 8 ?(k∈Z) ? ?

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三角函数图像与性质

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? π? 4.函数y=tan?2x+4 ?的图像与x轴交点的坐标是________. ? ?

π 解析:由2x+ =kπ(k∈Z)得, 4 kπ π x= - (k∈Z). 2 8
? ?kπ π ? π? ∴函数y=tan?2x+4 ?的图像与x轴交点的坐标是? 2 -8,0?. ? ? ? ?
?kπ π ? 答案:? 2 -8,0? ? ?

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5.(2013· 陕西高考)已知向量 x∈R,设函数 f(x)=a· b. (1)求 f(x)的最小正周期.

? a=?cos ?

1? x,- ?,b=( 3sin x,cos 2x), 2?

(2)求

? π? f(x)在?0,2 ?上的最大值和最小值. ? ?

? 解:f(x)=?cos ?

1? x,- ?· 2? ( 3 sin x,cos 2x)

1 = 3cos xsin x- cos 2x 2 = 3 1 sin 2x- cos 2x 2 2

? π? π π =cos sin 2x-sin cos 2x=sin?2x-6 ?. 6 6 ? ?
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2π 2π (1)f(x)的最小正周期为 T= ω = =π, 2 即函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π 5π (2)∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 由正弦函数的性质,知 π π π 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 1. 6 2 3 π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(x)取得最小值- . 6 6 2
? π? 因此,f(x)在?0, 2 ?上的最大值是 ? ?
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1 1,最小值是- . 2
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“课下提升考能”见“课 时跟踪检测(十九)”(进
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