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【人教版】数学必修三《变量的相关性》名师讲义(含答案)


变量的相关性
主讲教师:熊丹 北京五中数学教师

开篇语
在现实生活中,变量之间的关系除了确定性的函数关系之外,还有一种不确定的关系.例 如,降雨量与农作物亩产量之间是有联系的,而这种联系是不确定的.因为一般来说,当降 雨量适宜时,常有较高产量;当降雨量不足时,则产量一般较低.然而,即使在降雨量相同 的情况下,农作物的产量也不会是一样的.又如人的身高和体重之间的关系,人的年龄和血 压之间的关系等.这些变量之间存在着密切的关系,但它不能由一个变量的数值精确地确定 另一个变量的值,尽管如此,关系不确定的两个变量之间的关系往往仍有规律可循.如果我 们能够掌握它们之间可能存在的某种规律,可用来指导我们作出合理的决策.这就是本节课 我们所要探讨的变量间的相关关系. 数学中只有概率统计部分研究不确定的关系.在现实生活中相关关系大量存在.从某种 意义上说,函数关系是一种理想化的关系模型,而相关关系是一种更为一般的情况.由于相 关关系的不确定性,在寻找变量间相关关系的过程中,我们可以通过收集大量的数据,在对 数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,对它们的关系作出判断.

重难点易错点解析
题一:下列两个变量之间的关系: ①角度和它的余弦值;②正 n 边形的边数与内角和; ③家庭的收入与支出;④电价与某户家庭用电量间的关系. 其中是相关关系的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

题二:下列图形中两个变量具有相关关系的是(

)

金题精讲
题一:有个男孩的年龄与身高的统计数据如下: 年龄(岁) 身高(cm) 1 78 2 87 3 98 4 108 5 115 6 120

画出散点图,并判断它们是否有相关关系.

^ 题二:由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到的回归直线方程y=bx+a,那么下 面说法不正确的是( ) ^ - - A.直线y=bx+a 必经过点( x , y ) ^ B.直线y=bx+a 至少经过点(x1, y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个点 ^ C.直线y=bx+a 的斜率为
i=1

-- ?xiyi-n x y

n

i=1

?xi 2-n x 2

n



n ^ D.直线y=bx+a 和各点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的偏差 ?[yi-(bxi+a)]2 是该坐标平面 i=1

上所有直线与这些点的偏差中最小的直线 ^ 题三:设有一个回归方程为y=2-1.5x,则变量 x 增加一个单位时( A.y 平均增加 1.5 个单位 B.y 平均增加 2 个单位 C.y 平均减少 1.5 个单位 D.y 平均减少 2 个单位 )

题四:如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线,去掉哪个点后,剩 下的 5 个点数据的相关系数最大?( ) A.D B.E C.F D.A

题五:以下关于线性回归的判断,正确的有( )个. ①若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线 ②散点图中的绝大多数点都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图中的 A,B,C 点 ^ ③已知回归直线方程为y=0.50x-0.81,则 x=25 时,y 的估计值为 11.69 ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势 A. 0 个 B. 1 个 C.2 个 D.3 个

题六:为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两个同学各自独立地作 10 次和 15 次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 l1 和 l2.已知在两个人的试验中发现对 变量 x 的观测数据的平均值恰好相等,都为 s,对变量 y 的观测数据的平均值也恰好相等,都 为 t.那么下列说法正确的是( ) A.直线 l1 和 l2 有交点(s,t) B.直线 l1 和 l2 相交,但是交点未必是点(s,t) C.直线 l1 和 l2 由于斜率相等,所以必定平行 D.直线 l1 和 l2 必定重合 题七:某个体服装店经营某种服装在某周内获纯利 y(元)与该周每天销售这种服装件数 x 之间 有如下一组数据: x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 已知?xi 2=280,?yi 2=45309, ?xiyi=3487.
i=1 i=1 i=1 7 7 7

- - (1) 求 x , y ; (2) 求纯利 y 与每天销售件数 x 的回归直线方程; (3) 估计每天销售 10 件这种服装时,纯利润是多少元?

变量的相关性 讲义参考答案
重难点易错点解析
题一:B 题二:C

金题精讲
题一:线性相关关系.如图:

题二:B 题五:D

题三:C 题六:A

题四:C

^ 题七:(1) x =6, y =79.86;(2) 回归直线方程为 y=4.75x+51.36;(3) 98.86 元


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