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【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题六 第1讲


第1讲

排列与组合、二项式定理

【高考考情解读】 1.高考中对两个计数原理、 排列、 组合往往通过实际问题进行综合考查, 经常与概率问题相结合,出现在解答题中,难度中等;对于二项式定理的考查,难度较小.

1. 分类计数原理和分步计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成, 则要用分类计数原理将方法种数相加; 如果需

要 通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步计数原理将各步的方法种数相乘. 2. 排列与组合 (1)排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数
m 公式是 Am n =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)或写成 An =

n! . ?n-m?!

(2)组合:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合.从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数公式是 Cm n= n?n-1??n-2???n-m+1? m!

n! 或写成 Cm . n= m!?n-m?! (3)组合数的性质
n ①Cm n =Cn
-m




m m 1 ②Cm . n+1=Cn +Cn

3. 二项式定理
n 1 n 1 2 n 2 2 n r r n (1)定理:(a+b)n=C0 b+Cn a b +?+Cr b +?+Cn n). na +Cna na nb (r=0,1,2,?,
- - -

(2)二项展开式的通项
n r r Tr+1=Cr b ,r=0,1,2,?,n,其中 Cr na n叫做二项式系数.


(3)二项式系数的性质 ①对称性:与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等,

n 1 n 1 r n r 即 C0 n=Cn,Cn=Cn ,?,Cn=Cn ,?.
- -

n ②最大值:当 n 为偶数时,中间的一项的二项式系数 C n 取得最大值;当 n 为奇数时, 2 n-1 n+1 中间的两项的二项式系数 C ,C 相等,且同时取得最大值. 2 n 2 n ③各二项式系数的和
1 2 r n n a.C0 n+Cn+Cn+?+Cn+?+Cn=2 ;

1 n n-1 2 2r 1 3 2r+1 b.C0 +?= · 2 =2 . n+Cn+?+Cn +?=Cn+Cn+?+Cn 2

考点一 两个计数原理 例1 (1)(2013· 山东改编)用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为

________. (2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足 a1<a2 且 a3<a2,则称这样的三位数为凸数 (如 120,343,275),那么所有凸数的个数为________. 本题主要考查分类计数原理与分步计数原理的简单应用,解题的关键是合理 分类,正确分步. 答案 解析 (1)252 (2)240
1 2 (1)无重复的三位数有:A3 9+A2A9=648 个.

则有重复数字的三位数有:900-648=252 个. (2)分 8 类,当中间数为 2 时,有 1×2=2 种; 当中间数为 3 时,有 2×3=6 种; 当中间数为 4 时,有 3×4=12 种; 当中间数为 5 时,有 4×5=20 种; 当中间数为 6 时,有 5×6=30 种; 当中间数为 7 时,有 6×7=42 种; 当中间数为 8 时,有 7×8=56 种; 当中间数为 9 时,有 8×9=72 种. 故共有 2+6+12+20+30+42+56+72=240 种. (1)在应用分类计数原理和分步计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中 又可能用到分类计数原理. (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、 直观化.

(1)在航天员进行的一项太空实验中,先后要实施 6 个程序,其中程序 A 只 能出现在第一步或最后一步,程序 B 和 C 实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共 有________种. (2)如果把个位数是 1,且恰有 3 个数字相同的四位数叫作“好数”,那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的重复数字的四位数中,“好数”共有________个. 答案 解析 (1)96 (2)12

(1)首先安排 A 有 2 种方法;第二步在剩余的 5 个位置选取相邻的两个排 B,C,

有 4 种排法,而 B,C 位置互换有 2 种方法;第三步安排剩余的 3 个程序,有 A3 3种排 法,共有 2×4×2×A3 3=96 种. (2)当相同的数字不是 1 时,有 C1 3个;
1 当相同的数字是 1 时,共有 C1 3C3个, 1 1 1 由分类计数原理知共有“好数”C3 +C3 C3=12 个.

考点二 排列与组合 例2 (1)(2013· 重庆)从 3 名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾 医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是________.(用 数字作答) (2)(2013· 浙江)将 A、B、C、D、E、F 六个字母排成一排,且 A、B 均在 C 的同侧,则 不同的排法共有________种.(用数字作答) 答案 解析 (1)590 (2)480
1 3 2 2 3 1 (1)分三类:①选 1 名骨科医生,则有 C1 3(C4C5+C4C5+C4C5)=360(种).

1 2 2 1 ②选 2 名骨科医生,则有 C2 3(C4C5+C4C5)=210(种); 1 1 ③选 3 名骨科医生,则有 C3 3C4C5=20(种).

∴骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 360+210+20=590. (2)分类讨论:A、B 都在 C 的左侧,且按 C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母 这 4 类计算,再考虑右侧情况.
1 3 2 2 4 所以共有:2(A2 A3 A2+C3 A4+A5 2· 3+C3A3· 5)=480.

求解排列、组合问题的思路:排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合; 分类相加,分步相乘. 具体地说,解排列、组合的应用题,通常有以下途径: (1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. (2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置. (3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数. (1)(2012· 山东)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同

取法的种数为________. (2)某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节 目乙不能排在第一位, 节目丙必须排在最后一位. 该台晚会节目演出顺序的编排方案共 有________种. 答案 解析 (1)472 (2)42
2 (1)分两类:第一类,含有 1 张红色卡片,共有不同的取法 C1 4C12=264(种);

3 第二类,不含有红色卡片,共有不同的取法 C3 12-3C4=220-12=208(种).

由分类计数原理知不同的取法有 264+208=472(种). (2)分两类,第一类:甲排在第一位时,丙排在最后一位,中间 4 个节目无限制条件, 有 A4 4种排法;第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之外的 3 个节目中选 1 个节目
3 1 3 排在第一位有 C1 3种排法,其他 3 个节目有 A3种排法,故有 C3A3种排法.依分类计数原 1 3 理,知共有 A4 4+C3A3=42(种)编排方案.

考点三 二项式定理 例3 1 ?n (1)使?3x+ (n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为________. x x? ? a1 a2 a2 013 (2)若(1-2x)2 013=a0+a1x+?+a2 013x2 013(x∈R), 则 + 2+?+ 2 013的值为________. 2 2 2 答案 解析 (1)5 (2)-1

n-r? 1 ?r (1)展开式的通项公式 Tr+1=Cr , n(3x) ?x x?

5 - ∴Tr+1=3n rCr nxn- r,r=0,1,2,?,n. 2 5 5 令 n- r=0,n= r,故最小正整数 n=5. 2 2 1 (2)(1-2x)2 013=a0+a1x+?+a2 013x2 013,令 x= , 2 1?2 则? ?1-2×2? 1. (1)在应用通项公式时,要注意以下几点: ①它表示二项展开式的任意项,只要 n 与 r 确定,该项就随之确定; ②Tr+1 是展开式中的第 r+1 项,而不是第 r 项; ③公式中,a,b 的指数和为 n 且 a,b 不能随便颠倒位置; ④对二项式(a-b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题. (2)在二项式定理的应用中,“赋值思想”是一种重要方法,是处理组合数问题、系数 问题的经典方法.
013

a1 a2 a2 013 a1 a2 a2 013 =a0+ + 2+?+ 2 013=0,其中 a0=1,所以 + 2+?+ 2 013=- 2 2 2 2 2 2

(1) ? ________.

? x+ 1 ? 2n 3 ? 的展开式的第 6 项的二项式系数最大,则其常数项为 x? ?

(2)若(1+x)(2-x)2 011=a0+a1x+a2x2+?+a2 011x2 011+a2 012x2 012,则 a2+a4+?+a2 010 +a2 012=________. 答案 解析 (1)210 (2)1-22 011 (1)根据二项式系数的性质,得 2n=10,故二项式?

? x+ 1 ?2n 3 ? 的展开式的通项公 x? ?

? 1 ?r r r r r r 10-r 式是 Tr+1=Cr · ? 3 ? =C10x5-2-3,根据题意 5-2-3=0,解得 r=6,故所求 10( x) ? x?
4 的常数项等于 C6 10=C10=210.

(2)采用赋值法,令 x=1,得 a0+a1+a2+?+a2 011+a2 012=2,令 x=-1,得 a0-a1+ a2-?-a2 011+a2 012=0,把两式相加,得 2(a0+a2+?+a2 012)=2,所以 a0+a2+?+ a2 012=1,又令 x=0,得 a0=22 011,所以 a2+a4+?+a2 010+a2 012=1-22 011.

1. 排列、组合应用题的解题策略 (1)在解决具体问题时, 首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”, 接着还要搞清楚“分 类”或者“分步”的具体标准是什么. (2)区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关.若交 换某两个元素的位置对结果产生影响, 则是排列问题; 若交换任意两个元素的位置对结 果没有影响,则是组合问题.也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选 取元素的顺序无关. (3)排列、组合综合应用问题的常见解法:①特殊元素(特殊位置)优先安排法;②合理分 类与准确分步;③排列、组合混合问题先选后排法;④相邻问题捆绑法;⑤不相邻问题 插空法;⑥定序问题倍缩法;⑦多排问题一排法;⑧“小集团”问题先整体后局部法; ⑨构造模型法;⑩正难则反、等价转化法. 2. 二项式定理是一个恒等式,对待恒等式通常有两种思路 一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数相等);二是赋值.这两种思路相结 合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解. 另外,通项公式主要用于求二项式的指数,求满足条件的项或系数,求展开式的某一项 或系数,在运用公式时要注意以下几点:
n r r (1)Cr b 是第 r+1 项,而不是第 r 项. na


n r r (2)运用通项公式 Tr+1=Cr b 解题,一般都需先转化为方程(组)求出 n、r,然后代入 na


通项公式求解. (3)求展开式的特殊项,通常都是由题意列方程求出 r,再求出所需的某项;有时需先求 n,计算时要注意 n 和 r 的取值范围及它们之间的大小关系.

1. 有 A、B、C、D、E 五位学生参加网页设计比赛,决出了第一到第五的名次.A、B 两 位学生去问成绩,老师对 A 说:你的名次不知道,但肯定没得第一名;又对 B 说:你 是第三名.请你分析一下,这五位学生的名次排列的种数为________. 答案 18
3 解析 由题意知,名次排列的种数为 C1 3A3=18.

2. 如图所示,在 A、B 间有四个焊接点 1,2,3,4,若焊接点脱落导致断 路,则电路不通.今发现 A、B 之间电路不通,则焊接点脱落的不 同情况有________种. 答案 13 解析 按照焊接点脱落的个数进行分类.若脱落 1 个,有(1),(4),共 2 种;若脱落 2 个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共 6 种;若脱落 3 个,有(1,2,3),(1,2,4), (2,3,4),(1,3,4),共 4 种;若脱落 4 个,有(1,2,3,4),共 1 种.综上共有 2+6+4+1=13 种焊接点脱落的情况. 3. 在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+?+anxn 中,若 2a2+an-3=0,则自然数 n 的值是 ________. 答案 8
n 3 n 3 解析 易知 a2=C2 Cn =(-1)n 3C3 n,an-3=(-1) n,
- - -

n 3 3 ∵2a2+an-3=0,∴2C2 Cn=0,从而解得 n=8. n+(-1)


3 4. 在(1+ x)2-(1+ x)4 的展开式中,x 的系数等于________.(用数字作答) 答案 -3 3 解析 因为(1+ x)2 的展开式中 x 的系数为 1,(1+ x)4 的展开式中 x 的系数为 C3 4=4, 3 所以在(1+ x)2-(1+ x)4 的展开式中,x 的系数等于-3.

(推荐时间:40 分钟) 1. (2012· 重庆改编)(1-3x)5 的展开式中 x3 的系数为________.

答案 -270 解析
r r (1-3x)5 的展开式通项为 Tr+1=Cr 5(-3) x (0≤r≤5,r∈N),当 r=3 时,该项为

3 3 3 3 T4=C3 5(-3) x =-270x ,故可得 x 的系数为-270.

2. (2013· 课标全国Ⅱ改编)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a=________. 答案 -1 解析
1 2 2 1 (1+ax)(1+x)5 中含 x2 的项为:(C2 5+C5a)x ,即 C5+C5a=5,a=-1.

?x+ a ?8 4 3. (2013· 安徽)若? 3 ? 的展开式中,x 的系数为 7,则实数 a=________. x? ?
答案 1 2

? a ?r r r 4 4 8-r 3 解析 Tr+1=Cr x =7,则 ? 3 ? =a C8x8-3r,由 8-3r=4 得 r=3,由已知条件 a3C8 8 ? x?
1 1 a3= ,a= . 8 2 4. (2013· 北京)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分 给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是________. 答案 96 解析 将 5 张参观券分成 4 堆,有 2 个联号有 4 种分法,每种分法再分给 4 人,各有
4 A4 4种分法,∴不同的分法种类共有 4A4=96.

? x+ 1 ?24 5. 在? 3 ? 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有________项. x? ?
答案 5 1 24-r 1 解析 Tr+1=Cr (x- )r 24(x ) 2 3 5r =Cr (0≤r≤24) 24x12- 6 ∴r 可取值为 0,6,12,18,24, ∴符合要求的项共有 5 项. 6. 如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有________种.

答案 21
1 2 3 解析 当第一组开关有一个接通时,电路接通为 C1 2(C3+C3+C3)=14 种方式;当第一 1 2 3 组有两个接通时, 电路接通有 C2 所以共有 14+7=21 种方式. 2(C3+C3+C3)=7 种方式.

7. 高三某班 6 名同学站成一排照相,同学甲、乙不能相邻,并且甲在乙的右边,则不同的 排法共有________种. 答案 240 解析 先将其他 4 名同学排好有 A4 4种方法,然后将甲、乙两名同学插空,又甲、乙两
4 2 人顺序一定且不相邻,有 C2 C5=240 种排法. 5种方法,所以共有 A4·

8. 某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加某高校自主招生考试, 若这 4 人中必须既 有男生又有女生,则不同的选法共有________种. 答案 34
4 解析 从 7 人中选 4 人共有 C4 7=35 种方法,又 4 名全是男生的选法有 C4=1 种.故选

4 人既有男生又有女生的选法种数为 35-1=34. 9. 若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a0+a1+a3+a5 的值为________. 答案 123 解析 在已知等式中分别取 x=0、x=1 与 x=-1,得 a0=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5 =35,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,因此有 2(a1+a3+a5)=35+1=244,a1+a3+a5= 122,a0+a1+a3+a5=123. 1 10.在二项式(x2- )n 的展开式中,所有二项式系数的和是 32,则展开式中各项系数的和为 x ________. 答案 0 解析 依题意得所有二项式系数的和为 2n=32,解得 n=5. 1 因此,该二项展开式中的各项系数的和等于(12- )5=0. 1 11.(2012· 浙江)若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+?+a5(1+x)5,其中 a0,a1,a2,?,a5 为实数,则 a3=________. 答案 10 解析 方法一 f(x)=x5=(1+x-1)5,


5 r 它的通项为 Tr+1=Cr · (-1)r, 5(1+x) 3 2 3 T3=C2 5(1+x) (-1) =10(1+x) ,∴a3=10.

方法二 不妨设 1+x=t,则 x=t-1, 因此有(t-1)5=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5,
2 则 a3=C2 5(-1) =10.

12.某班级有一个 7 人小组,现任选其中 3 人相互调整座位,其余 4 人座位不变,则不同的 调整方案的种数为________. 答案 70

7×6×5 解析 分两步:第一步先选 3 个人即 C3 =35. 7= 3×2×1 第二步 3 个人相互调整座位,有 2 种方法.∴35×2=70. 13. 某工厂将甲、 乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间, 每个车间至少分配一名员工, 且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为________. 答案 36
2 1 解析 若甲、乙分到的车间不再分人,则分法有 C1 3×A2×C3=18 种;若甲、乙分到的 1 车间再分一人, 则分法有 3×A2 所以满足题意的分法共有 18+18=36 种. 2×C3=18 种.

14.将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子,要求每个盒子中至少有 1 个小球,且每个盒子 中的小球个数都不同,则共有不同放法________种. 答案 18 解析 对这 3 个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数: 第一类, 这 3 个盒子中所 放的小球的个数是 1,2,6,此类放法有 A3 3=6 种;第二类,这 3 个盒子中所放的小球的
3 个数是 1,3,5,此类放法有 A3 =6 种;第三类,这 3 个盒子中所放的小球的个数是 2,3,4,

此类放法有 A3 3=6 种.因此满足题意的放法共有 6+6+6=18 种. 15. (2012· 湖北改编)设 a∈Z, 且 0≤a<13, 若 512 012+a 能被 13 整除, 则 a 的值为________. 答案 12
0 2 012 2 011 011 2 011 解析 512 012+a=(52-1)2 012+a=C2 -C1 +?+C2 01252 2 01252 2 012×52×(-1) 012 2 012 +C2 +a. 2 012×(-1)

因为 52 能被 13 整除,
012 2 012 所以只需 C2 +a 能被 13 整除, 2 012×(-1)

即 a+1 能被 13 整除,所以 a=12. 16.(2012· 大纲全国)将字母 a,a,b,b,c,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同, 每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有________种. 答案 12 解析 先排第一列,因为每列的字母互不相同,因此共有 A3 3种不同的排法. 再排第二列,其中第二列第一行的字母共有 A1 2种不同的排法,第二列第二、三行的字 母只有 1 种排法. 因此共有 A3 A1 1=12(种)不同的排列方法. 3· 2· 17.某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天安排 1 人,每人值班 1 天,若 7 位 员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安 排方案共有________种. 答案 1 008
6 5 4 解析 由题意得不同的安排方案共有 A2 2(A6-2A5+A4)=1 008(种).

18.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴全运会的四个不同 场馆服务,不同的分配方案有________种. 答案 1 080 C2 C2 6· 4 解析 先将 6 位志愿者分组,共有 2 种方法;再把各组分到不同场馆,共有 A4 4种方 A2 C2 C2 6· 4 4 法.由乘法原理知,不同的分配方案共有 2 · A4=1 080(种). A2


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