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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第13课 函数的单调性与最值课件 文


考纲要求

理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.

知识梳理
1.函数的单调性
增函数 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义 域I内某个区间D上的任意两个自变量x1, x2 当x1<x2时, 都 有 f(x1) < f(x2 ____________),那么函数 f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时,都有 __________ , 那么函数f(x) f(x1) > f(x2) 在区间D上是减函数

定 义

图 象 描 上升的 下降的 述 自左向右看图象是______ 自左向右看图象是_____

2.用定义证明函数 f ( x) 在给定的区间的单调性的步骤: ① 取值:设 x1 , x2 是给定区间的任意两个值,且 x1 ? x2 ; ② 作差: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③ 变形:通常是通分、因式分解、配方等,出现几个因 式的积,向有利于判断差的符号的方向变形; ④定号:判断 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的正负,当正负不能确定时, 可以分区间进行讨论; ⑤下结论:指出函数 f ( x) 在给定的区间的单调性.

3.函数的最值 前 提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (3)对于任意x∈I,都有 f(x)≥M __________; (4)存在x0∈I, 使得 f(x0)=M __________.

(1)对于任意x∈I,都有 f(x)≤M _________; 条 件 (2)存在x0∈I, 使得 f(x0)=M _________.

结 论

M为最大值

M为最小值

基础自测
1.函数 y ? x ? 2 在区间 [?3,0] 上( A.递减 C.先减后增
【答案】C 【解析】作出 y ? x ? 2 的图象, 如图, ∴在 [?3, ?2] 上为减函数, 在 [?2,0] [-2,0]上为增函数.



B.递增 D.先增后减

2. (2012 广东高考)下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数 的是( ) B. y ? ? x ? 1

A. y ? ln( x ? 2)

1 x C. y ? ( ) 2

1 D. y ? x ? x

【答案】A

3. (2012 肇庆二模)已知 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数, 且满足 f (3x ? 2) ? f (1) ,则实数 x 的取值范围是( A. (??,1) )

2 B. ( ,1) 3
D. (1, ??)

2 C. ( , ??) 3
【答案】B

?3 x ? 2 ? 0 2 【解析】由 ? ,解得 ? x ? 1 . 3 ?3 x ? 2 ? 1

4.已知 f (x) 在 R 上是减函数,若 a ? b ? 0 ,则下列正确的是 ( ) A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)

【答案】D 【解析】∵ f (x) 在 R 上是减函数, 若 a ? b ? 0 ,∴ a ? ?b ,∴ f (a) ? f (?b) , 同理: f (b) ? f (?a) , ∴ f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) .

典例剖析
考点1 函数单调性的判断与证明

x 【例 1】已知 f ( x) ? ( x ? a) . x?a
(1)若 a ? ?2 ,试证 f ( x) 在 (??, ?2) 内单调递增; (2)若 a ? 0 且 f ( x) 在 (1, ??) 内单调递减, a 的取值范围. 求

【解析】(1)证明:任取 x1 ? x2 ? ?2 ,则

x1 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2

2( x1 ? x2 ) . ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
∵ x1 ? x2 ? ?2 , ∴ ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∴ f ( x) 在 (??, ?2) 内单调递增.

(2)任取 1 ? x1 ? x2 ,则

x1 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? a x2 ? a

a ( x2 ? x1 ) . ? ( x1 ? a )( x2 ? a )
∵ a ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , ∴要使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 只需 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? 0 恒成立,∴ a ? 1 . 综上, a 的取值范围是 0 ? a ? 1.

【变式】 (2012 青岛模拟)已知奇函数 f ( x) 对任意的正实数

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,恒有 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,则一定
正确的是( ) B. f (?4) ? f (?6) D. f (4) ? f (?6) A. f (4) ? f (?6) C. f (?4) ? f (?6)

【答案】C 【解析】方法 1: 显然 (6 ? 4)[ f (6) ? f (4)] ? 0 ,即 f (6) ? f (4) , ∵ f ( x) 为奇函数,∴ f (6) ? ? f (?6), f (4) ? ? f (?4) , ∴ f (?4) ? f (?6) .

方法 2: ∵ ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 , ∴ f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数, ∴ f (6) ? f (4) ∵ f ( x) 为奇函数, ∴ f (6) ? ? f (?6), f (4) ? ? f (?4) , ∴ f (?4) ? f (?6) .

考点2 求函数的最值

【例 2】(2012 惠州调研)用 min{a, b, c} 表示 a, b, c 三个数中 的最小值.设 f ( x) ? min{2 , x ? 2,10 ? x} ( x ? 0) ,则 f ( x)
x

的最大值为( A.4

) B.5 C.6 D.7

【答案】C 【解析】如图所示,在同一坐标系中作出 x ? 0 时, y ? 2 ,
x

y ? 10 ? x , y ? x ? 2 的图象.
根据 f ( x) 定义知, f ( x) ? min{2 , x ? 2,10 ? x} ( x ? 0)
x

的图象(如图实线部分).

?2 x ,??????0 ? x ? 2, ? ∴ f ( x) ? ? x ? 2,??2 ? x ? 4, ?10 ? x, x ? 4. ?
令 x ? 2 ? 10 ? x ,解得 x ? 4 . ∴当 x ? 4 时, f ( x) 取最大值 f (4) ? 6 .

1 ? 2 ? x ,??? 2 ? x ? 1, ? 【变式】已知函数 f ( x ) ? ? ? 1 ,??1 ? x ? 2. ?x ?
求函数的最大值和最小值.

1 2 【解析】当 ? ? x ? 1时,由 f ( x) ? x , 2
可知 [ f ( x)]max ? 1 , [ f ( x)]min ? 0 ,

1 当 1 ? x ? 2 时,由 f ( x) ? ,可得 f (2) ? f ( x) ? f (1) , x 1 即 ? f ( x) ? 1 2 ∴函数的最大值为 1 ,最小值为 0 .

考点3 函数单调性的应用

?a x ,???????????????? x ? 1 ? 【例 3】 (2012 长春模拟) f ( x ) ? ? 是 R 上的 a ?(4 ? ) x ? 2, x ? 1 ? 2
单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( A. (1, ??) C. (4,8) B. [4,8) D. (1,8) )

【答案】B 【解析】∵ f ( x) 是 R 上的单调递增函数,

? ? a ? 1, ? ? a ∴ ? 4 ? ? 0, 解得 4 ? a ? 8 . 2 ? a ? a ? 4 ? ? 2. ? ? 2

? 1 x ? ( ) , x ? 0, 【变式】 (2012 丰台一模)若函数 f ( x) ? ? 2 ?? x ? a, x ? 0, ?
则“ a ? 1 ”是“函数 y ? f ( x) 在 R 上单调递减”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

【答案】A 【解析】 y ? f ( x) 在 R 上单调递减的充要条件是

1 0 ( ) ? ?0 ? a ,即 a ? 1 ,故选 A. 2

归纳反思
1.函数的单调性的证明时,若不能直接定号,则要分类讨论; 2.对于分段函数的单调性问题,应充分利用分段函数是一个函 数这一本质特征. 3.设 x1 , x2 ? [a, b] 且 x1 ? x2 ,那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ① ? 0 或 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 x1 ? x2

? f ( x) 在 [a, b] 上是增函数.
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ② ? 0 或 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 x1 ? x2

? f ( x) 在 [a, b] 上是减函数.


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