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江苏省新海高级中学2013届高三数学周练


江苏省新海高级中学 2013 届高三数学周练
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在相应位置上. 1.已知集合 M ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} , N ? {x | ?4 ? x ? 2} ,则 M ? N ? 2.各项是正数的等比数列 {an } 中, a2 , ▲ .

1 a 3 ,

a1 成等差数列,则数列 {an } 公比 q= ▲ . 2 ?? ? 3.已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, 0 ? ? ? ? ,且此函数的图象如图 2? ? 所示,则点 ??, ? ? 的坐标是 ▲

4.已知向量 a ? ??,?2?, b ? ?? 3,5?,且 a 与 b 的夹角为钝角,则实 数 ? 的取值范围 ▲ . 2 5.已知 x>1,则 x ? 的最小值为 ▲ . x ?1
6.在△ ABC 中,内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,已知 a ? 5 ,b ?

? 5 2 , A ? ,则 cos B ? 4 3

▲ . 7.若函数 f ( x) ? ( x ? 2)(x 2 ? c) 在 x ? 2 处有极值,则函数 f (x) 的图象在 x ? 1 处的切线的斜率为 ▲ . 1 13 ? 8.已知 cos ? ? ,cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? ▲ . 7 14 2

x ? 9.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f( )?

log? ), ? ( ? 21 x x 0 ,则 f(5)= ▲ f x 1 f x 2x 0 ? ( ?)? ( ? ), ?



10. 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2n ? 2an ,则数列{ an }的通项公式为 ▲ . 11、设 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,双曲线两条渐近线分别为 l1 ,l 2 ,过 F 作直线 l1 的垂线,分别交 a2 b2 l1 ,l 2 于 A、B 两点。若 OA, AB, OB 成等差数列,且向量 BF 与 FA 同向,则双曲线离心率 e 的大小
1 3 x ? 2 x ,对任意的 t ???3,3? , f ?tx ? 2? ? f ? x ? ? 0 恒成立,则 x 的取值范围是 3

为___▲________. 12.已知函数 f ? x ? ?

▲ 13.设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 , Sn 表示数列 ?an ? 的前 n 项的和, Tn 表示数列 ?an ? 的前 n 项的乘积,

Tn ? k ? 表示 ?an ? 的前 n 项中除去第 k 项后剩余的 n-1 项的乘积,即 Tn ? k ? ?
数列

Tn ? n, k ? N ? , k ? n ? ,则 ak

SnTn 的前 n 项的和是 ▲ (用 a1 和 q 表示) Tn ?1? ? Tn ? 2 ? ? ? ? Tn ? n ?

14.已知使函数 f(x)=x3-ax2+1(0≤a≤M0)存在整数零点的实数 a 恰有 3 个,则 M0 的取值范围是 ▲ 二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)

? ? ? π 3 sin x,sin x , b ? ? sin x,cos x ? ,设函数 f ( x) ? a ? b , x ? [ , π] 2 (Ⅰ )求函数 f ( x ) 的零点; (Ⅱ )求函数 f ( x ) 的最大值和最小值.
已知 a ?

?

?

?

16.(本小题满分 14 分) 如图,平行四边形 ABCD 中, BD ? CD ,正方形 ADEF 所在的平面和平面 ABCD 垂直, H 是 BE 的中点, G 是 AE, DF 的交点. (1)求证: GH // 平面 CDE ; (2)求证: BD ? 平面 CDE .

17.(本小题满分 14 分)函数 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b(a ? 0) 在区间[2,3]上的最大值为 4,最小值为 1, 记 f ( x) ? g (| x |). (Ⅰ )求实数 a,b 的值; (Ⅱ )若不等式 f (log2 k ) ? f (2) 成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ )定义在[p,q]上的一个函数 m(x),用分法 T : p ? x0 ? x1 ? ? ? xi ? ? ? xn ? q 将区间[p,q]任意 划分成 n 个小区间, 如果存在一个常数 M>0, 使得和式

? m( x ) ? m( x
i ?1 i

n

i ?1

则称函数 m( x) ) ? M 恒成立,

为在[p,q]上的有界变差函数,试判断函数 f ( x ) 是否为在[1,3]上的有界变差函数?若是,求 M 的最小 值;若不是,请说明理由。(参考公式: ? f ( xi ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? … …+ f ( xn ) )
i ?1 n

18. (本小题满分 16 分)如图,有一块边长为 1 (百米)的正方形区域 ABCD 。在点 A 处有一个可转动的探 照灯,其照射角 ?PAQ 始终为 45
0

(其中点 P , Q 分别在边 BC , CD 上),设 ?PAB ? ? , tan? ? t .

(1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少(平方百米)?
D Q C

P
450

A

?

第 18 题图

B

19. (本小题满分 16 分)

x2 y2 ? ? 1(a>b>0) 的 左 右 顶 点 与 上 定 点 , 直 线 A2 B 与 圆 a2 b2 1 1 C : x 2 ? y 2 ? 1相切。 (1)求证: 2 ? 2 ? 1 ; a b 1 (2) P 是椭圆 E 上异于 A1、A2 的一点,直线 PA1 , PA2 的斜率之积为 ? ,求椭圆 E 的方程; 3 (3)直线 l 与椭圆 E 交于 M , N 两点,且 OM ? ON ? 0 ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系,并说明理由。
设 A1、A2 与 B 分 别 是 椭 圆 E :

20. (本小题满分 16 分) 已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2012 ,公比 q ? ? (Ⅰ )求数列 ?Sn ? 的最大项和最小项;

1 ,数列 {an } 前 n 项和记为 Sn ,前 n 项积记为 ? ( n) . 2

(Ⅱ )判断 ?(n) 与 ?(n ? 1) 的大小,并求 n 为何值时, ? ( n) 取得最大值; (Ⅲ )证明 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,如果所有这些等差数列的公差 按从小到大的顺序依次设为 d1 , d2 , d3 ,?dn ,证明:数列 {dn } 为等比数列。

江苏省新海高级中学 2013 届高三数学周练六参考答案
一.填空题 1、{-1} 2、 8、

5 ?1 2

3、 (2,

?
4

)

4、 ? ? ? 11、

1 2

9、1 10、 an ? 2n?1 ? 2

5 2

10 6 2 2 ,且 ? ? 5、 2 2 ? 1 6、 7、-5 3 5 3 1 26 63 a 2 (1 ? q n ) 12、 ( ?1, ) 13、 1 14、 [ , ) 2 9 16 1? q

二.解答题

? ? ? π 3 sin x,sin x , b ? ? sin x,cos x ? ,设函数 f ( x) ? a ? b , x ? [ , π] 2 (Ⅰ )求函数 f ( x ) 的零点; (Ⅱ )求函数 f ( x ) 的最大值和最小值. π (Ⅰ )解:由题意: f ( x) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x , x ? [ , π] .………………1 分 2 令 f ( x) ? 0 ,得 sin x ? ( 3 sin x ? cos x) ? 0 ,
15.已知 a ?

?

?

?

所以 sin x ? 0 ,或 tan x ? ?

3 . 3

………………2 分

由 sin x ? 0 , x ? [ , π] ,得 x ? ?

π 2

π 5? 3 , x ? [ , π] ,得 x ? 。 2 6 3 5? 综上,函数 f ( x ) 的零点为 或? 。 ……………6 分 6 3 1 ? 3 (Ⅱ )解: f ? x ? ? ……………8 分 ?1 ? cos 2x ? ? sin 2x ? sin ? 2 x ? ? ? ? ? 2 2 3? 2 ? π ? 2π 5π 因为 x ? [ , π] ,所以 2 x ? ? [ , ] 2 3 3 3 π ? 2π 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 的最大值为 3 ; ……………12 分 2 3 3 π 3π 11π 3 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f (x) 的最小值为 ?1 ? . ……………14 分 3 2 12 2 16.(满分 14 分) 如图,平行四边形 ABCD 中, BD ? CD ,正方形 ADEF 所在的平面和平面 ABCD 垂 直, H 是 BE 的中点, G 是 AE , DF 的交点. (1)求证: GH // 平面 CDE ; (2)求证: BD ? 平面 CDE . 证明:(1)由题意可知 GH // AB,又 AB∥CD,所以 GH // CD, 又 CD ? 面 CDE,所以 GH // 平面 CDE 。 (2)因为正方形 ADEF 所在的平面和平面 ABCD 垂直,且交线为 AD,
由 tan x ? ? 而 ED⊥AD,所以 ED⊥面 ABCD,而 BD 在面 ABCD 内,所以 ED⊥BD,又 CD⊥BD,所以 BD ? 平面 CDE 。
2 ) 17. 已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b(a ? 0) 在区间[2, 3]上的最大值为 4, 最小值为 1, f ( ) ? | x| 记 x g( .

(Ⅰ )求实数 a,b 的值; (Ⅱ )若不等式 f (log2 k ) ? f (2) 成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ )定义在[p,q]上的一个函数 m(x),用分法 T : p ? x0 ? x1 ? ? ? xi ? ? ? xn ? q 将区间[p,q]任意 划分成 n 个小区间, 如果存在一个常数 M>0, 使得和式

? m( x ) ? m( x
i ?1 i

n

i ?1

则称函数 m( x) ) ? M 恒成立,

为在[p,q]上的有界变差函数,试判断函数 f ( x ) 是否为在[1,3]上的有界变差函数?若是,求 M 的最小

值;若不是,请说明理由。(参考公式: ? f ( xi ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? … …+ f ( xn ) )
i ?1

n

17.解:(Ⅰ g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b(a ? 0) ,因为 a ? 0 , )
2

所以 g ? x ? 在区间[2,3]上是增函数,故 ?

? g ? 2? ? 1 ?a ? 1 ? ,解得 ? ;…………5 分 ?b ? 0 ? g ? 3? ? 4 ?

(Ⅱ )由已知可得 f ( x) ? g (| x |) ? x2 ? 2 x ?1为偶函数, 所以不等式 f (log2 k ) ? f (2) 可化为 log2 k ? 2 ,……………8 分 解得 k ? 4 或 0 ? k ?

(Ⅲ )函数 f ? x ? 为[1,3]上的有界变差函数。

1 ;…………………………10 分 4

因为函数 f ? x ? 为[1,3]上的单调递增函数, 且对任意划分 T :1 ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? 3
n

有 f ?1? ? f ? x0 ? ? f ? x1 ? ? ? ? f ? xn?1 ? ? f ? xn ? ? f ?3? 所以 ? | f ( xi ) ? ( xi ?1 ) | ? f ? x1 ? ? f ? x0 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ?? f ? xn ? ? f ? xn?1 ?
i ?1

? f ? xn ? ? f ? x0 ? ? f ?3? ? f ?1? ? 4

所以存在常数 M,使得

?
i ?1

n

| m | ( xi ) ? m( xi ?1 ) |? M 恒成立。……………14 分

18.如图,有一块边长为 1 (百米)的正方形区域 ABCD 。 在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射角 ?PAQ 始终为 45
0

(其中点 P , Q 分别在边 BC , CD 上),设 ?PAB ? ? , tan? ? t .

(1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少(平方百米)? D 18.解:(1) BP ? t , CP ? 1 ? t ,0 ? t ? 1.
Q C

?DAQ ? 45 0 ? ? , DQ ? tan( 45 0 ? ? ) ?

1? t 2t CQ ? 1 ? ? . ------------------3 分 450 1? t 1? t ? A 第 18 题图 2t 2 1 ? t 2 2 2 2 -------- ----------6 分 ? PQ ? CP ? CQ ? (1 ? t ) ? ( ) ? 1? t 1? t 2 2t 1 ? t ? ? 1 ? t ? 1 ? t ? 2 ------ -----------9 分 ? l ? CP ? CQ ? PQ ? 1 ? t ? 1? t 1? t 1 1 1? t t 1 1? t ?1? ? ? (2) S ? S正方形 ABCD ? S ?ABP ? S ?ADQ ? 1 ? 1 ? ? 1 ? t ? ? 1 ? 2 2 1? t 2 2 1? t t 1 2 ? (t ? 1) t 1 2 1 t 1 ?1? ? ? ?1? ? ? ( ? 1) ? 1 ? ? ? ? 2 2 1? t 2 2 1? t 2 2 t ?1 t ?1 1 ? 2?( ? ) -----------------12 分 2 t ?1 t ?1 1 t ?1 1 ?1 ? t ? 0 ? S ? 2 ? ( ? ) ? 2?2 ? ? 2? 2 2 t ?1 2 t ?1 t ?1 1 ? (当且仅当 ,即 t ? 2 ? 1 等号成立) -----------15 分 2 t ?1 答:探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为 2 ? 2 平方百米.-----------16 分

1? t , 1? t

P

B

x2 y2 ? ? 1(a>b>0) 的左右顶点与上定点,直 a2 b2 1 1 线 A2 B 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 1相切。 (1)求证: 2 ? 2 ? 1 ; a b 1 (2) P 是椭圆 E 上异于 A1、A2 的一点,直线 PA1 , PA2 的斜率之积为 ? ,求椭圆 E 的方程; 3 (3)直线 l 与椭圆 E 交于 M , N 两点,且 OM ? ON ? 0 ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系,并说明理由。
19. (本小题满分 16 分)设 A1、A2 与 B 分别是椭圆 E :

20. 已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2012 , 公比 q ? ? (Ⅰ )求数列 ?Sn ? 的最大项和最小项;

1 , 数列 {an } 前 n 项和记为 Sn , n 项积记为 ? ( n) . 前 2

(Ⅱ )判断 ?(n) 与 ?(n ? 1) 的大小,并求 n 为何值时, ? ( n) 取得最大值; (Ⅲ )证明 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,如果所有这些等差数列的 公差按从小到大的顺序依次设为 d1 , d2 , d3 ,?dn ,证明:数列 {dn } 为等比数列。

a1[1 ? (? 1 ) n ] 2 ? 2 a [1 ? (? 1 ) n ] 解:(Ⅰ S n ? ) 3 1 2 1 ? (? 1 ) 2 2 n (1)当 n 是奇数时, Sn ? 2 a1[1 ? ( 1 ) ] , 单调递减,? S1 ? S3 ? S5 ? ??? ? S 2 n ?1 ? a1 , 3 2 3 2 n (2)当 n 是偶数时, Sn ? 2 a1[1 ? ( 1 ) ] , 单调递增,? S 2 ? S 4 ? S6 ? ??? ? S 2 n ? a1 ; 3 2 3
综上,当 n=1 时, Sn有最大值为S1 ? 2012 ; 当 n=2 时, Sn有最小值为S2 ? 1006 .…4 分 (Ⅱ ? ?(n) |?| a1a2a3 ?an | ,? ) |

| ? (n ? 1) | ?| an ?1 |? 2012( 1 )n , | ? ( n) | 2

? 2012 ? 1 ? 2012 , 211 210 则当 n ? 10 时, | ?(n ? 1) |?| ?(n) | ;当 n ? 11 时, | ?(n ? 1) |?| ?(n) | ,……6 分 又 ?(10) ? 0, ?(11) ? 0, ?(9) ? 0, ?(12) ? 0 ,

? ?(n) 的最大值是 ?(9)和?(12) 中的较大者.
? ? (12) ? a10 a11a12 ? a113 ? [2011(? 1 )10 ]3 ? 1 ,??(12) ? ?(9) , ? (9) 2 因此当 n=12 时, ? ( n) 最大. ………………………10 分

(Ⅲ | an | 随 n 增大而减小,数列 {an } 的奇数项均正数且递减,偶数项均负数且递增. ) ① n 是奇数时,调整为 an ?1 , an ? 2 , an .则 当

? an?1 ? an ? 2an? 2 , an?1 , an? 2 , an 成等差数列; ② n 是偶数时,调整为 an , an ? 2 , an ?1 ;则 当

a a an?1 ? an ? a1 (? 1 )n ? a1 (? 1 )n?1 ? 1 , 2an?2 ? 2a1 (? 1 )n?1 ? 1 , n 2 2 2 2 2n
………………………12 分

? an?1 ? an ? 2an? 2 , an , an? 2 , an?1 成等差数列;

a a an?1 ? an ? a1 (? 1 )n ? a1 (? 1 )n?1 ? ? 1 , 2an?2 ? 2a1 (? 1 )n?1 ? ? 1 , n 2 2 2 2 2n

综上可知,数列 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列.14 分

3a1 ; 2n?1 3a ② 是偶数时,公差 dn ? an?2 ? an ? a1[(? 1 )n?1 ? (? 1 )n?1 ] ? n?11 . n 2 2 2 dn 3a1 ?1, 无论 n 是奇数还是偶数,都有 dn ? n ?1 ,则 d n ?1 2 2 因此,数列 {dn } 是首项为 3 a1 ,公比为 1 的等比数列. …………………16 分 4 2
① 是奇数时,公差 dn ? an?2 ? an?1 ? a1[(? 1 )n?1 ? (? 1 )n ] ? n

2

2


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