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函数图象与性质的综合应用(一)


一、教学内容 二、学习指导

函数图象与性质的综合应用(一)

1.函数性质是函数的重点内容,它包括函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性 和对称性,函数图象是研究函数性质的直观工具,函数问题已成为高考永恒的热点、重点考 查的内容之一,在选择题、填空题和解答题三种题型中每年都有试题.主要考查的内容有函 数、反函数的概念及性质,函数的图象及

变换和以基本初等函数出现的综合题及应用题等, 同时考查基本数学思想方法的运用及分析问题、解决问题的能力,试题设计新颖,体现了课 改的方向.? 2.理解映射、一一映射、函数、反函数的有关概念及其联系.映射是一种多对一和一对 一的对应,函数是一个特殊的映射,只有当确定函数的映射是一一映射时,函数才具有反函 数,反函数的定义域、值域是原函数的值域和定义域,且有 f(a)=b ? f 1(b)=a.? 3.掌握基本初等函数的图象,能熟练地运用函数图象的平移、对称、伸缩等变换画函 数的图象,会自觉运用图象研究函数的性质(如定义域、值域、蛋调性、奇偶性等) ,讨论 方程的解的个数及解不等式等.


三、典型例题
SΔPBC 【例 1】 2005 年· 湖南设 P 是△ ABC 内任意一点, △ ABC 表示△ ABC 的面积,1= S λ , S△ ABC S△ PCA S△ PAB 1 λ2= ,λ3= ,定义 f(p)=(λ1,λ2,λ3).若 G 是△ ABC 的重心,f(Q)=( , S△ ABC S△ ABC 2 1 1 , ) ,则 3 6 A.点 Q 在△ GAB 内 重合 【解析】 利用特殊值法,假设△ ABC 是边长为 1 的正三角形,易判断点 Q 在△ GAB 内.? 【评析】 本题考查了映射的定义及运用“新定义”分析、解决问题的能力.在正确理解 B.点 Q 在△ GBC 内? C.点 Q 在△ GCA 内 D.点 Q 与 G ( A )

“新定义”的基础上,通过特殊三角形,运用筛选法求解.?

变式题 由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,定义映射 f
(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则 f(4,3,2,1)= A.10 B.7 C.-1 D.0? ( )

1 - - 【例 2】 2005 年· 天津设 f 1(x)是函数 f(x)= (ax-a x) (a>1)的反函数,则 2 使 f 1(x)>1 成立的 x 的取值范围为 a2-1 A?( ,+∞) 2a a2-1 B?(-∞, )? 2a C? ( a2-1 ,a) 2a D[a,+∞)?


( A )

【分析】 思路一:先求 f 1(x) ,再解不等式?f 1(x)>1? .? 思路二:利用反函数的定义,转化为求 f(x) (x>1)的值域.? 解法一:先求得 f 1(x)=loga(x+ x2+1) (a>1) ,由 f 1(x)>1 得 loga(x+ x2+1) >logaa, a2-1 ∴x+ x2+1>a,解得 x> .? 2a 1 - 解法二:∵a>1,∴f(x)= (ax-a x)为增函数,根据函数与反函数的定义域、值 2 域之间的关系,?由 f 1(x)>1,即在 x>1 的条件下求 f(x)的值域.?∴f(x)>f(1) 1 a2-1 - = (a-a 1)= .? 2 2a 【评析】 本题考查反函数的概念以及解不等式的能力.解法二巧妙地利用函数与反函
- - -





数定义域、值域的关系,以及函数的单调性,起到了事半功倍的效果.?

变式题 设 f-1(x)是函数 f(x)= x的反函数,则以下不等式中恒成立的是
A.f 1(x)≤ 2x-1 C.f 1(x)≥ 2x-1 【例 3】 2005 年· 湖北函数 y=e
︱lnx︱ - -





B.f 1(x)≤ 2x+1? D.f 1(x)≥ 2x+1? -︱x-1︱的图象大致是 ( D )




图 1-2-1 1 3 【解析】 法一:当 x≥1 时,y=1,根据图象排除 C,取 x= 时,y= >1,排除 A, 2 2 B,故选 D.? 法二:由已知得
?1   x ? 1 ? y= ? 1 ? ? x ? 1   0<x<x ?x

结合图象选 D.?

【评析】 处理选图问题,通常有两种方法:方法一是采用选特殊点或利用函数性质排 除,方法二直接作函数的图象.?

变式题 2005 年· 辽宁一给定函数 y=f x) ( 的图象在下列图中, 并且对任意 an∈ (0, , 1)
由 关 系 式 an+1 = f( an ) 得 到 的 数 列 {an}满 足 an+1 > an ( n∈N* ) 则 该 函 数 的 图 象 是 , ( )

A

B

C

D

?

图 1-2-2? 【例 4】 2005 年· 上海对定义域分别是 Df,Dg 的函数 y=f(x) ,y=g(x).规定:?
? f ( x ) ? g ( x )     ? h(x)= ? f ( x )       ? ? g ( x )       当 x ? D f且 x ? D g 当 x ? D f且 x ? D g 当 x ? D f且 x ? D g

函数

?

1 (1)若函数 f(x)= ,g(x)=x2,写出函数 h(x)的解析式;? x-1 (2)求问题(1)中函数 h(x)的值域;? (3)若 g(x)=f(x+α) ,其中是常数,且 α∈[0, ? ] ,请设计一个定义域为 R 的函 数 y=f(x)及一个 α 的值,使得 h(x)=cos4x,并予以证明.? 【分析】 先仔细审题,理解题意.其中(1) (2)问写出 h(x)的解析式是关键,第(3) 问联想相关三角函数求解.?
? x2 ? h(x)= ? x ? 1 x ? ( ?? ,1) ? (1, ?? ) ?1, x ? 1 ?

【解】 (1)由已知得

x2 1 (2)当 x≠1 时,h(x)= =x-1+ +2? x-1 x-1 若 x>1,则 h(x)≥4,其中等号当 x=2 时成立.? 若 x<1,则 h(x)≤0,其中等号当 x=0 时成立.? ∴函数 h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞) 解法一:令 f(x)= sin2x+ cos2x,α= 则 g(x)= f(x+α)= sin2(x+ 于是 h ( x ) ?
?
4

?
4

)+ cos2(x+

?
4

)= cos2x - sin2x

f ( x ) ? f ( x ? a ) ? (sin 2 x ? cos 2 x )(cos 2 x ? sin 2 x ) ? cos 4 x

? π 解法二:令 f(x)=1+ 2sin2x,α= ,则 g(x)=f(x+α)?=1+ 2sin[2(x+ ) ] 2 2

=1- 2sin2x, 于是 h(x)=f(x) f(x+α)=(1+ 2sin2x) · (1- 2sin2x)=1-2sin22x=cos4x.? 【评析】 本题主要考查分段函数、三角函数、函数的值域等基础知识,以及运用构造 法解题的能力.解此题的关键是要准确得出函数的解析式.? *【例 5】 4x2-7 2005 年· 全国Ⅲ已知函数 f(x)= ,x∈[0,1].? 2-x

(1)求 f(x)的单调区间和值域;? (2)设 a≥1,函数 g(x)=x3-3a2x-2a,x∈,若对于任意 x1∈[0,1] ,总存在 x0∈ [0,1] ,使得 g(x0)?=f(x1)成立,求 a 的取值范围.? 【解】 (1)对函数 f(x)求导,得?

-4x2+16x-7 (2x-1)(2x-7) f′(x)= =- (2-x)2 (2-x)2 ?

1 7 ?令 f′(x)=0,解得 x= 或 x= (舍去) 2 2

当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表:? x f′(x) f(x) -
7 2

0

1 (0, ) 2 -

1 2 0 -4

1 ( ,1) 2 + ?

1

?-3

1 1 所以,当 x∈(0, )时,f(x)是减函数;?当 x∈( ,1)时,f(x)是增函数.? 2 2 1 当 x∈[ ,1) ( ]时,f(x)的值域为[-4,-3].? 2 (2)对函数 g(x)求导,得 g′(x)=3(x2-a2).? 因为 a≥1,当 x∈[0,1]时,g′(x)<3(1-a2)≤0.? 因此当 x∈[0,1]时,g(x)为减函数,从而当 x∈[0,1]时,有 g(x)∈[g(1) , g(0) ].? 又 g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即当 x∈[0,1]时,有 g(x)∈[1-2a- 3a2,-2 a].? 任给 x1∈[0,1] ,f(x1)∈[-4,-3] ,存在 x0∈[0,1]使得 g(x0)=f(x1) , ? 则[1-2a-3a2,-2 a] [-4,-3]? 即?
?1 ? 2 a ? 3 a 2 ? ? 4 ??2a ? ?3

① ? ② 3 又 a≥1,故 a 的取值范围为 1≤a≤ .? 2

5 3 解①式得 a≥1 或 a≤- ,解②式得 a≤ .? 3 2

【评析】 本题主要考查函数的性质、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识 的综合应用、转化的能力.运用导数求值域的一般步骤是:求导,令导数等于 0,求 y′=0 的 根,求出最值点,写出范围(值域).?

方法技巧提炼
1.讨论函数的性质时,必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题,注意挖掘 隐含在实际中的条件,避免忽略实际意义对定义域的影响.? 2.运用函数的性质解题时,注意数形结合,扬长避短.? 3.对于含参数的函数,研究其性质时,一般要对参数进行分类讨论,全面考虑.如对二 次项含参数的二次函数问题,应分 a=0 和 a≠0 两种情况讨论,指、对数函数的底数含有字 母参数 a 时,需按 a>1 和 0<a<1 分两种情况讨论.?

4.解答函数性质有关的综合问题时,注意等价转化思想的运用.?

巩固练习

培优辅导材料四解答


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