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北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:空间向量与立体几何(2)


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北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:空间向量与立体几何(2) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选

项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.平面α 的一个法向量 n=(1,-1,0),则 y 轴与平面α 所成的角的大小为( ) π π A. B. 6 4 π 3π C. D. 3 4 【答案】B 2.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点,则直线 AE 与平面 A1ED1 所成角的大小为( ) A.60° B.90° C.45° D.以上都不正确 【答案】B 3.在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,设 M、N 分别为 BB 1 , AC 的中点,则 MN 等于 ( )

1 ( AC ? AB ? BB1 ) 2 1 C. ( AC ? CB ? BB1 ) 2
A. 【答案】B

1 ( B1 A1 ? B1C1 ? C1C ) 2 1 D. ( BB1 ? BA ? BC ) 2
B. ( D. AC )

4. 空间任意四个点 A、B、C、D,则 BA ? CB ? CD 等于 A. DB B. AD C. DA

【答案】C 5.对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,有=x+y+z(x,y,z∈R),则 x=2,y=-3, z=2 是 P,A,B,C 四点共面的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】B 6.在空间四边形 ABCD 中,若 AB ? a , BD ? b , AC ? c ,则 CD 等于 A. a ? (b ? c) 【答案】D 7.点 M 在 z 轴上,它与经过坐标原点且方向向量为 s=(1,-1,1)的直线 l 的距离为 6,则点 M 的坐标是( ) A.(0,0,±2) B.(0,0,±3) C.(0,0,± 3) 【答案】B D.(0,0,±1) B. c ? (b ? a) C. a ? b ? c D. b ? (c ? a) ( )

8.四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,AC 与 BD 的交点为点 M,设 A 1B 1

? a, A 1D 1 ? b, AA 1 ? c ,则

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下列与 B1M 相等的向量是 ( )

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1 1 a? b?c 2 2 1 1 C. a ? b ? c 2 2
A. ?

1 1 a? b?c 2 2 1 1 D. ? a ? b ? c 2 2
B.

【答案】A 9.平面α ,β 的法向量分别是 n1=(1,1,1),n2=(-1,0,-1),则平面α ,β 所成角的余弦值 是( ) A. C. 3 3 B.- 3 3

6 6 D.- 3 3 【答案】C 10.以下命题中,不正确的命题个数为( ) ①已知 A、B、C、D 是空间任意四点,则 A+B+C+D=0 ②若{a,b,c}为空间一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底; ③对空间任意一点 O 和不共线三点 A、B、C,若 O=x+y+z(其中 x,y,z∈R),则 P、A、B、C 四点共面. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 11.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为正方体内一动点(包括表面),若=x+y+z,且 0≤x≤y≤z≤1.则点 P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( ) 1 1 1 A.1 B. C. D. 2 3 6 【答案】D π 12.如图所示,已知在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中,∠AOB= ,AO=2,BO=6,D 为 A1B1 的中点, 2 且异面直线 OD 与 A1B 垂直,则三棱柱 ABO-A1B1O1 的高是( )

A.3 C.5 【答案】B

B.4 D.6

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共 90 分)

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. 空间四边形 OABC 中,G 是△ABC 的重心,试用, ,表示,则=________. 1 1 1 【答案】 + + 3 3 3 14. 若两点的坐标是 A(3cosα ,3sinα ,1),B(2cosβ ,2sinβ ,1), 则 AB 的取值范围是_________. 【答案】 [1,5] 15.两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则 l1 与 l2 的位 置关系是________. 【答案】平行 16.已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦等于 ________. 【答案】 6 4

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三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°.

(1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长. 【答案】(1)因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD.所以 PA⊥BD. 因为 PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 PAC. (2)设 AC∩BD=O.因为∠BAD=60°,PA=AB=2, 所以 BO=1,AO=CO= 3. 如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,

则 P(0,- 3,2),

A(0,- 3,0),B(1,0,0), C(0, 3,0).
所以=(1, 3,-2), =(0,2 3,0), 设 PB 与 AC 所成角为θ ,则 cosθ == (3)由(2)知=(-1, 3,0). 设 P(0,- 3,t),(t>0),则=(-1,- 3,t). 设平面 PBC 的法向量 m=(x,y,z),则 ?m=0, ?m=0, 6 2 2?2 3 = 6 . 4

?-x+ 3y=0, 所以? ?-x- 3y+tz=0.
6 6 令 y= 3,则 x=3,z= .所以 m=(3, 3, ).

t

t

同理,平面 PDC 的法向量 n=(-3, 3, ).

6

t

因为平面 PBC⊥平面 PDC. 36 所以 m?n=0,即-6+ 2 =0.解得 t= 6.

t

所以 PA= 6.
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(1)A1D 与 EF 所成角的大小; (2)A1F 与平面 B1EB 所成角的余弦值; (3)二面角 C-D1B1-B 的余弦值.

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18.已知 E,F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC 和 CD 的中点,求:

【答案】建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz.

(1)∵ A1D =(-1,0,-1),

1 1 EF ? ( ? , ? ,0) , 2 2

A1D EF ∴ cos<A1D, EF> ? ? | A1D || EF |
∴ <A1D,EF> =60°. 因此 A1D 与 EF 所成角的大小为 60°. (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ∵AB⊥平面 B1C1CB, ∴ AB 是平面 B1EB 的一个法向量, ∵ AB =(1,1,0)-(1,0,0)=(0,1,0),

1 ? , 2 2 2? 2

1 2

A1F =(0, ,0)-(1,0,1)=(-1, ,-1),
∴ | AB |? 1,| A1F |? 由 cos<A1F, AB>

1 2

1 2

3 1 , A1F AB ? . 2 2

1 , 3

可得 A1F 与平面 B1EB 所成角的余弦值为

2 2 . 3

(3)连结 AC1,AC,∵AC1⊥平面 B1D1C,∴ AC1 是平面 B1D1C 的一个法向量,∵AC⊥平面 B1D1B,∴ AC 是平面 B1D1B 的一个法向量.
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3,

∵ AC1 =(-1,1,1), AC =(-1,1,0), | AC1 |?

| AC|? 2,AC1 AC ? 2 ,
∴ cos<AC1 , AC> ?

6 6 ,故所求二面角的余弦值为 . 3 3

19.正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a<

2 ).当 a 为何值时,MN 的长度最短?

【答案】∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,AB⊥BE, ∴BE⊥平面 ABCD. ∴AB,BC,BE 两两垂直. ∴以 B 点为原点,射线 BA,BE,BC 分别为 x 轴,y 轴和 z 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角 坐标系.

则 M(

2 2 2 2 a ,0,1a ),N( a, a ,0), 2 2 2 2

∴ MN ?

(

2 2 2 2 2 2 a? a) ? (0 ? a) ? (1 ? a ? 0)2 2 2 2 2 2 2 1 ) ? . 2 2

? a 2 ? 2a ? 1 ? (a ?

∴当 a=

2 2 时,MN 最短为 ,此时,M,N 恰好分别为 AC,BF 的中点. 2 2

20.已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BC=4,AA1=4,点 M 是棱 D1C1 的中点.求直线 AB1 与 平面 DA1M 所成角的正弦值. 【答案】建立如图所示的空间直角坐标系,

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可得有关点的坐标为 D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0), A1(4,0,4),B1(4,2,4),C1(0,2,4), D1(0,0,4). 于是,M(0,1,4).=(0,1,4),=(4,0,4),=(0,2,4). 设平面 DA1M 的法向量为 n=(x,y,z),
? ?y+4z=0 则,即? ? ?4x+4z=0



取 z=-1,得 x=1,y=4. 所以平面 DA1M 的一个法向量为 n=(1,4,-1). 设直线 AB1 与平面 DA1M 所成角为θ , 则 sin θ == 10 , 15

10 . 15 21.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,平面 PBC⊥底面 ABCD, 所以直线 AB1 与平面 DA1M 所成角的正弦值为 且 PB=PC= 5. (1)求证:AB⊥CP; (2)求点 B 到平面 PAD 的距离; (3)设面 PAD 与面 PBC 的交线为 l,求二面角 A-l-B 的大小.

【答案】(1)证明

以 BC 的中点 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则 B(1,0,0),A(1,-2,0),C(-1,0,0),P(0,0,2),D(-1,-2,0). =(0,2,0),=(1,0,2), 则有?=0,∴⊥.即 AB⊥CP. (2)解 设平面 PAD 的法向量为 n=(x,y,z),
?-x-2y-2z=0, ? 则由得? ?-2x=0. ?

令 x=0,

则 y=1,z=-1,得 n=(0,1,-1),又=(-1,0,2), |0+0-2| ∴点 B 到平面 PAD 的距离 d== = 2. 2 (3)解 由(2)知平面 PAD 的法向量 n=(0,1,-1), 而平面 PBC⊥平面 ABCD,
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∴平面 PBC 的法向量 m=(0,1,0).

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|m?n| 2 = . |m||n| 2 由图形知二面角 A-l-B 为锐二面角, ∴二面角 A-l-B 的大小为 45°. 22.如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,点 E ∴二面角 A-l-B 的余弦值为 为 AB 的中点,点 F 为 PD 的中点.

(1)证明:平面 PED⊥平面 PAB; (2)求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值. 【答案】(1)连结 BD,∵ABCD 是菱形,∠DAB=60°, ∴△ABD 是等边三角形. 又 E 是 AB 的中点, 则∠EDB=30°,∠BDC=60°,∴∠EDC=90°, 如图,建立空间直角坐标系 Dxyz,设 PD=AB=1,

则 PF=FD=

1 3 ,ED= , 2 2

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∴P(0,0,1),E(

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3 3 1 ,0,0),B( , ,0) 2 2 2

∴ PB ? (

3 1 3 ,, ? 1), PE ? ( , 0, ? 1) , 2 2 2

平面 PED 的一个法向量为 DC =(0,1,0), 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,1)

? 3 1 x, y,1 ( , , ?1) ? 0 ? ? ? ?n ? PB ? ? 2 2 由? ?? ? ?n ? PE ?? x, y,1? ( 3 ,0, ?1) ? 0 ? ? 2

? ? ? ?? ? ? ?

3 1 2 x ? y ?1 ? 0 ? 2 ?x ? 2 2 ,0,1), ?? 3 , ∴n=( 3 3 ? x ?1 ? 0 ?y ? 0 2

∵ DC ?n=0,即 DC ⊥n,∴平面 PED⊥平面 PAB. (2)由(1)知:平面 PAB 的法向量为 n=( 设平面 FAB 的法向量为 n1=(x1,y1,-1), 由(1)知:F(0,0,

2 ,0,1), 3

1 3 1 1 ), FB ? ( ,, ? ), 2 2 2 2

FE ? (

3 1 , 0, ? ), 2 2

? 3 1 1 x1 , y1, ?1? ( , ,? ) ? 0 ? ? ? ?n1 ? FB ? 2 2 2 由? ?? ? ?n1 ? FE ?? x , y , ?1? ( 3 ,0, ? 1 ) ? 0 1 1 ? ? 2 2 ? ? ? ?? ? ? ? 3 1 1 x1 ? y1 ? ? 0 ? x ? ? 1 ? 1 2 2 2 ?? 3, 3 1 ? x1 ? ? 0 ? y1 ? 0 2 2
1 ,0,-1). 3

∴n1=( ?

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∴二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值

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cos? ?| cos<n,n1 > |?|

n n1 5 7 . |? | n || n1 | 14

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