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U盘--圆的解题方法归纳


圆的解题方法
一. 遇到弦时(解决有关弦的问题时)
常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。 作用:①利用垂径定理; ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系; ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。 1、AB 是的直径,CD 是的一条弦,且 CE⊥AB 于 E,连结 AC,BC。若 BE=2,CD=8, 求 AB 和 AC 的长。

2、圆 O 的直径 AB 和弦 CD 交于 E,已知 AE=6cm,EB=2cm,∠CEA=30 求 CD。

C F A O E

B D

二. 遇到有直径时
常常添加(画)直径所对的圆周角,利用圆周角的性质,得到直角或直角三角形。 1、如图,AB 是⊙O 的直径,AB=4,弦 BC=2, ∠B=
A

C

O

B

2、如图,AB 为⊙O 的直径,点 C,D 在⊙O 上,∠BAC=50°,则∠ADC=

三. 遇到 90°的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点,利用圆周角的性质,可得到直径。
A

1、如图,AB、AC 是⊙O 的的两条弦,∠BAC=90°, AB=6,AC=8,⊙O 的半径是
B O

C

2、已知在等腰△ABC 中,∠A=∠B=30°,过点 C 作 CD⊥AC 交 AB 于点 D 求证:BC 是过 A,D,C 三点的圆的切线

四. 遇到弦时
常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用:①可得等腰三角形 ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 1、 如图, 弦 AB 的长等于⊙O 的半径, 点 C 在弧 AMB 上, 则∠C 的度数是________.

2、如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AD 是⊙O 的直径,若∠ABC=50°,求 ∠CAD 的度数。

五. 遇到有切线时
(1)常常添加过切点的半径(连结圆心和切点) 作用:利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形。 1、如图,AB 是⊙O 的直径,弦 AC 与 AB 成 30°角,CP 与⊙O 切于 C, 交 AB?的延长线于 D, (1)求证:AC=CP. (2)若 CP=6,求图中阴影部分的面积(结果精确到 0.1) 。 (参考数据: ,π=3.14)

(2)常常添加连结圆上一点和切点 作用:可构成弦切角,从而利用弦切角定理。 2、(1)如图 OA、OB 是⊙O 的两条半径,且 OA⊥OB,点 C 是 OB 延长线上任意一点: 过点 C 作 CD 切⊙O 于点 D,连结 AD 交 DC 于点 E.求证:CD=CE (2)若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动交 OA 于 F,交⊙O 于 B’,其他条件不变, 那么上述结论 CD=CE 还成立吗?为什么? (3)若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的 CF,点 E 是 DA 的延长线与 CF 的交点, 其他条件不变,那么上述结论 CD=CE 还成立吗?为什么

六. 遇到证明某一直线是圆的切线时
(1)若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段,再证垂足到圆心的距离等于半径。

1、如图所示,已知 AB 是⊙O 的直径,AC⊥L 于 C,BD⊥L 于 D,且 AC+BD=AB。
求证:直线 L 与⊙O 相切。

(2)若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径) ,再证其与直线垂直。

2、如图,四边形 ABCD 内接于⊙O, BD 是⊙O 的直径, AE ? CD ,垂足为 E , DA 平分 ?BDE . (1)求证: AE 是⊙O 的切线; A ? E (2)若 ?DBC ? 30 ,DE ? 1cm ,求 BD 的长
D O B C

七. 遇到两相交切线时(切线长)
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 作用:据切线长及其它性质,可得到:①角、线段的等量关系;②垂直关系;③全等、相似三角形。 1、如图,P 是⊙O 外一点,PA、PB 分别和⊙O 切于 A、B,C 是弧 AB 上任意一点, 过 C 作⊙O 的切线分别交 PA、PB 于 D、E,若△PDE 的周长为 12, 则 PA 长为______________

A D O C B E P

2、PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B,点 M 在 PB 上,且 OM∥AP,MN⊥AP,垂足为 N
(1)求证:OM=AN(2)若⊙O 的半径 R=3,PA=9,求 OM 的长

八. 遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。 作用:利用内心的性质,可得: ① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线; ② 内心到三角形三条边的距离相等。 1、△ABC 的内切圆圆 O 与 AC、AB、BC 分别相切于点 D、E、F, 且 AB=5cm, BC=9cm,AC=6cm,求 AE、BF 和 CD 的长。

2、如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC 的内切圆半径 r=________.

九. 遇到三角形的外接圆时
1、直角三角形,如果三角形是直角三角形,那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 已知:在△ABC 中,AB=13,BC=12,AC=5,求△ABC 的外接圆的半径.

C A B

O

2、如图,已知,在△ABC 中,AB=10,∠A=70°,∠B=50°,求△ABC 外接圆⊙O 的半径.

十. 遇到三角形的外接圆和内切圆时
1、如图,Rt△ABC 中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I 分别切 AC,BC,AB 于 D,E,F, 求 Rt△ABC 的内心 I 与外心 O 之间的距离.

2、在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,AB=5,则它的内切圆与外接圆半径分别为( ) A.1.5,2.5 B.2,5 C.1,2.5 D.2,2.5


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