当前位置:首页 >> 数学 >>

空间向量练习


空间向量
专题一:求角

一、

求异面直线所成的角
? ? m, n 上 取 两 个 定 向 量 a , b , 则 异 面 直 线 m, n 所 成 的 角 ?
特殊情形: a 等于向量

分别在直线

? ? a, b

所成的角或其补角 ? ,



? ? | a ?b | cos ? ? cos ? ? ? ? | a |?| b |

?

? ? ? ? b ? a? ? 0 , b

即异面直线 a 垂直于 b。

【例 1】如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求异面直线 AC 与 BC1 的夹角

【例 2】已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,M、N 分别为 AA1,BB1 的中点, 求 CM 和 D1N 所成角的余弦值。

D1 A
1

C1 B1 N D C B
A1 F A D C1 E D1

M

A
【例 3】已知长方体 ABCD ?

A1B1C1D1 , AB ? 2, AA1 ? 1, 直线 BD 与平面

AA1B1B 所成的角为 30? , AE 垂直 BD 于 E , F 为 A1 B1 的中点.
(Ⅰ)求异面直线

AE 与 BF 所成的角;
AA1B 所成的二面角;

B1

(II)求平面 BDF 与平面

B

C

分析:在长方体

ABCD ? A1B1C1D1 中,以 A 为原点以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AD 所在的直线为 y 轴, AA1 所在的

直线为 z 轴建立空间直角坐标系。 由已知

AB ? 2, AA1 ? 1, 可得 A(0, 0, 0), B ? 2, 0, 0 ? F (1,0,1) 。又 AD ? 平面 AA1B1B ,从而 BD 与平面

AA1B1B 所成的角为 ?DBA ? 30? ,


AB ? 2 , AE ? BD , AE ? 1, AD ?
?1 3 ? ? 2 3 ? ? 2 , 2 ,0 ? , D ? 0, 3 ,0 ? ? ? ? ? ? ? ?

2 3 3



从而易得 E ?



??? ? 1 3 ? ??? ? ? AE ? ? , ,0 ? , BF ? ? ?1,0,1? ,再利用向量定义式求异面直线的夹角。 ?2 2 ? ? ?

二、求直线与平面所成的角
特殊情形:当 a

?

? ? ? n(? ? R且? ? 0) ,则直线 a 与平面 ? 垂直。
L

? 一般情形:在直线 L 上取定 AB (或与直线L共线的 a ) ,求平面 ? 的法向量 n (如图
??? ? ? AB ? n ? ? 所示) ,再求 cos ? ? ??? | AB | ? | n |


A ?

?1 B

n

?

sin ? ? cos ?

??? ? ? | AB ? n | ? ??? ? ? cos ?1 ? | AB | ? | n |

注: ? AB, n?

??? ?? ? ?

??

, ? BA, n?

??? ?? ? ?

? ?1 且 ? ? ?1 ? 180?

【例 4】如图,在三棱椎 P-ABC 中, PA ? 平面 ABC, ?BAC AB、BC、CP 的中点,AB=AC=1,PA=2, (Ⅰ)求直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值; 解: (Ⅰ)以 A 为坐标原点,建立如图空间直角坐标系易知: A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,P(0,0,2) ,

? 90? , D,E,F 分别是棱

1 1 1 1 D( , 0, 0), E ( , , 0), F (0, ,1) , 2 2 2 2 ??? ? ???? ???? 1 1 1 ? AP ? (0, 0, 2), DE ? (0, , 0), DF ? (? , ,1) , 2 2 2 ? 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 DEF 的一个法向量,

?1 ? y?0 则 即?2 1 1 ?? x ? y ? z ? 0 ? 2 2 设 PA 与平面 DEF 所成的角为 ? , ??? ? ? | PA?n | 1 5 ? ? ? 则 sin ? ? ??? ?? ? 5 | PA || n | 5 2? 4
? ???? ? n????? ? 0 DE ?? n?DF ? 0 ?

,取 x =1,



? 1 n ? (1, 0, ) , 2

评注:求线面角关键在于:找到平面的一个法向量,法向量与直线所在的向量夹角的互余的角,即为所求的角。

【例 5】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PA ⊥底面 ABCD ,二面角 P-BC-A 等于 45°。 (Ⅰ)求

P

PA AB

的值(Ⅱ)求 PD 与截面 PAC 所成的角大小

A C D

B

二、

求二面角的大小
的方向) .例题略

方法 1:转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角(注意:要特别关注两个向量 方法 2:先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离,然后通过解直角三角形求角.例题略 方法 3: (法向量法)构造二面角 ? 1)若二面角 ?

?l ? ?

的两个半平面 ? 、 的法向量 n1 ?

、2 n

(都取向上的方向,如图所示)

?l ? ?

是“钝角型”的如图甲所示,那么其大小 ? 等于两法向量 n1

、2 n

的夹角的补角,

即 2)若二面角 ?

?? ?? ? n1 ? n2 ? cos ? ? ? cos ? ? ? ?? ?? . | n1 | ? | n2 |
?l ? ?
是“锐角型”如图乙所示,那么其大小 ? 等于两法向量

?
l

n1

n2
?

n1 、 2 n

的夹角

图甲



?? ?? ? n1 ? n2 ? cos ? ? cos ? ? ?? ?? . | n1 | ? | n2 |

n2

n1
?

?
l
图乙 【例 6】如图,在正三棱柱 A1B1C1—ABC 中,D,E 分别是棱 BC、 CC1 的中点,

AB ? AA1 ? 2,
(Ⅰ)证明: BE

? AB1 ; AB1 ? D 的大小;

(Ⅱ)求二面角 B ?

解: (Ⅱ)由图易知: D(

3 3 , , 0) , 2 2

??? ? ???? ? AB ? ( 3,1, 0), AB1 ? ( 3,1, 2) ,
设 n1

??

? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BAB1 的一个法向量,

则?

? 3 x1 ? y1 ? 0 ,令 x1 ? 3, ? 3 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0
?? ???? ? ???? 3 3 n1 ? ( 3, ?3, 0), AD ? ( , , 0) , AB1 ? ( 3,1, 2) , 2 2



? 3 3 x ? y ?0 ? ?? ? ? 2 2 2 2 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 DAB1 一个法向量,则 ? , 3 x2 ? y2 ? 2 z2 ? 0 ? ? ?
令 x2

? 3,

则 n2

?? ?

? ( 3, ?1, ?1), 设二面角 B ? AB1 ? D 为 ? ,

?? ?? ? | n1 ?n2 | 6 15 ? ? 则 cos ? ? ?? ?? ? 5 | n1 || n2 | 12 ? 5
【例 7】在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC=2 SB 的中点。 (Ⅰ)证明:AC⊥SB; (Ⅱ)求二面角 N-CM-B 的大小; 分析:本题若想利用向量的方法解答,首先要先建立适当的直角坐标系,而所给 的图形没有现成的垂直关系, 但考虑到正三角形自身的对称性, 不妨取 AC 中点 O, 连结 OS、OB.这样就可以建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz. 要想证明 AC⊥SB,只须证明 AC · SB =0,由已知不难推得 证明: (Ⅰ)A(2,0,0) ,B(0,2 S(0,0,2

3 ,M、N 分别为 AB、

3 ,0) ,C(-2,0,0) ,

2) ,M(1, 3 ,0),N(0, 3 , 2 ).

∴ 则

AC =(-4,0,0) SB =(0,2 3 ,2 2 ) , , AC · SB =(-4,0,0)(0,2 3 ,2 2 )=0 ·

由此命题得证 证明: (Ⅱ)由(Ⅰ)得 CM =(3,

? 3 ,0) MN =(-1,0, 2 ).设 n =(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,有: ,

? CM · n =3x+ 3 y=0,
取 z=1,则 x=

2 ,y=- 6 ,

? MN · n =-x+ 2 z=0,
∴ n =(

?

2 ,- 6 ,1), 2 )为平面 ABC 的一个法向量,
1 . | n | ? | OS | 3
=

又 OS =(0,0,2

∴cos( n , OS )=

?

n ? OS

∴二面角 N-CM-B 的大小为 arccos 评注:

1 . 3

1)应用空间向量法解此类题避开了找二面角的平面角及复杂的逻辑推理,只须求出两个半平面的两个法向量,应用向量内 积即可求二面角。所以求二面角的关键在于找到两个半平面各自的一个法向量,在利用公式即可。 2)大多数情况下,两个半平面的两个法向量 n1 求。 3)如果能用常规法较容易求出二面角的平面角,则用常规法求解。

、2 n

一个是显向量,一个是隐向量。显向量可直接写结果,而隐向量需要

三.如何建立空间直角坐标系 就如何建立空间直角坐标系,我们再来看 2005 年某地高考模拟试题的立几问题。 【例】在三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 是边长为 4 的等边三角形。平面 SAC

? 平面 ABC , SA ? SC ? 2 2, M



AB 的中点
AC ? SB ; (Ⅱ)求二面角 S ? CM ? A 的平面角的正弦值; (Ⅲ)求点 B 到平面 SCM 的距离。
(Ⅰ)证明: 解: (Ⅰ) SA ?

SC ? 2 2, AC ? 4, 易知 ?SAC 是 Rt? ,以 C 为原

点,建立如图空间直角坐标系,则??

【例】如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离. 分析:以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O—xyz,如图.

评注:建系原则: 1)直接运用现有的垂直关系建系,如正方体、长方体、直棱柱等。 2)利用几何体本身的对称关系建系,如等腰三角形、菱形对角线、正棱锥等。 3)利用题中的已知条件建系,如点在平面内的射影在某条直线上。 4)若没有以上三种关系,则选择已知直线为坐标轴,某些直线的公共点为坐标原点建立适当的空间直角坐标系。 总之:一定要选取适当的坐标原点及坐标轴,使得数值计算更简洁,有利于提高解题效率。 四、那些题目比较适合用空间向量解 【例】如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中, ?ABC 上,且 PE:ED= 2: 1. (Ⅰ)证明 PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 θ 的大小: (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F, 使 BF∥平面 AEC?证明你的结论. 证明:如图,以 A 为坐标原点,直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直平面 PAD 的直线为 x 轴, 建立空间直角坐标系如图。由题设条件,相关各点的坐标分别为

? 60?, PA ? AC ? a, PB ? PD ? 2a, 点 E 在 PD

【例】底面是正方形的四棱锥 S—ABCD 中,所有棱长都是 2,P 为 SA 的中点,如图 (1)求二面角 B—SC—D 的大小; (2)如果点 Q 在棱 SC 上,那么直线 BQ 与 PD 能否垂直?说明理由。


相关文章:
空间向量练习题
空间向量练习题_数学_高中教育_教育专区。1 空间向量在立体几何中的应用 【知识梳理】1、已知直线 l1 , l2 的方向向量分别为 v1 , v2 ,平面 ? , ? 的法...
空间向量单元练习题
空间向量单元练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高二 理科 数学 单元测试 《空间向量》单元练习题 空间向量》高二、 高二、二部 A.5 二、填空题 B. 41...
空间向量与立体几何练习题
空间向量与立体几何练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档空间向量与立体几何练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。空间...
空间向量及其坐标运算练习题
空间向量及其坐标运算练习题_建筑/土木_工程科技_专业资料。选修2-1课件与教案学英语报社 http://www.e-l-e.net.cn 全新课标理念, 优质课程资源 空间向量及其...
空间向量测试题
空间向量测试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。空间向量测试题 空间向量测试...空间向量测试题 4页 免费 向量空间练习测试题 7页 免费 第二章 空间向量与立体...
空间向量及其运算练习题含详细答案
空间向量及其运算练习题含详细答案_数学_高中教育_教育专区。高二理科数学 空间向量及其运算一、选择题 1、与向量 a=(12,5)平行的单位向量是( A. ? 12 , 5...
空间向量及其运算练习题含详细答案
高二理科数学 空间向量及其运算一、选择题 1、与向量 a=(12,5)平行的单位向量是( 12 5 ? A. ? ? , ? ? 13 13 ? 12 5 B. ? ,? ? ?? ? ? ...
空间向量与立体几何测试题及答案
空间向量与立体几何测试题及答案_财会/金融考试_资格考试/认证_教育专区。高中 ...空间向量与立体几何试题 2页 免费 空间向量与立体几何过关... 10页 免费喜欢...
空间向量与空间几何体练习题
空间向量与空间几何体练习题_司法考试_资格考试/认证_教育专区。空间向量与空间几何体一.选择题 1. 在下列命题中: ? ? ? ? ①若向量 a, b 共线,则向量 ...
空间向量及其运算测试题
空间向量及其运算测试题_数学_高中教育_教育专区。高二选修(2—1)第三章 3.1 空间向量及其运算测试 一、选择题 1 抛物线 y ? ? A. x ? 1 2 x 的准线...
更多相关标签: