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2015高考数学真题分类 考点31 直线与圆锥曲线


考点 31 直线与圆锥曲线
1.(2015.北京.文,20)已知椭圆 C : x2 ? 3 y 2 ? 3 ,过点 D ?1,0? 且不过点 E ? 2,1? 的直线与椭 圆 C 交于 A , B 两点,直线 AE 与直线 x ? 3 交于两点 M . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (3)试判断直线 BM 与直线

DE 的位置关系,并说明理由.

2. (2015.天津.理, 19) 已知椭圆

+

=1 (a>b>0) 的左焦点为 F (﹣c, 0) , 离心率为 截得的线段的长为 c,|FM|= .



点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x2+y2= (Ⅰ)求直线 FM 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 范围.

,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值

3.(2015.天津.文,19)已知椭圆 为 .

+

=1(a>b>0)的上顶点为 B,左焦点为 F,离心率

(Ⅰ)求直线 BF 的斜率. (Ⅱ)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B) ,过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q (Q 异于点 B) ,直线 PQ 与 y 轴交于点 M,|PM|=λ |MQ|. (i)求 λ 的值. (ii)若|PM|sin∠BQP= ,求椭圆的方程.

4.(2015.上海.理,21)已知椭圆 x2+2y2=1,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于 A、 B 和 C、D,记得到的平行四边形 ABCD 的面积为 S. (1)设 A(x1,y1) ,C(x2,y2) ,用 A、C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明 S=2|x1y2 ﹣x2y1|;

1 高中数学习题集

(2)设 l1 与 l2 的斜率之积为﹣ ,求面积 S 的值. 5. (2015.上海.文, 22) 已知椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 1 , 过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与椭圆交于点 A、 B 和 C、 D ,记 ? AOC 的面积为 S . (1) 设 Ax ,? y 2?, 2 ? y1 , 1Cx (2)设 l1 : y ? kx , C ? ? 用 A、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离, 并证明 S ? ?,
? 3 3? 1 , S ? ,求 k 的值; , ? ? 3 ? 3 3 ?
1 x1 y2 ? x2 y1 ; 2

(3)设 l1 与 l2 的斜率之积为 m ,求 m 的值,并使得无论 l1 与 l2 如何变动,面积 S 保持不 变.

y 2 x2 6. (2015.湖南.理, 20) 已知抛物线 C1 : x ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的 a b
2

一个焦点, C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 . (1)求 C2 的方程;

??? ? ??? ? (2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A , B 两点,与 C2 相交于 C , D 两点,且 AC 与 BD 同向.
(ⅰ)若 | AC |?| BD | ,求直线 l 的斜率; (ⅱ)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M ,证明:直线 l 绕点 F 旋转时, △MFD 总是 钝角三角形.

7. (2015.湖南.文, 20) 已知抛物线 C1 : x2 ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

一个焦点, C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 ,过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两点,与 C2 相交于

??? ? ??? ? C , D 两点,且 AC 与 BD 同向 .
(1)求 C2 的方程; (2)若 AC ? BD , 求直线 l 的斜率 .
2 高中数学习题集

8.(2015.湖北.理文,21)一种作图工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN ? ON ? 1 ,
MN ? 3 .当栓子 D 在滑槽

AB 内作往复运动时,带动 , ..N 绕 O 转动一周(D 不动时,N 也不动)

M 处的笔尖画出的曲线记为 C.以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直
角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与曲线 C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若 存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
y

N A D O B

N D M O x

M
第 21 题图 1

第 21 题图 2

9.(2015.江苏,12)在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 右支上的一个动点, 若点 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为 .

x2 y 2 10.(2015.江苏,18)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离 a b

心率为

2 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. 2

(1)求椭圆的标准方程;
3 高中数学习题集

(2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于 点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.
P y

A O l x

C B

11.(2015.四川.理,20)如图,椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心 a 2 b2
y A

2 率是 ,过点 P(0,1)的动直线 l 与椭圆交于 A、B 两点当直线 l 平行 2

于 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截的线段长为 2 2 (I)求椭圆 E 的方程 (II)在平面直角坐标系中是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得

B

O

x

QA QB

?

PA PB

恒成立,若存在,求出 Q 点的坐标,若不存在,说明理由

12.(2015.四川.文,20)如图,椭圆 E: 在短轴 CD 上,且 PC?PD ? ?1 (I) (II)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的离心率是 ,点(0,1) 2 a b 2

求椭圆 E 的方程; 设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点。是否存在常数 ? ,使得

OA? OB ? ? PA?PB 为定值?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由。

4 高中数学习题集

13. (2015.浙江.文, 19) 如图, 已知抛物线 C1 : y ?

1 2 x , 圆 C2 : x2 ? ( y ?1)2 ? 1, 过点 P(t ,0)(t ? 0) 4

作不过原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切,A,B 为切点.

第 19 题图 (1)求点 A,B 的坐标. (2)求 △ PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则该直线与抛物线相 切,该公共点为切点.

14.(2015.山东.理,15)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近 a 2 b2

线与抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 交于点 O, A, B. 若 ?OAB 的垂心为 C2 焦点,则 C1 的离心率为 ______
x2 y 2 15.(2015.山东.理,20)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心 a b

率为

3 , 左、 右焦点分别是 F1 , F2 .以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆 2

相交,且交点在椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的方程 (2)设椭圆 E :
x2 y2 ? ? 1 , P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭圆 E 与 4a 2 4b 2
5 高中数学习题集

A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 与点 Q

(i)求

OQ OP

的值

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值

16.(2015.山东.文,21)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :
3 1? ? ,且点 ? 3 , ? 在椭圆上. 2 2? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心 a 2 b2

率为

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设椭圆 E :
x2 y2 ? ? 1 , P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭圆 4a 2 4b 2

E 于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q .

(i)求

| OQ | 的值; (ii)求△ ABQ 面积的最大值. | OP |

17.(2015.福建.理,18)已知椭圆 E:
2 . 2

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 过点 a 2 b2

,且离心率为 e= (0, 2)

(1)求椭圆 E 的方程;
9 (2)设直线 l;x=my-1(m∈R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G (- ,0)与以线段 AB 为 4

直径的圆的位置关系,并说明理由.

6 高中数学习题集

18.(2015.福建.文,19)已知点 F 为抛物线 E: y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点,点 ? ? 2, m? 在抛 物线 E 上,且 ?F ? 3 . (Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆 心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切.

19.(2015.全国 I.理,20)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C: y ? 交于 M,N 两点。 (I)当 k ? 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程;

x2 与直线 l : y ? kx ? a(a ? 0) 4

(1) y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有 ?OPM ? ?OPN ? 说明理由.

20.(2015.全国 II.理,19)已知椭圆 C:9x2+ y2 = m2 (m>0),直线 l 不过原点 O 且不平行 于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (I)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (II)若 l 过点(
m ,m),延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否平行四边行? 3

若能,求此时 l 的斜率,若不能,说明理由.

7 高中数学习题集


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