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不等式的性质


思考:

三、新知建构,典例分 析 观察不等式 " a ? b" , " c ? d " , " e ? f " 有什么
特点?

对于两个不等式,如果 每一个不等式的左边 都大于(或都小于 )右边,这样的两个不等 式 叫作同向不等式。如果 两个不等式的不等号 开口方向不

同,那么两 个不等式叫作异向不 等式。

三、新知建构,典例分 析
思考1:实数可以比较大小,对于两个实数a,b, 其大小关系有哪几种可能?

a>b,a=b,a<b.
思考2:任何一个实数都对应数轴上的一个点,那 么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何? 大数对应的点位于小数对应的点的右边

思考3:如果两个实数的差是正数,那么这两个 实数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学 语言描述这个原理?

a -b >0

? a >b

思考4:如果两个实数的差是负数,那么这两个实 数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语 言描述这个原理?

a -b <0

思考5:如果两个实数的差等于零,那么这两个实 数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语 言描述这个原理?

?

a <b

a-b=0

?

a=b

三、新知建构,典例分 析
判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0
a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0

通过上式,比较两个数(式)的大小,就 可以转化为判断它们差的符号。
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→下结论.

三、新知建构,典例分 析
我们知道,等式有一些基本性质,如“等 式的两边加(减)同一个数,结果不变”.不 等式知否也有类似的性质呢?

探究:不等式的基本性质
思考1:若甲的身材比乙高,则乙的身材比甲矮, 反之亦然.从数学的观点分析,这里反映了一个不 等式性质,你能用数学符号语言表述这个不等式 性质吗?

a>b ? b<a(对称性)

思考2:若甲a的身材比乙b高,乙的身材b比丙c 高,那么甲a的身材比丙c高,这里反映出的不等 式性质如何用数学符号语言表述?

a >b , b >c
a <b ,b <c

? ?

a >c ;
a<c(传递性)

思考3:再有一个不争的事实:若甲a的年薪比乙b 高,如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多 的善款,则甲的年薪仍然比乙高,这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述?

a >b

?a+c>b+c(可加性)

思考4:还有一个不争的事实:若甲班的男生 比乙班多,甲班的女生也比乙班多,则甲班 的人数比乙班多. 这里反映出的不等式性质 如何用数学符号语言表述?

a > b ,c >d

? a+c>b+d(同向可加性)

思考5:如果a>b,c>0,那么ac与bc的 大小关系如何?如果a>b,c<0,那么 ac与bc的大小关系如何?为什么? a>b,c>0 ? ac>bc; a>b,c<0 ? ac<bc(可乘性) 思考6:如果a>b>0,c>d>0,那么 ac与bd的大小关系如何?为什么? a>b>0,c>d>0 ? ac>bd
(正数同向不等式可相乘)

思考7:如果a>b>0,n∈N*,那么an与 bn的大小关系如何? a>b>0 ? an>bn (n∈N*) (乘方法则) 思考8:如果a>b>0,n∈N*,那么 n a 与 b 的大小关系如何? a >b >0
方法则)
n

?

n

a > b(n∈N*)
n

(开

常用的不等式的基本性质有: ⑴a ? b ?b ? a; (反对称性) ⑵ a ? b,b ? c ? a ? c ; (传递性) ⑶ a ? b ? a ? c ? b ? c , (可加性)此法则又称为移项法则; ?a ? b,c ? 0 ? ac ? bc ⑷? (可乘性) ?a ? b,c ? 0 ? ac ? bc

(5) a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式可相加) (6) a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd (正数同向不等式可相乘)

0 n? N ) ?a ?b ?0 (7) a ? b ? (
* n n

(乘方法则)

0 n ? N , n ≥ 2) ? (8) a ? b ? ( 1 1 (9) a ? b,ab ? 0 ? ? a b
*

n

a ? n b ? 0 (开方法则)
(倒数法则)

三、新知建构,典例分 析
探究:不等式的拓展性质

思考1:在等式中有移项法则,即a+b= c ? a=c-b,那么移项法则在不等式 中成立吗? a +b >c ? a >c -b

例3.比较x2-x与x-2的大小. 解:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2 =(x-1)2+1, 因为(x-1)2≥0, 所以(x2-x)-(x-2)>0,

(1)作差
(2)变形 (3)判号

(4)结论 小结:作差法的步骤:(1)作差→(2)变形→ (3)定号→(4)结论 其中,变形的方法有:配方法;因式分解法;分子有 理化等。

因此x2-x>x-2.

三、新知建构,典例分 析
c c 例4. 已知 a>b>0, c<0.求证: > a b 1 证法一:
因a > b > 0,所以ab > 0, ab 1 1 1 1 于是a × > b × ,即 > ab ab b a c c c < 0, > . a b >0

例4. 已知 a>b>0, c<0.求证: > a b
证法二: ? a>b>0 1 1 ? < a b


三、新知建构,典例分 析 c c


性 质

又? c<0

c c ? > a b

三、新知建构,典例分 析 c c 例4. 已知 a>b>0, c<0.求证: >
a b

c c c(b-a) 证法三: ? = 作差 a b ab

? a>b>0, c<0

变形

? ab>0, b ? a<0 判断符号 c c c c ? ? >0 ? > 下结论 a b a b


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