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四川省自贡市高2013届高三一诊试题数学(理)(免费word版)


四川自贡市普高 2013 级第一次诊断性考试

数学(理)试题
本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题) .考生作答时,须将答案答在答 题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分 150 分,考试时间 120 分钟.考试结束后,只 交回答题卡,试题卷学生自己保留. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(

A)+P(B) S ? 4?R 2 如果事件 A、B 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径 P(A· B)=P(A)· P(B) 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P) n ?k (k ? 0,1, 2,?, n)

V?

4 ? R3 3

其中 R 表示球的半径

第一部分(选择题共 60 分)
注意事项: 1.选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上, 2.本部分共 1 2 小题,每小题 5 分,共 60 分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有二 项是符合题目要求的. 1. sin

?
8

cos
2 2

?
8

的值为

A. 2.复数

B. 2

C. 4 2

D.

2 4

1? i 的虚部是 4 ? 3i 1 A. i 25

B.

1 25
2

C. ?

1 25

D.—

1 i 25

3.集合 M ? {x || x ? 3 |? 4}, N ? {x | x ? x ? 2 ? 0, x ? Z }, 则M ? N = A. {x | ?1 ? x ? 1} C.{2} B. {x | 2 ? x ? 7} D.{0}

4.已知平面向量 a, b满足 | a |? 1,| b |? 2, a与b 的夹角为 60°,则“m=l”是“ (a ? mb) ? a ” 的

? ?

?

?

? ?

?

?

?

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.己知对数函数 f ( x) ? log a x 是增函数,则函数 f (| x | ?1) 的图象大致是

6.要得到函数 y=3cos(2x 一

? )的图象,可以将函数 y ? 3sin 2 x 的图象 4 ? ? A.沿 x 轴向左平移 个单位 B.沿 x 向右平移 个单位 8 8 ? ? C.沿 x 轴向左平移 个单位 D.沿 x 向右平移 个单位 4 4

7.某小区住户共 200 户,为调查小区居民的 7 月份用水量,用分层抽样的方法抽取了 50 户进 行调查,得到本月的用水量(单位:m3)的频率分布直方图如图所示,则小区内用水量超 过 l5m3 的住户的户数为

A.10 B.50 C.60 8.运行如右图所示的程序框图,则输出 S 的值为 A.-2 B.3 C.4 D.8 9.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言, 要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加, 则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为 A.720 B.600 C.520 D.360 10.设 l,m,n 为三条不同的直线,α 为一个平面,下列命题 中正确的个数是 ①若 l ? ? , 则l与? 相交 ②若 m ? ? , n ? ? , l ? m, l ? n, 则l ? ? ③若 l / / m, m / / n, l ? ? , 则n ? ?

D.140

④若 l / / m, m ? ? , n ? ? , 则l / / n A.1 11.已知函数 f ( x) ? ? B.2 C.3 D.4

? x ? 1, x ? 0, 则函数y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数是 ?log 2 x, x ? 0,

A.4 B.3 C.2 D.1 12.定义域为[a,b]的函数 y=f(x)图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f(x)图象上任意一点,

a b) , 其 中 x ? ? a ?( 1 ?? )b , ( ? x ?已知向量

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ON ? ? O ? (? ? ,)若 不 等 式 A 1 OB

???? ? 1 | MN |? k 恒成立,则称函数 f (x)在[a,b]上“k 阶线性近似” 。若函数 y ? x ? 在[1, x
2]上“k 阶线性近似” ,则实数 k 的取值范围为 A. [0, ??) B. [

1 , ??) 12

C. [ ? 2, ??)

3 2

D. [ ? 2, ??)

3 2

第二部分(非选择题,共 90 分)
注意事项 1.必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题 可先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 2.本部分共 10 小题,共 90 分, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,菇 16 分. 13.若实数 a,b 均不为零,且 x
2a

?

1 ( x ? 0), 则( x 2 a ? 2 xb )9 展开式中的常数项等于 xb



14.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积等于 . 15.代号为“狂飙”的台风于某日晚 8 点在距港口的 A 码头南偏东 60° 的 400 千米的海面上形成,预计台风中心将以 40 千米/时的速度 向正北方向移动,离台风中心 350 千米的范围都会受到台风影响, 则 A 码头从受到台风影响到影响结束,将持续____小时. 16.已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,对

?x ? R都有f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) 成立 x1 , x2 ? [0, 2], 且x1 ? x2 时,
都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,给出下列命题: x1 ? x2

(1) f (2) ? 0 ; (2)直线 x=-4 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴; (3)函数 y=f(x)在[-4,4]上有四个零点 (4)f(2012)=f(0) . 其中所有正确命题的序号为 。

三、解答题:共 6 小题,满分 74 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题共 12 分) 有两个不透明的箱子,每个箱子里都装有 4 个完全相同的小球,球上分别标有数字 1,2, 3,4. (I)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子中摸出一个球,谁摸出的球上标 的数字大谁获胜(若数字相同则为平局) ,求甲获胜的概率; (II)摸球方法与(1)相同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不 同则乙获胜,这样规定公平吗?请说明理由.

18. (本小题共 12 分) 在等比数列 {an }中,已知a1 ? 2, a4 ? 16. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的通项公式及

前n项和Sn .

19. (本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 cos x ? 3, x ? R.
2

(I)求函数 f(x)的周期和最小值 (II)在锐角△ABC 中,若 f ( A) ? 1, AB ? AC ?

??? ??? ? ?

2 ,求△ABC 的面积.

20. (本小题共 12 分) 已知四棱锥 P-ABCD 底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AD=2,AB=1,E,F 分别是线段 AB, BC 的中点. (I)证明:PF⊥FD; (II)在 PA 上找一点 G,使得 EG∥平面 PFD; (III)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求二面角 A—PD—F 的余弦值.

21. (本小题共 12 分) 已知函数 F ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 的图像过原点, 3

f ( x) ? F ?( x), g ( x) ? f ?( x), f (1) ? 0 ,函数 y ? f ( x)与y ? g ( x) 的图像交于不同的两
点 A、B. (I) y ? F ( x)在x ? ?1 处取得极大值 2,求函数 y ? F ( x) 的单调区间; (II)若使 g ( x) ? 0的x值满足x ? [? , ] ,求线段 AB 在 x 轴上的射影长的取值范围。

1 1 2 2

22. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1 ? x ).
2

(I)讨论函数 f(x)的单调性; (II)若 x ? 0时, 恒有f ( x) ? ax ,试求实数 a 的取值范围;
3

(III)令 an ?

1 1 6n 1 1 ( ) ? ln[( ) 2 n ? 1 ? ( ) 4 n ](n ? N * ), 试证明: 9 2 2 2

1 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? . 3

参考答案

? 选择题(每小题 5 分 共 60 分) (理科)DBDCB ACABC AD (文科)DBDCB ACBAC AD 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) (理)13. -672 ;14. 8+ ? ;15.2.5;16. (1) (4) (2) . (文)13. ?1, ? ? ;14. 8+ ? ;15.1+

4 3

4 3

1 1 n +….+ n ﹥ ;16. (1) (4) (2) . 2 2 ?1 2

三、解答题:共 6 个题,共 74 分。 17. 解: (1)用 ( x, y ) ( x 表示甲摸到的数字, y 表示乙摸到的数字)表示甲乙各摸到一球构 成的基本事件有: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)共有 16 个 ------------------------------------------------3 分 设甲获胜的事件为 A ,则事件 A 包括的基本事件为(2,1) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (4,3)共有 6 个, ---------------5 分 即甲获胜的概率为
[来源:学+科+K

P( A) ?

6 3 ? 16 8

3 ----------6 分 8 (2)设甲获胜的事件为 B ,乙获胜的事件为 C ,事件 B 所包含的基本事件为(1,1) (2,2) (3,3) (4,4)共有 4 个, --------------------------------------------8 分 4 1 4 3 则 P ( B) ? ? , P(C ) ? 1 ? ? , -----------10 分 16 4 16 4 -----------12 分 P( B) ? P(C ) ,∴ 不公平
18.解: (Ⅰ)由

a4 ? q3 ? 8 得 a1
an ? 2 ? 2n ?1 ? 2n

q?2

???文(2 分)理(2 分)



???文(4 分)理(3 分)

(Ⅱ)

? ? b3 ? b 1? 2d ? a 3 8 ? ? ?b5 ? b 1? 4d ? a 5 32



?b1 ? ?16 ? ? d ? 12

???文(8 分)理(6 分)

∴ (文)

bn ? ?16 ? (n ? 1)12 ? 12n ? 28

???文(10 分)理(7 分) ????文(12 分)

1 Sn ? (?16 ? 12n ? 28)n ? 6n2 ? 22n 2
n

(理) anbn ? (12n ? 28) ? 2

3 Sn ? ?1 6 1 2 ? ( ? 42? ?2 ? ? ? 2 n ? ? ? ) 8

(n 2

2 8 ) 2

2Sn ? ?16 ? 22 ? (?4) ? 23 ? ? ? (12n ? 40)2n ? (12n ? 28)2n?1
∴ ∴

Sn ? 2Sn ? ?16 ? 21 ? 12(22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (12n ? 28)2n?1 ? Sn ? 12(21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 56 ? (12n ? 28)2n?1
????理 (10 分)

= 12

2(1 ? 2n ) ? 56 ? (12n ? 28)2n?1 1? 2

∴ Sn ? (3n ? 10)2

n ?3

? 80

??理(12 分)

19.解: f ( x) ? sin 2 x ? 3(1 ? cos 2 x) ? 3 = sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2sin(2 x ? (Ⅰ) 即x??

?
3

) ?(2 分)

T?

2? ? ? ? ? ?(3 分) 2 x ? ? ? ? 2k? 2 3 2
k∈Z 时 ?(4 分)

5 x ? 2k? 12

f ( x)min ? ?2
(Ⅱ) ∴ 由

??(5 分)

f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ? 1 3

?



0? A??
??? ? ????

得 ∴ A?

?
4

? 1 2sin(2 A ? ) ? 3 2

???(6 分)

???(8 分) ∴ | AB | ? | AC |? 2 ??(10 分)

而 AB ? AC ?| AB | ? | AC | ?COSA ?

??? ???? ?

2



S?ABC ?

1 2 | AB | ? | AC | sin A ? 2 2

???(12 分)

20.解: (Ⅰ)证明:连接 AF,则 AF= 2,DF= 2, 又 AD=2,∴DF2+AF2=AD2,∴DF⊥AF.又 PA⊥平面 ABCD,∴DF⊥PA,又 PA∩AF =A,

? DF ? 平面PAF ? ? ? DF ? PF . PF ? 平面PAF ?

?????4 分(文科 6 分)

1 (Ⅱ)过点 E 作 EH∥FD 交 AD 于点 H,则 EH∥平面 PFD 且 AH= A 4 1 再过点 H 作 HG∥DP 交 PA 于点 G,则 HG∥平面 PFD 且 AG= AP, 4 ∴平面 EHG∥平面 PF D. ∴EG∥平面 PF

D.

1 D.从而满足 AG= AP 的点 G 为所求.???8 分(文科 12 分) 4

(Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系,因为 PA⊥平面 ABCD ,所以 ?PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角. 又有已知得 ?PBA ? 45? ,∴ PA ? AB ? 1 ,∴

A ? 0, 0, 0 ? , B ?1, 0, 0 ? , F (1,1, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0,1) .

? ??? ? ? ? n ? PF ? 0 ? 设平面 PFD 的法向量为 n ? ? x, y , z ? ,由 ? ? ???? ?n ? DF ? 0 ?
得?

?x ? y ? z ? 0 1 ,令 z ? 1,解得: x ? y ? .∴ 2 ? x? y ?0

? ?1 1 ? n ? ? , ,1? .??10 分(理科) ?2 2 ?

又∵ AB ? 平面PAD ,∴ AB 是平面 PAD 的法向量, 易得 AB ? ?1,0,0 ? ,

??? ?

??? ?



??? ? ? ??? ? ? AB ? n cos AB, n ? ??? ? ? ? AB ? n

1 6 2 . ? 6 1 1 ? ?1 4 4
6 . 6
?????12 分(理科)

由图知,所求二面角 A ? PD ? F 的余弦值为 21.解: f ( x) ? ax ? 2bx ? c
2

g ( x) ? 2ax ? 2b 0

f (1) ? a ? 2b ? c ? 0

c?2 b a ?

(Ⅰ) 由

F( 0 ? d ? )

f (1) ? a ? 2b ? c ? 0 f (?1) ? a ? 2b ? c ? 0

1 F (?1) ? ? a ? b ? c ? 2 3
? a?3 ? ∴ ?b ? d ? 0 ? c ? ?3 ?


F ( x) ? x 3 ? 3x

???(3 分)

F ?( x) ? f ( x) ? 3x 2 ? 3

x ? (?1,1) F ?( x) ? 0

F ?( x) ? 0 F ( x) 单增 F ( x) 单减

???(4 分)

x ? (??, ?1) 和 x ? (1, ??)
(Ⅱ) 由

???(5 分)

? y ? ax 2 ? 2bx ? c ? ? y ? 2ax ? 2b

消y 得

ax 2 ? (2a ? 2b) x ? 2b ? c ? 0

(a ? 0 )

2a ? 2b b ? ? 2 ? 2? ? x1 ? x2 ? ? a a ? ? x ? x ? 2b ? c ? 4 b ? 1 ? 1 2 a a ?

??(7 分)

∴ AB 在 x 轴上射影长 l ? ∴

( x1 ? x2 ) 2

b b l 2 ? (2 ? 2 )2 ? 4(4 ) ? 1 a a b 2 b b ? 4( ) ? 8( ) ? 8 ? 4( ? 1)2 ? 4 a a a

??(9 分)

而 ∴

g ( x) ? 0 x ?


b 1 1 ? [? , ] a 2 2
lmax ? 13
??(10 分)

b 1 ?? a 2 b 1 时 ? a 2


lm i ? 5 n

??(11 分)

5 ? l ? 13

??(12 分)

22. (理科)

(文科)22. 解: (Ⅰ)当 a ? ?

1 x2 1 ? 1, 时, f ( x) ? ? ln x ? 2 4 2

?1 x x2 ?1 ? ? ∴ f ?( x) ? . 2x 2 2x
∵ f (x) 的定义域为 (0,??) ,∴由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1. ---------------------------3 分 ∴ f (x) 在区间 [ , e] 上的最值只可能在 f (1), f ( ), f (e) 取到, 而 f (1) ?

1 e

1 e

5 1 3 1 1 e2 , f ( ) ? ? 2 , f ( e) ? ? , 4 e 2 4e 2 4 1 e2 5 ? f (e) ? ? , f ( x) min ? f (1) ? . 2 4 4 (a ? 1) x 2 ? a ,x ? (0, ??) . x
---------------------------6 分

∴ f ( x) max

(Ⅱ) f ?( x) ?

①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递减;-------------8 分 ②当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递增; ③当 ? 1 ? a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ?
2

----------------9 分

?a ,? x ? a ?1

?a ?a 或x ? ? (舍去) a ?1 a ?1
--------------------10 分

∴ f (x) 在 ( 综上,

?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减; a ?1 a ?1

当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 单调递增; 当 ? 1 ? a ? 0 时, f (x) 在 (

?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减. a ?1 a ?1
-----------------------14 分

当 a ? ?1 时, f (x) 在 (0,??) 单调递减;


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