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2018届高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理夯基提能作业本理


第七节

正弦定理和余弦定理
A 组 基础题组

1.(2016 兰州实战考试)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 b =ac,c=2a,则 cos C=(

2

)

A.

B.-

C.

D.)

2.在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=45°,则此三角形有( A.无解 B.两解 C.一解

D.解的个数不确定

3.(2016 河北武邑中学期中)△ABC 中,c= A.等腰直角三角形 C.等边三角形 B.直角三角形

,b=1,∠B= ,则△ABC 的形状为(

)

D.等腰三角形或直角三角形

4.(2016 课标全国Ⅲ,8,5 分)在△ABC 中,B= ,BC 边上的高等于 BC,则 cos A=(

)

A.

B.

C.-

D.c)sin A,则角 B 的大小

5.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且(b-c)(sin B+sin C)=(a为( )

A.30° B.45° C.60° D.120°

6.在△ABC 中,∠A= ,a=

c,则 =

.

7.(2014 天津,12,5 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为 . ,且 AB=5,AC=8,则 BC 等于 .

8.(2015 福建,12,4 分)若锐角△ABC 的面积为 10

9.(2016 武汉高三测试)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a+ =4cos C,b=1. (1)若 A=90°,求△ABC 的面积;

(2)若△ABC 的面积为 ,求 a,c.

1

10.(2016 浙江,16,14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;

(2)若△ABC 的面积 S= ,求角 A 的大小.

B 组 提升题组 11.(2015 山东菏泽期中)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,若 acos B+

bcos A=csin C,S= ?(b +c -a ),则 B=( A.90° B.60° C.45° D.30°

2

2

2

)

12.已知锐角 A 是△ABC 的一个内角,a,b,c 是角 A、B、C 的对边,若 sin A-cos A= ,则下列各式正确的是 ( ) B.b+c<2a . C.b+c≤2a D.b+c≥2a

2

2

A.b+c=2a 为

13.(2016 临沂模拟)如图,在△ABC 中,∠B=45°,D 是 BC 边上的点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长

14.(2016 十堰模拟)给出下列命题: ①若 tan Atan B>1,则△ABC 一定是钝角三角形;

2

②若 sin A+sin B=sin C,则△ABC 一定是直角三角形; ③若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC 一定是等边三角形. 以上命题中正确命题的序号为 .

2

2

2

15.如图所示,在四边形 ABCD 中,∠D=2∠B,且 AD=1,CD=3,cos∠B= . (1)求△ACD 的面积; (2)若 BC=2 ,求 AB 的长.

16.(2016 东北育才五模)已知△ABC 是斜三角形,内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a、b、c.若 csin A= acos C.

(1)求角 C; (2)若 c= ,且 sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求△ABC 的面积.

3

答案全解全析 A 组 基础题组

1.B 由题意得,b =ac=2a ,b=

2

2

a,∴cos C=

=

=- ,故选 B.

2.B ∵

=

,∴sin B= sin A=

?sin 45°,∴sin B=

.又∵a<b,B 为三角形 ABC 的内

角,∴45°<B<180°,∴B 有两个值,即此三角形有两解. 3.D 根据余弦定理有 1=a +3-3a,解得 a=1 或 a=2,当 a=1 时,三角形 ABC 为等腰三角形,当 a=2 时,三角形 ABC 为直角三角形,故选 D.
2

4.C 解法一:过 A 作 AD⊥BC,垂足为 D,由题意知 AD=BD= BC,则 CD= BC,AB= BC,AC= BC,在△ABC 中,由

余弦定理的推论可知,cos∠BAC=

=

=-

,故选 C.

解法二:过 A 作 AD⊥BC,垂足为 D,由题意知 AD=BD= BC,则 CD= BC,在 Rt△ ADC

中,AC= BC,sin∠DAC=

,cos∠DAC= ,又因为∠B= ,所以

cos∠BAC=cos

=cos∠D AC?cos -sin∠DAC?sin = ? -

? =-

,故选 C.

5.A 由

=

=

及(b-c)?(sin B+sin C)=(a-

c)sin A 得(b-c)(b+c)=(a-

c)a,即 b -c =a -

2

2

2

ac,

所以 a +c -b = 6. 答案 1

2

2

2

ac,又因为 cos B=

,所以 cos B= ,所以 B=30°.

4

解析 在△ABC 中,∠A= ,∴a =b +c -2bccos

2

2

2

,即

a =b +c +bc.∵a=

2

2

2

c,∴3c =b +c +bc,∴b +bc-2c =0,∴(b+2c)(b-c)=0,∴b-c=0,∴b=c,∴ =1.

2

2

2

2

2

7. 答案 -

解析 由 2sin B=3sin C 得 2b=3c,即 b= c,代入 b-c= a,整理得 a=2c,故 cos A= 8. 答案 7

=

=- .

解析 设内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.由已知及 bcsin A=10

得 sin A= ,因为 A 为锐角,所以

A=60°,cos A= .由余弦定理得 a =b +c -2bccos A=25+64-2?40? =49,故 a=7,即 BC=7.

2

2

2

9. 解析 (1)∵b=1,∴a+ =4cos C=4? 又 A=90°,∴a =b +c =c +1, ∴2c =a +1=c +2,∴c=
2 2 2 2 2 2 2

=

,∴2c =a +1.

2

2

,

∴S△ABC= bcsin A= bc= ?1?

= .

(2)∵S△ABC= absin C= asin C= ,

∴sin C= ,∵a+ =4cos C,sin C= ,



+

=1,化简得(a -7) =0,∴a=

2

2

,则 cos C= ,利用余弦定理可得 c=2.

10. 解析 (1)证明:由正弦定理及已知条件得 sin B+sin C=2sin Acos B,故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是 sin B=sin(A-B).又 A,B∈(0,π ),故 0<A-B<π ,所以 B=π -(A-B)或 B=A-B,因此 A=π (舍去)或 A=2B,所以 A=2B.

5

(2)由 S= 得 absin C= ,故有 sin B? sin C= sin 2B=sin Bcos B,因 sin B≠0,故 sin C=cos B.又

B,C∈(0,π ),所以 C= ±B.当 B+C= 时,A= ;当 C-B= 时,A= .综上,A= 或 A= . B 组 提升题组 11.C 由 acos B+bcos A=csin C 及正弦定理得 2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆 的半径),即 sin(A+B)=sin C,∴sin C=sin C,又 sin C≠0,∴sin C=1,又
2 2 2

C∈(0,π ),∴C= ,∴c =b +a ,S= ab,又 S= ?(b +c -a ),∴a=b,∴B=45°,故选 C.

2

2

2

2

2

2

12.C ∵sin A-cos A= ,∴cos 2A=- .

2

2

∵0<A< ,∴0<2A<π ,∴2A= ,∴A= ,

由余弦定理得,a =b +c -bc=(b+c) -3bc≥(b+c) - ( b+c) = 时取等).

2

2

2

2

2

2

,∴4a ≥(b+c) ,∴2a≥b+ c(当且仅当 b=c

2

2

13. 答案 解析 在△ADC 中,AD=5,AC=7,DC=3,

由余弦定理得 cos∠ADC=

=- ,所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.在△ABD

中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理得 14. 答案 ②③

=

,所以 AB=

.

解析 ①因为 tan A?tan B>1,且 A,B 为三角形内角,所以 tan A>0,tan B>0,所以 A,B 均为锐角,又因

为 tan(A+B)=-tan C=
2 2

<0,所以 tan C>0,所以 C 为锐角,所以△ABC 不是钝角三角形,①错.
2

②由正弦定理及条件,得 a +b =c , 所以△ABC 一定为直角三角形,②对. ③由 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1 及 A、B、C 为三角形内角,可得 cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所 以 A=B=C,③对.

6

15. 解析 (1)因为∠D=2∠B,cos∠B= ,

所以 cos∠D=cos 2∠B=2cos ∠B-1=- . 因为∠D∈(0,π ),

2

所以 sin∠D=

=

.

因为 AD=1,CD=3,所以△A CD 的面积

S= AD?CD?sin∠D= ?1?3?
2 2 2

=

. .

(2)在△ACD 中,AC =AD +DC -2AD?DC?cos∠D=12,所以 AC=2

因为 BC=2

=AC,

=

,

所以

=

=

=

=

,所以 AB=4.

16. 解析 (1)根据 又∵csin A= ∴sin C=

=

,可得 csin A=asin C, acos C,

acos C,∴asin C=

cos C,

∴tan C=

=

,

∵C∈(0,π ),∴ C= . (2)∵sin C+sin(B-A)=5sin 2A,sin C=sin(A+B),∴sin(A+B)+sin(B-A)=5sin 2A, ∴2sin Bcos A=2?5sin Acos A. ∵△ABC 为斜三角形, ∴cos A≠0,∴sin B=5sin A. 由正弦定理可知 b=5a,① ∵c =a +b -2abcos C,
2 2 2

7

∴21=a +b -2ab? =a +b -ab,② 由①②解得 a=1,b=5,

2

2

2

2

∴S△ABC= absin C= ?1?5? =

.

8


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