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分段函数的几种常见题型及解法


分段函数的几种常见题型及解法

关键词:分段函数、定义域、值域或最值、函数值、解析式、图象、奇偶性、 单调性、方程、不等式、应用。

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同对应法则的 函数,它是一个函数,它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段 函数值域的并集,由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度 的

考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,笔者就几种具体的 题型做了一些思考,解析如下: 1、 求分段函数的定义域和值域
?2 x ? 2 x ? [?1, 0] ? 1 ? x)= ? ? x x ? (0.2) 的定义域,值域。 ? 2 x ? [2. ? ?) ? ? 3

例1、 求函数

解析:

的定义域为[-1,0] (0,2) [2,+ )=[-1, + ) X∈[-1,0] X∈(0,2) — 2X+2 ∈[0,2] ∈(-1,0)

的值域为(-1,0) [0,2] {3}=(-1,2] {3} 2、 求分段函数的函数值.

1

?1 x?0 ? 例 2、 (2012 福建) ,设 f(x)= ? 0 x ? 0 ? ?1 x ? 0 ?

g(x)= ?

?1 x为有理数 ?0 x为无理数

,则 f(g( ? ))的值为( A.1 解析: B.0 =0 C.-1

) D. =
?

=0

故选 B

3、 求分段函数的最值。 例 3、求函数 f(x)= 解析:作图:
? 4 x ? 3 ( x ? 0) ? ? x ? 3 (0 ? x ? 1) ? ? x ? 5 ( x ? 1) ?

的最大值。

利用“数形结合”易知, 4、 求分段函数的解析式

max

=4

设 X ? 0 时,f(x)=2,X<0 时 f(x)=1,又规定:g(x)= 写出 y=g(x) 的表达式。 解析:当 0<X<1 时 当 1 ? X<2 时 X-1<0, X-2<0, ? X-1 ? 0 , X-2<0,
2

3 f ( x ?1) ? f ( x ?2) 2

(x>0) ,试

g(x)=
? g(x)=

3?1 2

=1 =5 2

3?2?1 2

当 X? 2 时
?1 ? 5 (0 ? x ? 1) g(x)= ? ? (1 ? x ? 2) ? 2 ( x ? 2) ? ?2

X-1>0 , X-2 ? 0,

? g(x)=

3?2?2 2

=2

5.作分段函数的图象。 例 5.(2011 天津)对实数 a 和 b,定义运算“ ? ”: a ? b= ? 设函数 f(x)=(x2-2)
?

?a a ? b ? 1 ?b a ? b ? 1

(x-1) x ? R 若函数 y=f(x)-c 的图像与 x 轴恰有两 ) B (-2,-1] ? (1,2]

个公共点,则实数 c 的取值范围是( A (-1,1] ? (2,+ ? )

C (- ? ,-2) ? (1,2] D [-2,-1] 解析:当(x2-2)-(x-1) ? 1 时,-1 ? x ? 2
? x 2 ? 2 (?1 ? x ? 2) ? f ( x) ? ? ? x ? 1 ( x ? ?1或x ? 2)

f(x)的图像如图所示

Y=f(x)-c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,即方程 f(x)=c 恰有两个解,由图像 可知当 c ? (?2, ?1] (1.2] 时满足条件。故选 B. 6.判断分段函数的奇偶性。
3

例 6.f(x)= ?

? x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? 0) 判断 f(x)的奇偶性。 2 ?? x ? 2 x ? 3 ( x ? 0)

解析:当 x>0 时,-x<0 f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3 当 x<0 时,-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3
? f(x)是奇函数

f(x)=-x2+2x-3

? f(-x)=-f(x)

f(x)=x2+2x+3

? f(-x)=-f(x)

点评:对于分段函数奇偶性的判断,须特别注意 x 与-x 所满足的对应关系。 7.判断分段函数的单调性。 例 7.已知函数 f(x)= ? 的取值范围是( A.(0,1) )
2 3

?(3a ? 2) x ? 6a ? 1 ( x ? 1) 在 (??, ??) 上单调递减,那么实数 a ax ( x ? 1) ?

B.(0, )

C. ( , )

3 2 8 3

D. [ ,1) 故选 c

3 8

3a ? 2 ? 0 ? 3 2 ? 0 ? a ?1 ? ?a? 解析:由条件得 ? 8 3 ?3a ? 2 ? 6a ? 1 ? a1 ?

8.解分段函数的方程。 例 8. (2011 福建) 已知函数 f(x)= ? 等于( A.-3 ) B.-1 C.1 D.3 2x>0 ? a<0 ? f(a)=a+1=-2 故 a=-3
( x ? 0) 若 f(a)+f(1)=0 则实数 a 的值 ? x ? 1 ( x ? 0) ? 2x

解析:依题意知 f(a)=-f(1)=-21=-2 选A 9.解分段函数的不等式。

4

? 1 ? x ( x ? 0) 例 9.(2009 北京)若函数 f(x)= ? ? ?( 1 ) x ( x ? 0) ? ? 3

则不等式 | f ( x) |? 的解集为

1 3

解析: (1)由 | f ( x) |?

? x?0 1 ? ? ? 1 1 ? ?3 ? x ? 0 3 | |? ? ? x 3

? x?0 ? x?0 1 ? (2)由 | f ( x) |? ? ? 1 x 1 ? ? ? 1 x 1 ? 0 ? x ?1 3 | ( ) | ? ( ) ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3
1 ? 则不等式 | f ( x) |? 的解集为{x|-3 ? x ? 1} 应填【-3,1】 3

10.解分段函数的应用问题。 例 10.某市出租车收费标准如下:起步价为 6 元,起步里程为 3Km(不超过 3Km 按起步价付费),超过 3Km 但不超过 10Km 时,超过部分按每千米 1.8 元收费, 超过 10Km 时, 超过部分按每千米 2.7 元收费, 现某人乘坐一次出租车付费 32.1 元,则此次出租车行驶了 Km

解析:设乘客每次乘坐需付费用为 f(x)元,由题意可得
6 x ? (0,3] ? ? f ( x) ? ? 6 ? ( x ? 3) ?1.8 x ? (3,10] ?6 ? 7 ?1.8 ? ( x ? 10) ? 2.7 x ? (10, ??) ?

令 f(x)=32.1 解得 x=15 故填 15

点评:以上分段函数的性质的考查中,不难得到一钟解题的重要途径,若能画 出其大致图像,定义域,值域,最值,单调性,奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程,不等式等可用数形结合思想,等价转化思想,分类讨论思想及函数思想 来解。

5


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