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高二数学下学期期末复习题


吉林省德惠市实验中学 2014-2015 学年高二下学期期末复习题
一.选择题 1、复数( )2=( )

A. ﹣3﹣4i B. ﹣3+4i C. 3﹣4i D. 3+4i 2、曲线 y=x3﹣2x 在点(1,﹣1)处的切线方程是( ) A. x﹣y﹣2=0 B. x﹣y+2=0 C. x+y+2=0 D. x+y﹣2=0 3、设 ξ 的分布列如下

: ξ Pi 则 P 等于( -1
1 2

0
1 3

1 P

)

1 1 A.0 B. 6 C. 3 D.不确定
4、 设随机变量 ? 服从正态分布 N( ,若 P(? ? 2) ? 0.8 ,则 P (0 ? ? ? 1) 的值 1,? 2) 为( ) A. 0.2 5、若 ? A. 2
a 1

B. 0.3 C. 0.4 1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2 ( a ? 1) 则 a 的值为( x B. 3 C. 4 D. 6 )

D. 0.6 )

6、 ( x﹣2y)5 的展开式中 x2y3 的系数是(

A. 5 B. ﹣5 C. 20 D. ﹣20 7、有 5 位学生和 2 位老师并坐一排合影,若教师不能坐在两端,且要坐在一起, 则有多少种不同坐法( ) A.7! 种 B.240 种 C.480 种 D.960 种 8、函数 f(x)=ax3+bx 在 x= 处有极值,则 ab 的值为( A. 3 B. ﹣3 C. 0 D. 1 )

9 、函数 y ? f ( x) 的图象如下图所示,则导函数 y ? f ' ( x) 的图象的大致形状是 ( )

A.

B.

C.

D.

10、 已知回归直线方程 =bx+a,其中 a=3 且样本点中心为(1, 2),则回归直线方程为 ( A. ) =x+3 B. =-2x+3 C. =-x+3 D. =x-3

11、若两个分类变量 X 和 Y 的 2 ? 2 列联表为:

y1

y2
40 30 70

合计 50 50 100

x1 [ x2
合计

10 20 30

n(ad ? bc)2 参考公式:独立性检测中,随机变量 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P( K 2 ? k 0 )

0.10

0.05

0.025 5.0240

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

2.706

3.841

则认为“ X 与 Y 之间有关系”的把握可以达到 ( ) A. 95% B. 5% C. 97.5% 12、已知 x ? 0, y ? 0, 且 范围是( A. (2,4) 二、填空题 ) B. (1, 2) C. (-2,1) D. (-2,4)

D. 2.5%

2 1 ? ? 1,若 x ? 2 y ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值 x y

13、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 (a, b ? R) ,若函数 f ( x)在x ? 1 处有极值 10, 则 b 的值为 14、已知 =2 , =3 . , =4 ,?,若 =7 , (a、b 均

为正实数) ,则类比以上等式,可推测 a、b 的值,进而可得 a+b= . 15、一盒子装有 4 只产品,其中有 3 只一等品,1 只二等品.从中取产品两次,每 次任取一只,作不放回抽样.设事件 A 为“第一次取到的是一等品” ,事件 B 为 “第二次取到的是一等品”,试求条件概率 P(B|A)= 16、若 a= cosxdx,则二项式(a ﹣ )4 的展开式中的常数项为 .

三、解答题 17、某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据 绘制成频率分布直方图(如图) ,其中,上学所需时间的范围是[0,100],样本数 据分组为[0,20) ,[20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100]. (Ⅰ)求直方图中 x 的值;

(Ⅱ)如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,请估计学校 600 名新生中有多少名学生可以申请住宿; (Ⅲ)从学校的新生中任选 4 名学生,这 4 名学生中上学所需时间少于 20 分钟的 人数记为 X,求 X 的分布列和数学期望. (以直方图中新生上学所需时间少于 20 分 钟的频率作为每名学生上学所需时间少于 20 分钟的概率)

18、9 粒种子分种在甲、乙、丙 3 个坑内,每坑 3 粒,每粒种子发芽的概率为 0.5. 若一个坑内至少有 1 粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发 芽,则这个坑需要补种.求: (1)甲坑不需要补种的概率; (2)3 个坑中恰有 1 个坑不需要补种的概率.

19、设 a ? 0, f ( x ) ?

ax , 令 a1 ? 1, an?1 ? f (an ), n ? N * . a?x

(Ⅰ)求 a1 , a2 ,a3 , a4 的值; (Ⅱ)猜想数列 {an } 的通项公式,并用数学归纳法证明.

x 20、已知函数 f ? x ? ? ln e ? 1 ? ax , ( x ? R) 是偶函数,且在区间 [0, ??) 上是增

?

?

函数, (1)试确定实数 a 的值; (2)先判断函数 f ( x) 在区间 (??, 0] 上的单调性,并用定义证明你的结论; (3)关于 x 的不等式 f ( x) ? b ? ln

1 在 R 上恒成立,求实数 b 的取值范围。 2

21、 (Ⅰ)设函数 f ( x)=| x ?

1 | ? | x ? a | (a ? 0) .证明: f ( x) ? 2 ; a

(Ⅱ)若实数 x, y, z 满足 x2 ? 4 y 2 ? z 2 ? 3 ,求证: x ? 2 y ? z ? 3

22、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 在 x ? 2 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行. (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 2 x ? x 2 在 [ ,2] 上恰有两个不相等的实数根,求实 数 m 的取值范围; (3) 记函数 g ( x) ? f ( x) ? 若b ?

1 2

1 2 设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点, x ? bx , 2

3 ,且 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? k 恒成立,求实数 k 的最大值. 2

参考答案

1、 【答案】A 【解析】 ( ) =[
2

] =(1﹣2i) =﹣3﹣4i.

2

2

故选 A. 2、 【答案】A 【解析】由题意得,y′=3x2﹣2, ∴在点(1,﹣1)处的切线斜率是 1, ∴在点(1,﹣1)处的切线方程是:y+1=x﹣1,即 x﹣y﹣2=0, 故选 A. 3、 【答案】B

1 【解析】由概率之和为 1,得 P 等于 6 .
考点:概率的性质. 4、 【答案】B 【解析】根据题意得对称轴 ? ? 1 ,因为 P(? ? 2) ? 0.8 ,则

P(? ? 2) ? 0.2 ,所以 P(0 ? ? ? 2) ? 0.6 ,则 P(0 ? ? ? 1) =0.3,故选 B.
5、 【答案】A 【解析】 6、 【答案】D 【解析】 ( x﹣2y)5 的展开式的通项公式为 Tr+1= 令 r=3,可得展开式中 x y 的系数是 故选:D. 7、 【答案】D 【解析】
2 3



?(﹣2y)r,

? ?(﹣8)=﹣20,

2 5 2 5 先排两位老师的方法, 4 A2 ? 8 ,再排 5 位学生的方法: A5 ? 120,共有 4 A2 A5 ? 960

种方法. 考点:排列与排列数 8、 【答案】B 【解析】∵f(x)=ax3+bx, ∴f′(x)=3ax2+b. 由函数 f(x)=ax +bx 在 x= 处有极值,
3

则 f′( )=3a( ) +b=0,→ab=﹣3. 故选 B. 9、 【答案】D. 【解析】根据图象可知,函数 f ( x) 先单调递减,后单调递增,后为常数,因此 f '( x ) 对 应的变化规律为先负,后正,后为零,故选 D. 考点:导数的运用. 10、 【答案】C 【解析】∵回归直线必过样本点中心, ∴2=b+a.又∵a=3,∴b=-1, ∴回归直线方程为 =-x+3.故选 C. 11、 【答案】A 【解析】根据列联表可以得到有 100 个样本,且 a ? 10, b ? 40, c ? 20, d ? 30 ,代入表 达式,得到 K 2 ? 4.7 , P( K 2 ? 3.841) ? 0.95 。 考点:1.独立性检验的应用;2.数据处理能力。 12、 【答案】D 【解析】 x ? 2 y = ? x ? 2 y ? ?

2

1 ?2 1? 4y x ? ? =4+ ? ? 4 ? 4 ? 8 ? tan B ? 2 x y ?x y?

? m2 ? 2m ? 8??2 ? m ? 4
考点:均值不等式求最值 13、 【答案】 ? 11 【解析】 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ? f ' ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? b ? ?

? ? f ?1? ? 10 ,解方程组得 ' ? ? f ?1? ? 0

b ? ?11
考点:函数导数与极值 14、 【答案】55 【解析】观察下列等式 =2 , =3 , =4
2

,?,

照此规律,第 7 个等式中:a=7,b=7 ﹣1=48, ∴a+b=55, 故答案为:55 15、 【答案】

2 3
1 C 1C2 P? AB? 2 ? 1 3 ? 1 1 P? A? C3 C2 ? C3 3

【解析】 P B A ? 考点:条件概率

? ?

16、 【答案】24 【解析】∵a= ∴a=2 ∴二项式(2 ﹣ )4 的展开式中项为:Tr+1= ?24﹣r?(﹣1)?x2﹣r, cosxdx=sinx =sin ﹣sin( )=2

当 2﹣r=0 时,r=2,常数项为:

?4×1=6×4=24

故答案为:24 17、 【答案】 (Ⅰ)0.0125(Ⅱ) 72(Ⅲ)1 【解析】解: (Ⅰ)由直方图可得:20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1. 所以 x=0.0125. (Ⅱ)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为:0.003×2×20=0.12, 因为 600×0.12=72, 所以 600 名新生中有 72 名学生可以申请住宿. (Ⅲ)X 的可能取值为 0,1,2,3,4. 由直方图可知,每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为 , , , , , . 所以 X 的分布列为:

. (或



所以 X 的数学期望为 1. 18、 【答案】(1)因为甲坑内 3 粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3= , 所以甲坑不需要补种的概率为 1- = =0.875, (2)3 个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 C × × 【解析】
2



.

19、 【答案】 (Ⅰ) 1,

a a a a , , (Ⅱ) an ? ,证明详见解析 a ?1 a ? 2 a ? 3 (n ? 1) ? a

试题分析: (Ⅰ)求 a1 , a2 ,a3 , a4 的值只需依次代入函数解析式化简即可(Ⅱ)猜想:

an ?

a (n ? N * ) ,首先证明 n ? 1 时成立,继而假设当 n ? k (k ? 1, k ? N * ) 时猜 (n ? 1) ? a a ,借助于此假设来证明 n ? k ? 1 时命题也成立 (k ? 1) ? a
a?

想成立,即: ak ?

a a ? ak a a (k ? 1) ? a ak ?1 ? f (ak ) ? ? ? ? a a ? ak a ? (k ? 1) ? a ? 1 [(k ? 1) ? 1] ? a (k ? 1) ? a
试题解析: (1)∵ a1 ? 1 ∴

a2 ? f (a1 ) ? f (1) ?
(2)猜想: an ?

a a a , a3 ? f (a2 ) ? , a4 ? f (a3 ) ? , 1? a 2?a 3? a

a (n ? N * ) (n ? 1) ? a

下面用数学归纳法证明: 当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,猜想成立; 假设当 n ? k (k ? 1, k ? N * ) 时猜想成立,即: ak ?

a (k ? 1) ? a

a a ? ak a (k ? 1) ? a ? ? 则 ak ?1 ? f (ak ) ? a a ? ak a ? (k ? 1) ? a ? 1 (k ? 1) ? a a?

?

a [(k ? 1) ? 1] ? a

∴当 n ? k ? 1 时猜想也成立. 由①,②可知,对任意 n ? N * , 都有 an ? 考点:1.数列通项公式;2.数学归纳法 【解析】

a 成立. (n ? 1) ? a

20、 【答案】 (1 ) ?

1 ; (2)减函数,证明见解析; (3) (??,0] 2

试题分析: (1)由 f (? x) ? f ( x) 建立关于 a 的方程解出 a 的值; (2)由函数的单调性与 奇偶性的关系分析出函数在给定区间上的单调性, 根据定义证明单调性时注意变量范围 的转换与奇偶性的应用; (3)不等式恒成立可转化为 f ( x) min ? b ? ln

1 ,由(2)可确 2

定函数在 R 上的单调性,可确定函数的最小值,建立关于 b 的不等式解得 b 的范围. 试题解析: (1)因为函数不等式可转化为 f ( x) ? ln(e x ? 1) ? ax( x ? R) 是偶函数 所以对任意 x ? R ,都有 f (? x) ? f ( x) 即 ln(e? x ? 1) ? ax ? ln(e x ? 1) ? ax 得 (2a ? 1) x ? 0 故 a ? ?

1 . 2

由(1)得 f ( x) ? ln(e x ? 1) ?

1 x 在 (??,0] 上是减函数 2

证明如下:因为 f(x)在区间 [0,??) 上是增函数 所以当 0 ? x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ? x2 ? 0 , f (? x1 ) ? f (? x2 ) (1) 设 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0 ,由(1)知 f (? x1 ) ? f (? x2 ) (2)
x 又 f ( x) ? ln(e ? 1) ?

1 x 在 R 上是偶函数 2

所以由(2)得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 f ( x) ? ln(e x ? 1) ?
x 因为 f ( x) ? ln(e ? 1) ?

1 x 在区间 (??,0] 上是减函数. 2

1 x 在 (??,0] 上减,在 [0,??) 上增 2

所以,当 x=0 时 f ( x) min ? f (0) ? ln 2

f ( x) ? b ? ln

1 1 在 R 上恒成立 ? f ( x) min ? b ? ln ? b ? 0 2 2

?b ? (??,0] 为所求。
考点:1.函数的性质及应用;2.不等式恒成立问题;3.转化与化归的思想 【解析】 21、 【答案】 (Ⅰ) 见解析; (Ⅱ) 见解析 (Ⅰ) 由a ? 0, 及均值不等式有 f ( x) =| x ? 所以 f ( x) ? 2 ; (Ⅱ)

1 1 1 | ? | x ? a | ? |(x ? ) ? ( x ? a ) | ? ? a ? 2 , a a a

x2 ? 4 y 2 ? z 2 ? 3 ,由柯西不等式

得: [ x2 ? (2 y)2 + z 2 ](12 ? 12 ? 12 ) ? ( x ? 2 y ? z)2 (当且仅当

x 2y z 6 3 ? ? 即 x ? z ? ,y ? 时取“ ? ”号)整理得: ( x ? 2 y ? z) 2 ? 9 , 1 1 1 5 5

即 x ? 2y ? z ? 3 试题解析: (Ⅰ)由 a ? 0 , 有 f ( x) =| x ? 所以 f ( x) ? 2 (Ⅱ)

1 1 1 | ? | x ? a | ? |(x ? ) ? ( x ? a ) | ? ? a ? 2 a a a

x2 ? 4 y 2 ? z 2 ? 3 ,由柯西不等式得:

[ x2 ? (2 y)2 + z 2 ](12 ? 12 ? 12 ) ? ( x ? 2 y ? z)2
(当且仅当

x 2y z 6 3 ? ? 即 x ? z ? ,y ? 时取“ ? ”号) 1 1 1 5 5

整理得: ( x ? 2 y ? z) 2 ? 9 ,即 x ? 2 y ? z ? 3 考点:不等式证明 【解析】 22、 【答案】 (1) a ? 1 (2)

15 5 ? ln 2 ? m ? 2 (3) ? 2 ln 2 8 4

试题分析: (1) 利用导数的几何意义, f ' ? 2? 等于切线斜率得到关于 a 的方程, 求得 a 值 (2)将方程 f ( x) ? m ? 2 x ? x 2 转化为 h( x) ? x 2 ? 3 x ? ln x ? m( x ? 0) 在 [ ,2] 上恰

1 2

?h( 1 ) ? 0, ? 2 ? 与 x 轴有两个交点, 进而考察函数单调性, 最值得到相应的条件 ?h(1) ? 0, 得到 m 的取 ?h(2) ? 0, ? ?
值范围(3)由函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 2 x ? bx 代入整理求得两极值 g ( x1 ), g ( x2 ) ,将 2

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 通过代换构造新函数,利用导数求得最小值,进而得到实数 k 的最大值
试题解析: (1) f '( x) ?

1 ?a x 1 1 ?a?? , 2 2

∵函数在 x ? 2 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行∴ k ? 解得: a ? 1 ;

(2)由(1)得 f ( x) ? ln x ? x ,∴ f ( x) ? m ? 2 x ? x 2 ,即 x 2 ? 3 x ? ln x ? m ? 0

设 h( x) ? x 2 ? 3 x ? ln x ? m( x ? 0) , 则 h '( x) ? 2 x ? 3 ?

1 2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? ? x x x
1 , x 2 ? 1 ,列表得: 2 1 ( ,1) 1 2
- 0 极小值

令 h '( x) ? 0 ,得 x1 ?

x
h '( x)

1 2
0 极大值

(1,2) +

2

h( x )

m ? 2 ? ln 2

∴当 x ? 1 时, h( x) 的极小值为 h(1) ? m ? 2 ,

5 ? ln 2, h(2) ? m ? 2 ? ln 2 4 1 ∵方程 f ( x) ? m ? 2 x ? x 2 在 [ ,2] 上恰有两个不相等的实数根, 2
又 h( ) ? m ?

1 2

?h( 1 ) ? 0, ?m ? 5 ? ln 2 ? 0, ? 2 ? 4 5 ? ? ∴ ?h(1) ? 0, 即 ?m ? 2 ? 0, 解得: ? ln 2 ? m ? 2 ; 4 ?h(2) ? 0, ?m ? 2 ? ln 2 ? 0, ? ? ? ?
(3)解法(一) ∵ g ( x) ? ln x ?

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 1 2 x ? (b ? 1) x ,∴ g '( x) ? ? x ? (b ? 1) ? x x 2

∴ x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1 , ∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ln

x1 1 2 ? ( x1 ? x2 2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) x2 2

? ln

x1 1 x x x 1 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 1 x ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) x2 2 x2 2 x1 x2 x2 2 x2 x1 x1 1 1 ,则 0 ? t ? 1 ,令 G (t ) ? ln t ? (t ? ) , 0 ? t ? 1 2 t x2

0 ? x1 ? x2 设 t ?

则 G '(t ) ?

1 1 1 (t ? 1) 2 ? (1 ? 2 ) ? ? ? 0 ,∴ G (t ) 在 (0,1) 上单调递减; t 2 t 2t 2

∵b ?

3 25 ,∴ (b ? 1) 2 ? 2 4

∵ (b ? 1) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ∴t ?

x12 ? 2 x1 x2 ? x2 2 x x 1 ? 1 ?2? 2 ?t? ?2 x1 x2 x2 x1 t

1 25 1 ∴ 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0 ∴ 0 ? t ? ?2? t 4 4 1 1 15 15 ∴当 t ? 时, G (t ) min ? G ( ) ? ? 2 ln 2 ∴ k ? ? 2 ln 2 4 4 8 8 15 ? kmax ? ? 2 ln 2 . 8
解法(二) ∵ g ( x) ? ln x ?

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 1 2 x ? (b ? 1) x ,∴ g '( x) ? ? x ? (b ? 1) ? x x 2

?x ? 1 ? 5 1 x1 2 3 ? 1 ? ∴ x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1 ,∴ x2 ? ∵b ? ∴? 1 2 ? x1 0 ? x1 ? ? x1 ?
解得: 0 ? x1 ?

1 2

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ln

x1 1 2 1 1 ? ( x1 ? x2 2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2 ln x1 ? ( x12 ? 2 ) x2 2 2 x1

设 F ( x) ? 2 ln x ?

2 1 ?( x 2 ? 1) 2 1 2 1 1 ?0 ( x ? 2 )(0 ? x ? ) ,则 F '( x) ? ? x ? 3 ? x x x3 2 x 2

∴ F ( x) 在 (0, ] 上单调递减; ∴当 x1 ?

1 2

? kmax

1 1 15 15 时, F ( x) min ? F ( ) ? ? 2 ln 2 ∴ k ? ? 2 ln 2 2 2 8 8 15 ? ? 2 ln 2 . 8

考点:1.函数导数的几何意义;2.利用导数求函数单调区间与最值;3.不等式,方程与 函数的转化 【解析】


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