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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第五节三角函数的图象与性质 文


第五节 三角函数的 图象与性质 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如值域、单调性、奇偶性、最大 π π? 值和最小值以及与 x 轴交点等),理解正切函数在区间? ?-2,2?上的性质.了解三 角函数的周期性. 知识梳理 一、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质 函数名称 正弦函数 y=sin x 余弦函数 y=cos x 正切函数 y=tan x 函数图象 定义域 值域 x∈R [-1,1] x∈R [-1,1] 错误!未定义书签。 R 最值 π 当 x=2kπ+ ,k∈Z 时, 2 当 x=2kπ, k∈Z 时, ymax ymax=1; =1; π 当 x=2kπ+π,k∈Z 时, 当 x=2kπ- ,k∈Z 时, 2 ymin=-1 ymin=-1 (续上表) 无最值 第 1 页 共 7 页 二、研究函数 y=Asin(ωx+φ)性质的方法 类比于研究 y=sin x 的性质,只需将 y=Asin(ωx+φ)中的 ωx+φ 看成 y=sin x 中的 x, 但在求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要特别注意 A 和 ω 的符号,通过诱导公式先将 ω 化 为正数.研究函数 y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)的性质的方法与其类似,也是类比、转 化. 三、求三角函数的周期的常用方法 经过恒等变形化成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利 用周期公式. 2π 如:函数 y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是 ;函数 y=Atan(ωx+φ) |ω| π 的最小正周期是 . |ω| 另外还有图象法和定义法. 基础自测 第 2 页 共 7 页 π ? 1. (2013· 揭阳二模)设函数 f(x)=cos(2π-x)+ 3cos? 则函数的最小正周期为( ?2-x?, π A. 2 B.π C.2π D.4π ) 解析:函数 f(x)=cos x+ 3sin x=2? 2π 故其最小正周期为 =2π,故选 C. 1 答案:C π 3 1 ? x+ ?, sin x+ cos x =2sin? ? 6? 2 ?2 ? π? ? π? 2.(2013· 天津卷)函数 f(x)=sin? ?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为( A.-1 B.- 2 2 C. 2 2 D.0 ) π π π π 3π π 0, ?,所以- ≤2x- ≤ ,令 n=2x- ,则 sin?2x- ?=sin n 在 解析:因为 x∈? 4? ? 2? ? 4 4 4 4 π 3π π 2 ? ? ? n∈? ?-4, 4 ?上的最小值为 sin?-4?=- 2 .故选 B. 答案:B 3.(2012· 浙江名校新高考联盟二联) 若函数 f(x)=sin (x+α)-2cos(x-α)是奇函数,则 sin αcos α=________. 解析:因为函数 f(x)=sin(x+α)-2cos(x-α)是奇函数,所以 f(0)=sin α-2cos α=0,即 2 1 tan α=2.所以 sin αcosα>0,不妨设 α 为锐角,可得 sin α= ,cos α= .所以 sin αcos α= 5 5 2 . 5 2 答案: 5 π? 4π ? 4π? ? 4. (2012· 合肥模拟)已知函数 f(x)=sin? 在? ?

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