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函数模型及其应用(共2课时)


函数模型及其应用(共 2 课时) [教学目标] 通过实际问题的解答,了解利用数学方法处理实际问题的一般步骤. [学法指导] 1.重点是根据已知条件建立函数关系式,难点是数学建模意识的逐步建立. 2.通过利用数学模型解决实际问题的过程,培养严谨的思维,强化分析问题和解决问题的能 力. 例 1,某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为 200 万元, 生产每台计算机的可变 成本为 3000 元, 每台计算机的售价为 5000 元, 分别写出总成本 C(万元)、 单位成本 P(万元)、 销售收入 R(万元)以及利润 L(万元)关于总产量 X(台)的函数关系式。

例 2, 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份 0.20 元, 卖出的价格是每份 0.30 元, 卖 不完的还可以以每份 0.08 元的价格退回报社.在一个月(以 30 天计算)有 20 天每天可卖 出 400 份,其余 10 天只能卖 250 份,但每天从报社买进报纸的份数都相同,问应该从报社 买多少份才能使每月所获得的利润最大?并计算每月最多能赚多少钱?

例 3 ,在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x) =f(x+1) -f(x),某公司每月最多生 产 100 台报警系统装置,生产 x 台 (X∈N﹡)的收入函数为 R(x)=3000x-20x2 (单位: 元) , 其成本函数为 C(x)=500x+4000 (单位: 元) ,利润是收入与成本之差。 (1),求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (2)利润函数 P(x)与边际函数 MP(x)是否具有相同的最大值?

例 4,某自来水厂的蓄电池中有水,每天零点开始由池中放水向居民供水,同时以每小时的 速度向池中注水。若小时内向居民供水总量为,问:每天几点时蓄水池中的存水量最少?

例 5, 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述: 设物体的初始温度是 T0,经过一 定时间 t 后的温度是 T,则, 其中 Ta 表示环境温度, h 称为半衰期。 现有一杯用 88℃热水冲的速溶咖啡, 放在 24℃的房间中, 如果咖啡降温到 40℃需要 20min, 那么降温倒 35℃时,需要多长时间(结果精确到 0.1)?

例 6,使用冰箱时排放的氟化物对臭氧有影响,若臭氧含量与时间具有关系式,其中是臭氧 的初始量。 试求臭氧含量的最小值?

例 7,某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为元,出厂单价定为元.该厂为鼓励销售商 订购, 决定当一次订购量超过件时, 每多订购一件, 订购的全部服装的出厂单价就降低元. 根 据市场调查,销售商一次订购量不会超过件. ⑴设一次订购量为件,服装实际出厂单价为元,写出函数的表达式; ⑵当销售商一次订购了多少件服装时,该服装厂获得的利润最大,最大利润为多少?

例 2,分析:本题所给条件较多,数量关系比较复杂,可以列表分析。 解法:设每天从报社买进 x 份(250≤x≤400) . 数量(份) 价格(元) 金额(元) 买进 30

0.20 6x 卖出 20x+10×250 0.30 6x+750 退回 10(x-250) 0.08 0.8x-200 则每月获利润 y=[ (6x+750)+(0.8x-200) ]-6x=0.8x+550(250≤x≤400) . y 在 x[250,400]上是一次函数. ∴x=400 元时,y 取得最大值 870 元. 答:每天从报社买进 400 份时,每月获的利润最大,最大利润为 870 元. 评注:信息量大是数学应用题的一大特点,当所给条件错综复杂,一时难以理清关系时,可 采用列表分析的方法,有些典型应用题也可以画出相应的图形,建立坐标系等.这里自变量 x 的取值范围[250,400]是由问题的实际意义决定的,建立函数关系式时应注意挖掘. 例 4, 【分析】由题意提炼数学模型是基本,但是根据实际意义找定义域是最重要的, “取整” “取正”是此类问题十分重要的细节,明确此事再利用各种方法求最值及列出不等式求解. 【解法】⑴设点时(即从零点起后)池中的存水量为 ,则 ∴当,即时取得最小值. 即每天早晨点时蓄水池中的存水量最少,仅剩 . ⑵由 即时,池中存水将不多于,由知每天将出现供水紧张现象. 【评注】列出函数关系式注意自变量取“取正” ,然后在定义域内找出所求范围,二次函数 特点注意所求区间是否单调. 例 7, 【分析】服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本,应注意实际问题中的定 义域. 【解法】⑴当时, ; 当时, . 所以. ⑵设销售商的一次订购量为件时,工厂获得的利润为元, 则. 当时, . 因此,当销售商一次订购了件服装时,该服装厂获得的利润是元. 【评注】解营销类问题需理解有关名词,掌握有关计算公式,并巧妙的建立函数关系式.本 题数学模型为分段函数问题.


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