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高一数学教材习题变式训练(数列)


数学教材习题变式训练(数列)
一、有关通项问题 1、利用 an ? ?

( n ? 1) ? S1 求通项. ? S n ? S n ?1 (n ? 2)

(北师大版第 20 页习题 5)数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 1 . (1)试写出数列的前 5 项; (2)数 列 {an } 是等差数列吗?(3)

你能写出数列 {an } 的通项公式吗? 变式题 1、设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n2,求数列 {an } 的通项公式;

时, a1 ? S1 ? 2; 解: (1) :当 n ? 1
当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 {an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 变式题 2、数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? 值及数列{an}的通项公式.

1 S n ,n=1,2,3,??,求 a2,a3,a4 的 3

1 S n ,n=1,2,3,??,得 3 1 1 1 1 1 4 1 1 16 a2 ? S1 ? a1 ? , a3 ? S2 ? (a1 ? a2 ) ? , a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? , 3 3 3 3 3 9 3 3 27 1 1 4 由 an ?1 ? an ? ( S n ? S n ?1 ) ? an (n≥2) ,得 an ?1 ? an (n≥2) , 3 3 3 1 4 n?2 1 又 a2= ,所以 an= ( ) (n≥2), 3 3 3
解: (I)由 a1=1, an ?1 ?

? 1 ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an ? ? 1 4 n ? 2 ( ) ? ?3 3

n ?1 n≥ 2

变式题 3、已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) , 证明数列 ?an ?1 ? 是等比数列. 解:由已知 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) 可得 n ? 2, Sn ? 2Sn?1 ? n ? 4 两式相减得

Sn?1 ? Sn ? 2? Sn ? Sn?1 ? ?1 即 an?1 ? 2an ? 1 从而 an?1 ?1 ? 2? an ? 1 ? 当 n ? 1 时 S2 ? 2S1 ?1 ? 5
所以 a2 ? a1 ? 2a1 ? 6 又 a1 ? 5 所以 a2 ? 11 从而 a2 ?1 ? 2 ? a1 ?1?

故总有 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , n ? N * 又 a1 ? 5, a1 ? 1 ? 0 从而 列; 2、解方程求通项: (北师大版第 17 页习题 3)

an?1 ? 1 ? 2 即数列 ?an ?1? 是等比数 an ? 1

在等差数列 {an } 中, (1)已知 S8 ? 48, S12 ? 168, 求a1和d ; (2)已知 a6 ? 10, S5 ? 5, 求a8和S8 ; (3)已知 a3 ? a15 ? 40, 求S17 . 变式题 1、 {an } 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列,如果 an ? 2005 ,则序号 n 等于 (A)667 (B)668 (C)669 (D)670

分析:本题考查等差数列的通项公式,运用公式直接求出. 解: an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? 3(n ?1) ? 2005 ,解得 n ? 669 ,选 C 点评:等差等比数列的通项公式和前 n 项和的公式是数列中的基础知识,必须牢固掌握.而 这些公式也可视作方程,利用方程思想解决问题. 3、待定系数求通项:

1 , an ? 4an ?1 ? 1(n ? 1). 2 变式题 1、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式;
写出下列数列 ?an ? 的前 5 项: (1) a1 ?

an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ), ?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),
解:

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.


? an ? 1 ? 2n.
an ? 2n ?1(n ? N * ).
4、由前几项猜想通项: (北师大版第 8 页习题 1)根据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填上适当的图形 和数,写出点数的通项公式.

( ) ( ) (7) (1) 1、如下图,第( (4) 1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第( 变式题 2)个多边形是由正方形 “扩展”而来,??,如此类推.设由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 an ,

则 a6 ?



1 1 1 1 = ? ? ? ??? ? a3 a4 a5 a99

.

解: 由图可得:an ? 2n ? n(n ?1) ? n2 ? n , 所以 a6 ? 42 ; 又

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? an n ? n n n( ? 1 ) n n ?1

所以

1 1 1 1 1 1 1 1 =( ? )?( ? )? ? ? ? ??? ? 4 5 a3 a4 a5 a99 3 4

?(

1 1 1 1 97 ? )? ? ? 99 100 3 100 300

变式题 2、 (北师大版第 9 页习题 2)观察下列各图,并阅读下面的文字,像这样,10 条直线相交, 交点的个数最多是( A.40 个 ) ,其通项公式为 C.50 个 D.55 个 .

B.45 个

3 条直线相 4 条直线相 2 条直线相 交,最多有 3 交,最多有 6 交,最多有 1 个交点 个交点 个交点 解:由题意可得:设 {an } 为 n 条直线的交点个数,则 a2 ? 1 , an ? an?1 ? (n ?1),(n ? 3) ,因为

an ? an?1 ? n ?1 ,由累加法可求得: an ? 1 ? 2 ?
选 B. 二、有关等差、等比数列性质问题

? ( n ? 1) ?

n(n ? 1) 10 ? 9 ? 45 , ,所以 a10 ? 2 2

1、 (北师大版第 31 页习题 3)一个等比数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,则前 3 n 项 的和为( ) A.83 B.108 C.75 D.63 变 式 题 1 、 一 个 等 差 数 列 前 n 项 的 和 为 48 , 前 2 n 项 的 和 为 60 , 则 前 3 n 项 的 和 为 。 解:若数列 {an } 为等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 等差数列,可得:48,12, S3n -60 成等差数列,所以 S3n =36. 变式题 2、

等比数列 {an } 的各项为正数,且 a5a6 ? a4a7 ? 18, 则log3 a1 ? log3 a2 ? A.12 B.10 C.8 D.2+ log3 5

? log3 a10 ? (



解:因为 a5a6 ? a4a7 ? 18, 所以 a5a6 ? a4a7 ? 2a1a10 ? 18 ? a1a10 ? 9 ,而 log 3 a1 ?log 3 a 2 ?

? log3 a10 ? log3 (a1a2

a10 ) ? log3 (a1a10 )5 ? 10 ,所以选 B.

点评:高考试题的一个重要特点就是考查学生对问题敏锐的观察能力和迅速有效的思维能力, 灵活运用数学知识和性质可提高我们的正确解题的速度. 因此,对相关知识的性质要深刻地理解 和掌握并能灵活运用.

2、 (北师大版第 19 页习题 4)设数列 {an } 是单调递增的等差数列,前三项的和为 12,前三项 的积为 48,则它的首项是( A.1 B.2 C.4 ) D.8

变式题 1、在各项都为正数的等比数列 {an } 中,首项 a1 ? 3 ,前三项和为 21,则 a3 ? a4 ? a5 ? ( ) (A)33 (B)72(C)84(D)189

分析:本题主要是考查等比数列的基本概念和性质,可利用方程思想将等比数列问题转化为 a1 和 q 处理,也可利用等比数列的定义进行求解. 解 法 一 :设公比为 q , 由题知, ?

?a1 ? 3
2 ?a1 ? a1q ? a1q ? 21

得 q ? 2 或 q ? ?3

0 (舍去 ) ,∴

a3 ? a4 ? a5 ? 84 ,故选 C.
解法二:由 a1 ? 3, a1 ? a2 ? a3 ? 21 得, q ? 2 ( q ? ?3

0 舍去),

a3 ? a4 ? a5 ? q2 (a1 ? a2 ? a3 ) ? 84 .
三、数列求和问题 1、 (北师大版第 20 页习题 4) 已知 {an } 是等差数列, 其中 a1 ? 31 , 公差 d ? ?8 。 (1) 求数列 {an } 的通项公式,并作出它的图像; (2)数列 {an } 从哪一项开始小于 0?(3)求数列 {an } 前 n 项 和的最大值,并求出对应 n 的值. 变式题 1、已知 {an } 是各项不为零的等差数列,其中 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,若 S10 ? 0 ,求数列 {an } 前 n 项和的最大值.

解: S10 ?

10(a1 ? a10 ) ? 5(a5 ? a6 ) ? 0 ,所以 a5 ? 0, a6 ? 0 ,即数列 {an } 前 5 项和为最大值. 2

变式题 2、在等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S17 ? S9 ,求 Sn 的最大值. 解法一:由 S17 ? S9 ,得: 25 ?17 ?

17 9 (17 ? 1) d ? 25 ? 9 ? (9 ? 1) d ,解得 d ? ?2 . 2 2

n ? Sn ? 25n ? (n ? 1)(?2) ? ?(n ? 13)2 ? 169 . 2
由二次函数的性质,当 n ? 13 时, Sn 有最大值 169. 解法二:先求出 d ? ?2 ,

a1 ? 25 ? 0 ,

1 ? n ? 13 ? a ? 25 ? 2( n ? 1) ? 0 ? n ? 2 ?? 由? ,所以当 n ? 13 时, Sn 有最大值 169. ?an ?1 ? 25 ? 2n ? 0 ?n ? 12 1 ? ? 2
解法三:由 S17 ? S9 ,得 a10 ? a11 ?

? a17 ? 0 ,而 a10 ? a17 ? a11 ? a16 ? a12 ? a15

? a13 ? a14 ,故 a13 ? a 14 =0. d ? ?2 ? 0, a1 ? 0,? a13 ? 0, a14 ? 0, 故当 n ? 13 时, Sn 有最大
值 169. 点评:解决等差数列前 n 项和最值问题的方法通常有:①、利用二次函数求最值;②、利 用通项公式 an 求 n 使得 an ? an?1 ? 0 ;③利用性质求出符号改变项. 2、求和: Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ?

? nxn?1
2 4
n ?1

变式题 1、已知数列 an ? 4n ? 2 和 bn ?

,设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

解: c ? an ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4n?1 , n 2 bn 4n?1

?Tn ? c1 ? c2 ?

? cn ? 1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 42 ?

? (2n ? 1)4n?1 ,

4Tn ? 1? 4 ? 3 ? 42 ? 5 ? 43 ?
两式相减得

? (2n ? 3)4n?1 ? (2n ? 1)4n

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9

变式题 2、设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

?a ? (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn . a5 ? b3 ? 13 (Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; ? bn ?
4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

解得 d ? 2 , q ? 2 .所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1 . (Ⅱ)

3 5 an 2n ? 1 ? n?1 . Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 bn 2

?

2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 ,① 2n ? 2 2

2n ? 3 2n ? 1 ? n ? 2 ,② 2 n ?3 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 2Sn ? 2 ? 3 ? 5 ? 2 ?

? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? 2 2

?

1 ? 2n ? 1 ?? 2 ? 2n?1
n?2

1 n ?1 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 2n ? 3 ? 6 ? n ?1 . 2 1?
点评:错位相减法适用于通项公式形容 ?an bn ?的数列,其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不 为 0 的等比数列. 变式题 2.设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值 为 . 分析:本题主要考查等比数列的求和公式,等差数列的概念运用,可直接求得.

a1 (1 ? q n ) a1 (1 ? q n ) a1 (1 ? q n?1 ) a1 (1 ? q n? 2 ) 解: Sn ? , 2Sn ? Sn?1 ? Sn?2 ,则有 2 ? , ? ? 1? q 1? q 1? q 1? q

? q2 ? q ? 2 ? 0 ,? q ? ?2 .,若 q ? 1 ,则 2Sn ? 2n ? Sn?1 ? Sn?2 ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? 2n ? 3 。

3、利用等比数列的前 n 项和公式证明

a n ? a n?1b ? a n?2b2 ?

? abn?1 ? bn =

a n ?1 ? bn ?1 (n ? N ? , a ? 0, b ? 0) a ?b

变式题、已知 un ? a n ? a n?1b ? a n?2b 2 ? ? ? abn?1 ? b n (n ? N ? , a ? 0, b ? 0) .当 a ? b 时,求 数列 ?u n ? 的前 n 项和 S n . 解: (Ⅰ)当 a ? b 时, un ? (n ? 1)a n .这时数列 {u n } 的前 n 项和

S n ? 2a ? 3a 2 ? 4a 3 ? ? ? nan?1 ? (n ? 1)a n .
①式两边同乘以 a ,得 ①式减去②式,得 若 a ? 1,
2 3 4

① ②

aSn ? 2a ? 3a ? 4a ? ? ? nan ? (n ? 1)a n?1
(1 ? a)S n ? 2a ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? (n ? 1)a n?1

(1 ? a) S n ?

a(1 ? a n ) ? (n ? 1)a n ?1 ? a , 1? a

Sn ?

a(1 ? a n ) a ? (n ? 1)a n?1 (n ? 1)a n?2 ? (n ? 2)a n?1 ? a 2 ? 2a ? ? 1? a (1 ? a) 2 (1 ? a) 2

若 a ? 1 , S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (n ? 1) ?

n(n ? 3) 2

? na1 (q ? 1) ? 点评:在使用等比数列的求和公式时,要注意对公比 q 的讨论,即 S n ? ? a1 (1 ? q n ) ,这 ? 1 ? q (q ? 1) ?
是学生平时容易忽略的问题,应引起足够的重视,另外要求学生有运算化简的能力. 4、 (1)已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 ,求前 n 项的和; (2)已知数列 {an } 的通项公 n(n ? 1)

式为 an ?

1 n ? n ?1

,求前 n 项的和.

变式题 1、 已知数列 {an } 的通项公式为 an =

n ?1 1 1 , 设 Tn ? ? ? 2 a1 ? a3 a2 ? a4

?

1 , 求 Tn . an ? an? 2

解:

1 an ? an ? 2



1 1 4 =2( - ) . n ?1 n ? 3 (n ? 1)(n ? 3)

Tn ?

1 1 ? ? a1 ? a3 a2 ? a4

?

1 1 =2[( 2 an ? an? 2



1 4

)+(

1 1 1 - )+( 3 5 4



1 1 )+??+( 6 n



1 ) n?2

+(

1 1 1 - )]=2( n ?1 n ? 3 2



1 1 1 - - ). 3 n?2 n?3

变式题 2、数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足:an+2-2an+1+an=0(n∈N*) , (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 (n ? N * ),S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ,是否存在最大的整数 m,使得任意 n(12 ? a n )

的 n 均有 S n ?

m 总成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由. 32

解: (Ⅰ)∵an+2-2an+1+an=0,∴an+2-an+1=an+1-an(n∈N*) , ∴{an}是等差数列,设公差为 d, ∵a1=8,a4=a1+3d=8+3d=2,∴d=-2, ∴an=8+(n-1)· (-2)=10-2n. (Ⅱ) bn ?

1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ?, n(12 ? a n ) n(12 ? 10 ? 2n) 2n(n ? 1) 2 ? n n ? 1 ?

? S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ?
? 1? 1 ? ?1 ? ? 2 ? n ? 1?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 2 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ??

假设存在整数 m 满足 S n ? 又 S n ?1 ? S n ?

m 总成立, 32

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? (1 ? )? ( ? )? ?0 2 n?2 2 n ?1 2 n ?1 n ? 2 2(n ? 1)( n ? 2)

∴数列{ S n }是单调递增的, ∴ S1 ?

1 1 m 为 S n 的最小值,故 ? ,即 m<8,又 m∈N*, 4 4 32

∴适当条件的 m 的最大值为 7. 点评:数列求和的裂项相消法:适用于通项公式形如 ? 的等差数列,c 为常数.

?

c ? ? 的数列,其中 ?an ? 是各项不为 0 ? a n a n ?1 ?


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