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天津市南开中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试题


南开中学 2015—2016 学年度上学期第一次月考 高一数学试卷
I卷 一、选择题(每小题有且只有 1 个选项符合题意,将正确的选项涂在答题卡上,每 小题 5 分,共 40 分.) 1. 已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5, 6} , A ? {1, 2,5} , B ? {2,3, 4} ,则 A ? ??U B ? =( A. {2, 6} B. {1,5

} C. {1, 6} D. {5, 6} ).
考试时间:60 分钟

2. 设集合 P ? ? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6? , Q ? ?x ? R 2 ? x ? 6?,那么下列结论正确的是 ( ). B. P ? Q ? ?Q D. P ? Q ? ?P ).

A. P ? Q ? P C. P ? Q ? Q 3. 不等式

x ?1 ? 2 的解集为( x

A. [?1 , 0] C. (?? , ? 1]

B. [?1 , ? ?) D. (?? , ? 1] ? (0 , ? ?)

4. 如果奇函数 f ? x ? 在区间 ?3,7? 上是增函数,且最小值为 5 ,那么在区间 ??7, ?3? 上是 ( ). A.增函数且最小值为 ?5 C.减函数且最小值为 ?5
? x 2 ? 4 x, 5. 已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x , x?0 x?0

B.增函数且最大值为 ?5 D.减函数且最大值为 ?5
2 , 若 f( 2 ?a ) ?f(a ) ,

则实数 a 的取值范围

是 (

). B. (?1, 2) C. (?2,1) ). D. 3 D. (??, ?2) ? (1, ??)

A. (??, ?1) ? (2, ??)

4 x 2 ? 8 x ? 13 6. 函数 y ? ? x ? ?1? 的最小值是 ( 6( x ? 1) 3 A. 1 B. C. 2 2

7. 若关于 x 的方程 7 x2 ? (k ? 13) x ? k 2 ? k ? 2 ? 0 的两个实根 x1 , x2 满足

0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,则实数 k 适合的条件是 (

).

A. ?2 ? k ? ?1 C. ?2 ? k ? 4

B. 3 ? k ? 4 D. ?2 ? k ? ?1 或 3 ? k ? 4

8. 设 ? x ? 表示不大于 x 的最大整数,函数 f ( x) ?

? x? ? a
x

? x ? 0? .若方程 f ? x? ? 0 有

且仅有 3 个实数解,则实数 a 的取值范围是 (
? 1 2? A. ? , ? ? 2 3? ? 2 3? B. ? , ? ? 3 4? ? 3 4? C. ? , ? ? 4 5?

).
? 4 5? D. ? , ? ? 5 6?

II 卷( 将答案写在答题纸上,在试卷上作答无效.) 二、填空题:(每小题 4 分,共 24 分.)
? ? x ? 5, x ? 7 9. 已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? 3? 的值是_____________. ? ? f ? x ? 2? , x ? 7 10. 若函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? 2? (常数 a ? R )是偶函数,则 a 的值为



? 2 x ? 3, x ? 0 ? 11. 函数 f ? x ? ? ? x ? 3, 0 ? x ? 1 ,的最大值是 ? ? x ? 5, x ? 1 ?

.

12. 函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 2 的最小值为

. 则实数 a 的 ? 上的单调递减函数,

?? a ? 3? x ? 4, x ? 1 ? 13. 已知函数 f ? x ? ? ? 2a , 是 ?? ?? ? , ? , x ?1 ? x
取值范围是____________.

14. 设非空集合 S ? ?x | m ? x ? l? 满足:当 x ? S 时,有 x 2 ? S .给出如下三个命题:
1 1 1 2 ①若 m ? 1 ,则 S ? ?1? ;②若 m ? ? ,则 ? l ? 1 ;③若 l ? ,则 ? ? m? 0 . 2 4 2 2

其中正确的命题是____________.(填上所有正确命题的序号) 三、解答题:(15、16 每小题 8 分,17、18 每小题 10 分,共 36 分.) 15. 利用函数单调性的定义证明:函数 f ( x) ?
?1 在 ?0, ??? 上是增函数. x ?1
2

16. 已知函数 f ? x ? 对任意的实数 m , n ,有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) .且当 x ? 0 时, 有 f ? x? ? 0 . (1)求证: f ? x ? 是奇函数; (2)用函数单调性定义证明: f ? x ? 在 (??, ??) 上为增函数.

17. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 在 x ??t, t ? 1? , t ? R 上的最小值为 g ? t ? . (1)求 g ? t ? 的解析式; (2)求 g ? t ? 的最小值.

3 1 18. 设不等式 x ? 2 ? a (a ? N * ) 的解集为 A ,且 ? A , ? A . 2 2 (1)求 a 的值;

(2)求函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值.

南开中学 2015—2016 学年度上学期第一次月考 高一数学 答题纸
二、填空题 9.__________ 10. __________ 11. __________ 考试时间:60 分钟

班级:____________ 姓名:____________ 学号:____________

12__________

13. __________

14. __________

三、解答题 (各题需要在方框内写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15 .

16 .

17.

18.

南开中学 2015—2016 学年度上学期第一次月考 高一数学参考答案

一、选择题 二、填空题 9. 12 10. 2

BDDBC

CDC 12. 3 13.

11. 4

? 0,1?

14. ①②③

三、解答题 15. 利用函数单调性的定义证明:函数 f ( x) ? 证明:任取 x1, x2 ??0, ??? ,且 x1 ? x2 , 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?
?1 在 ?0, ??? 上是增函数. x ?1
2

? x ? x ?? x ? x ? ?1 1 ? 2 ? 1 2 2 12 2 x ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1?? x2 ? 1?
2 1

因为 x1, x2 ??0, ??? ,且 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 .
2 ? 1? ? 0 ,所以 又 ? x12 ? 1?? x2

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? 0

?x

2 1

2 ? 1?? x2 ? 1?

,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,

?1 在 ?0, ??? 上是增函数. x ?1 16. 已知函数 f ? x ? 对任意的实数 m , n ,有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) .且当 x ? 0 时,

故函数 f ( x) ?

2

有 f ? x? ? 0 . (1)求证: f ? x ? 是奇函数; (2)用函数单调性定义证明: f ? x ? 在 (??, ??) 上为增函数. 证明:(1) 令 m ? n ? 0 ,则 f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ? 2 f (0) ? f (0) ? 0 令 n ? ?m,则 f (m ? m) ? f (m) ? f (?m)
? f (0) ? f (m) ? f ( ?m) ? f (?m) ? ? f (m) ? y ? f ( x) 是奇函数。

(2)在 (??, ??) 上任取 x1, x2且x1 ? x2 则 x2 ? x1 ? 0 , f ? x2 ? x1 ? ? 0 .
? f ? x2 ? ? f

?? x

2

? x1 ? ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? f ? x1 ? , f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 0 ,
?函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 上为增函数.

即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

17. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 在 x ??t, t ? 1? , t ? R 上的最小值为 g ? t ? . (1)求 g ? t ? 的解析式; (2)求 g ? t ? 的最小值. 解: (1) f ? x ? ? ? x ? 1? ? 1 的对称轴为 x ? 1 .
2

当 t ? 1 时, f ? x ? 在 ?t, t ?1? 上单调递增, g ?t ? ? f ?t ? ? t 2 ? 2t ? 2 ;

当 t ? 1 ? t ? 1 , 即 0 ? t ? 1 时 , f ? x ? 在 ?t,1? 上 递 减 , 在 ?1,t ? 1 ? 上递增,

g ?t ? ? f ?1? ? 1;
当 t ? 1 ? 1,即 t ? 0 时, f ? x ? 在 ?t, t ?1? 上单调递减, g ?t ? ? f ?t ?1? ? t 2 ? 1.
?t 2 ? 1, t ? 0 ? 故 g ? t ? ? ?1, 0 ? t ? 1 . ?t 2 ? 2t ? 2, t ? 1 ?

(2)由(1)知,当 t ? 0 时, g ?t ? ? t 2 ? 1在 ? ??,0? 上递减, g ?t ? ? g ? 0? ? 1; 当 0 ? t ? 1 时 , g ?t ? ? 1 ; 当 t ? 1 时 , g ?t ? ? t 2 ? 2t ? 2 在 ?1, ?? ? 上 递 增 ,

g ?t ? ? g ?1? ? 1 .故 g ? t ? 的最小值是 1 .
3 1 18. 设不等式 x ? 2 ? a (a ? N * ) 的解集为 A ,且 ? A , ? A . 2 2

(1)求 a 的值;(2)求函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值.
3 1 3 1 解: (1)因为 ? A ,且 ? A ,所以 ? 2 ? a ,且 ? 2 ? a , 2 2 2 2

解得

1 3 ? a ? ,又因为 a ? N * ,所以 a ? 1 . 2 2

??2 x ? 1, x ? ?1 ? ( 2 ) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?3, ? 1 ? x ? 2 , 当 x ? ?1 时 , f ? x ? 递 减 , ?2 x ? 1, x ? 2 ?

f ? x ? ? f ? ?1? ? 3 ; 当 ?1 ? x ? 2 时 , f ? x ? ? 3 ; 当 x ? 2 时 , f ? x ? 递 增 , f ? x ? ? f ? 2? ? 3 ,所以 f ( x) 的最小值为 3 .

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