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高三数学第二轮专题复习系列


高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 圆锥曲线
一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与 一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程; 这条曲 线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 ? f(x0,y )=0; 0 点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 ? f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点 若曲线 C1,C2 的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点 P0(x0,y0)是 C1,C2 的交点 ? f2(x0,y0) =0 方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有 n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线 就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集: {M||OM|=r} ,其中定点 O 为圆心,定长 r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 2 2 2 圆心在 c(a,b),半径为 r 的圆方程是(x-a) +(y-b) =r 2 2 2 圆心在坐标原点,半径为 r 的圆方程是 x +y =r (2)一般方程? 2 2 2 2 当 D +E -4F>0 时,一元二次方程 x +y +Dx+Ey+F=0 叫 做 圆 的 一 般 方 程 , 圆 心 为 (-

D E ,,半径是 2 2

D 2 ? E 2 - 4F .配方,将方程 2

x +y +Dx+Ey+F=0 化为(x+
2 2

2

2

D 2 E 2 D 2 ? E 2 - 4F ) +(y+ ) = 2 2 4

当 D +E -4F=0 时,方程表示一个点(2 2

D E ,- ); 2 2

当 D +E -4F<0 时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0),则 |MC|<r ? 点 M 在圆 C 内, |MC|=r ? 点 M 在圆 C 上, |MC|>r ? 点 M 在圆 C 内,
2 2 其中|MC|= (x 0 - a) ? (y 0 - b) .

(3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系

直线与圆相交 ? 有两个公共点 直线与圆相切 ? 有一个公共点 直线与圆相离 ? 没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距 离 d=

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

与半径 r 的大小关系来判定.

3.椭圆、双曲线和抛物线 椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表. 曲 性 质 点 集: ({M || MF1+ | MF2 | =2a,|F 1F2 | < 2a= 点集:{M||MF1 |-| MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}. 点集{M| |MF|=点 M 到直线 l 的距离}. 线 椭 圆 双曲线 抛物线

轨迹条件





标准方程

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2
A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) 对称轴 x=0,y=0 长轴长:2a 短轴长:2b

x2 y2 =1(a > 0,b > a2 b2
0)

y2=2px(p>0)





A1(0,-a),A2(0,a) 对称轴 x=0,y=0 实轴长:2a 虚轴长:2b F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在实轴上 |F1F2|=2c, c= a2 ? b2

O(0,0)



对称轴 y=





F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在长轴上 |F1F2|=2c,

F(

P ,0) 2

焦点对称轴上





c= a2 - b2



线

a2 x=± c
准线垂直于长轴,且在 椭圆外.

a2 x=± c
准线垂直于实轴,且在 两顶点的内侧. e=

x=-

p 2

准线与焦点位于顶点 两侧,且到顶点的距离 相等. e=1

离心率

e=

c ,0<e<1 a

c ,e>1 a

4.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的 距离之 比是一个常数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率. 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆当 e=1 时,轨迹为抛物线当 e>1 时,轨迹为双曲线 5.坐标变换 坐标变换 在解析几何中, 把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向) 叫做 坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改 变点 的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变, 只改变原点的位置, 这种坐标系的变 换叫 做坐标轴的平移,简称移轴. 坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M,它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y),在新 坐标系 x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点 O′在原坐标系 xOy 中的坐标是 (h,k),则 x=x′+h x′=x-h (1) 或(2) y=y′+k y′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程? 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表. 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 x=h y=k x=h y=k x=h y=k x=h y=k y=k y =k x=h x=h

(x - h)2 (y - k)2 + =1 a2 b2
椭圆

(±c+h,k)

a2 x=± +h c
y=±

(x - h)2 (y - k)2 + =1 b2 a2 (x - h)2 (y - k)2 =1 a2 b2
双曲线

(h,±c+k)

a2 +k c

(±c+h,k)



a2 +k c a2 +k c

(y - k)2 (x - h)2 =1 a2 b2
(y-k) =2p(x-h) (y-k) =-2p(x-h) 抛物线 (x-h) =2p(y-k) (x-h) =-2p(y-k)
2 2 2 2

(h,±c+h)

y=±

p +h,k) 2 p (- +h,k) 2 p (h, +k) 2 p (h,+k) 2
(

p +h 2 p x= +h 2 p y=- +k 2 p y= +k 2
x=-

二、知识点、能力点提示

(一)曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系, 然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在 求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满足已知条件,只有这样求 出的曲线 方程才能准确无误.另外,要求会判断 曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标. 三、 考纲中对圆锥曲线的要求: 考试内容: . 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程; . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质; . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质; 考试要求: . (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程; . (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质; . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质; . (4)了解圆锥曲线的初步应用。 四.对考试大纲的理解 高考圆锥曲线试题一般有 3 题(1 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 22 分左右, 考查的 知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以 圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下,一般较容易得分,解答题常作为数学高 考中的压轴题,综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力, 重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直 线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解,在复习应充分重视。 求圆锥曲线的方程 【复习要点】 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价转 化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求熟练掌握好 圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一 起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪 个坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. 【例题】 【例1】 双曲线
x2 y2 ? 2 =1(b∈ N)的两个焦点 F1、F2,P 为双曲线上一点, 4 b

|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则 b2=_________. 【例2】 已知圆 C1 的方程为 ?x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ?
x2
2

20 ,椭圆 C2 的方程为 3

2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 2 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程。
a ? b2 ?1

y2

?a ? b ? 0? ,C2 的离心率为

【例3】 过点(1, 0)的直线 l 与中心在原点, 焦点在 x 轴上且离心率为 相交于 A、B 两点,直线 y=
1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存 2
B y

2 的椭圆 C 2

在一点与右焦点关于直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程. 【例4】 如图, 已知△P1OP2 的面积为
27 , 为线 P 4
F2 o

1 y= 2 x

F1 A

x

段 P1P2 的一个三等分点,求以直线 OP1、OP2 为渐近线且过点 P 的离心率为 曲线方程. 【例5】 过椭圆 C:
y2 a2 ? x2 b2

13 的双 2

? 1(a ? b ? 0) 上一动点 P 引圆 O:x2 +y2 =b2 的两条切

线 PA、PB,A、B 为切点,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于 M、N 两点。(1) 已知 P 点 坐标为(x0 ,y0 )并且 x0y0 ≠0,试求直线 AB 方程;(2) 若椭圆的短轴长为 8,并且
a2 | OM |
2

?

b2 | ON |
2

?

25 ,求椭圆 C 的方程;(3) 椭圆 C 上是否存在点 P,由 P 向圆 O 所 16

引两条切线互相垂直?若存在,请求出存在的条件;若不存在,请说明理由。 【例6】 已知椭圆 C 的焦点是 F1(- 3 ,0) 2( 3 ,0) 、F ,点 F1 到相应的准线 的距离为
3 , F2 点且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆 C 交于 A、 两点, 过 B 使得|F2B|=3|F2A|. 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求直线 l 的方程.

【例7】 已知点 B (-1, , 0)C 0)P 是平面上一动点, (1, , 且满足 | PC | ? | BC |? PB ? CB. (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE,且 AD⊥AE, 判断:直线 DE 是否过定点?试证明你的结论. (3)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD,AE,且 AD,AE 的斜 率 k1、k2 满足 k1·k2=2.求证:直线 DE 过定点,并求出这个定点. 【例8】 已知曲线
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0)的离心率e ?

2 3 ,直线 l 过 A(a,0) 、 3

B(0,-b)两点,原点 O 到 l 的距离是

3 . (Ⅰ)求双曲线的方程; 2 (Ⅱ)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M、N 两点,若 OM ? ON ? ?23 ,求直线 m 的方程.

【例9】 已知动点 P 与双曲线 且
cos ?F1 PF2 的最小值为 ?

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F 1 、 F2 的距离之和为定值, 2 3

1 . (1)求动点 P 的轨迹方程; 9

(2)若已知 D (0,3) ,M 、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范围. 【求圆锥曲线的方程练习】 一、选择题 1.已知直线 x+2y-3=0 与圆 x2+y2+x-6y+m=0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP⊥ OQ,则 m 等于( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 2.中心在原点,焦点在坐标为(0,± 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的 5 横坐标为
A.

1 ,则椭圆方程为( 2

)
B. 2x 2 2 y 2 ? ?1 75 25 x2 y2 D. ? ?1 75 25

2x 2 2 y 2 ? ?1 25 75 x2 y2 C. ? ?1 25 75

二、填空题 3.直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x2-4y2=3 的焦点

作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________. 4.已知圆过点 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,则该圆 的方程为_________. 三、解答题 5.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F,M 是椭圆上的任 意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和
4 10 ,试求椭圆的方程. 3 6.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求其 中最长的支柱的长.

M2,且|M1M2|=

7. 已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2=
x2 a2 ? y2 b2

20 ,椭圆 C2 的方程为 3

2 ,如果 C1 与 C2 相交于 2 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭 圆 C2 的方程.

=1(a>b>0),C2 的离心率为


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