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(北师大版)必修四:1.8《函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(2)》课件


§8 函数y=Asin(ωx+ ?) 的
图像与性质(二)

振幅变换 y=sinx 相位变换 y=sinx 周期变换 y=sinx

横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 向左或向右 平移| ? |个单位

y=Asinx y=sin(x± ? ) y=sinωx

1.会利用振幅变换、周

期变换和相位变换的方法, 作函数y=Asin(ωx+ ? )的图像.(重点) 2.会借助正弦函数、余弦函数研究函数y= Asin(ωx+ ? )的单调性及最值.(难点)

思考交流:如何利用y=sinx来研究 y=Asin(ωx+φ)的图像和性质.

可利用平移变换法与整 体代入思想研究.

? 例4:画出函数y ? 3sin(2x ? ) ? 1的简图. 6

分析:本题可以利用“五点法”来作函数图像,
也可以利用图像变换法作图.

方法1:先平移后伸缩

? (1)向左平移 6 函数 y=sinx

? y=sin(x+ ) 的图像 6 ? y=sin(2x+ ) 的图像 6 ? y=3sin(2x+ )的图像 6 ? y=3sin(2x+ )+1的图像 6

1 (2)横坐标缩短到原来的 2 倍

纵坐标不变 (3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍 (4)沿y轴方向

向上平移1个单位长度

y 4
3
2 1
?
6

? y=3sin(2x+ )③ 6

? y=3sin(2x+ )+1④ 6

方法1:先移后缩演示

y=sinx ?
5? 12
11? 12

?

?

? 12

o

11? 6

2?

x

-1

-2 -3

y=sin(2x +

? y=sin(x+ )① 6 ? 6
)②

方法1:先平移后伸缩一般规律
函数 y=sinx
(1)向左(? >0)或向右(? <0) 平移| ? |个单位长度

y=sin(x+?)的图像

(2)横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)到

1 原来的 倍(纵坐标不变) ?
(3)纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) 到原来的A倍(横坐标不变) (4)向上(b>0)或向下(b<0)

y=sin(?x+?) 的图像

y=Asin(?x+?)的图像
y=Asin(?x+?)+b的图像

平移| b |个单位长度

2? ?决定了函数y ? Asin(?x ? ?) ? b的周期(周期T ? ) ; ?

思考1: A,?,?,b对图像的影响.

?决定了函数y ? A sin(?x ? ?) ? b的初相(初相?) ; A和b决定了函数y ? Asin(?x ? ?) ? b的值域和振幅
(振幅A,值域 ? ?A ? b, A ? b ?) .
思考2:还有其他的变换方法吗?

方法2:先伸缩后平移
函数 y=sinx
1 (1)横坐标缩短到原来的 2 倍

纵坐标不变

y=sin2x的图像

? (2)向左平移 12 个单位长度

? y=sin(2x+ ) 的图像 6
? y=3sin(2x+ )的图像 6 ? y=3sin(2x+ )+1的图像 6

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

(4)沿y轴方向
向上平移1个单位长度

y 4
3 2 1
?
6

? y=3sin(2x+ )③ 6

? y=3sin(2x+ )+1④ 6

方法2:先缩后移演 示

y=sinx
11? 12

?

?

? 12

o

?

11? 6

2?

5? 12

x

-1

y=sin2x①

-2 -3

? y=sin(2x + )② 6

方法2:先伸缩后平移一般规律
(1)横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)到

函数y=sinx

1 原来的 倍(纵坐标不变) ?

y=sin?x的图像

(2)向左(? >0)或向右(? <0) y=sin(?x+?)的图像 ? 平移| |个单位长度 ? (3)纵坐标伸长(A>1)或缩短 y=Asin(?x+?)的图像 (0<A<1) 到原来的A倍(横坐标不变) (4)沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)

y=Asin(?x+?)+b的图像

平移| b |个单位长度

思考:区分先移后缩,先缩后移的区别.

例5:求下列函数的最大值、最小值,以及达到 最大值、最小值时x值的集合.

4 1 1 ? (1)y ? sin x ? 2.(2)y ? sin x.(3)y ? cos (3x ? ). 3 2 2 4 π (1) 当x = 2kπ+ (k ∈ Z ) 时,si nx取最大值1, 解:
2 此时函数y = si nx - 2取最大值 - 1.

3π 当x = 2kπ+ (k ∈ Z) 时,sinx取最小值 -1, 2 此时函数y = sinx - 2取最小值 - 3.

1 当u = 2kπ+ (k ∈ Z)时, 即x = 4kπ+π(k ∈ Z)时,sin x取得最大值1, 2 2 4 1 4 此时函数y = sin x取最大值 . 3 2 3 3π 1 当u = 2kπ+ (k ∈ Z) 时, 即x = 4kπ+ 3π(k ∈ Z) 时,sin x取得最 2 2 小值 -1,

1 (2) 设u = x. π 2

4 1 4 此时函数y = sin x取最小值 - . 3 2 3

2 π π 当u = 2kπ(k ∈ Z)时, 即x = kπ- (k ∈ Z)时,cos(3x + )取最大值1, 3 12 4 1 π 1 此时函数y = cos(3x + )取最大值 . 2 4 2

π (3) 设u = 3x + . 4

2 π π 当u = 2kπ+π(k ∈ Z)时,即x = kπ+ (k ∈ Z)时,cos(3x + )取最小 3 4 4 值 -1, 1 π 1 此时函数y = cos(3x + )取最小值 - . 2 4 2

换元转化的思想方法

1 ? 例6: (1)求函数 y ? 2sin( x ? ) 的递增区间. 2 3
1 5π y = cos(4x + ) 的递减区间. (2)求函数 3 6 1 π 解:(1) 设u = x - .

2 3 π π 因为函数sin u的递增区间是[2kπ- ,2kπ+ ](k ∈ Z), 由 2 2 π 1 π π 2kπ- ≤ x - ≤ 2kπ+ (k ∈ Z), 即 2 2 3 2 ? 5? (k ? Z ) 4 k ? ? ≤ x≤ 4 k ? ?
1 π 所以, 函数y = 2sin( x - ) 的递增区间是 2 3 π 5π [4kπ- ,4kπ+ ](k ∈ Z). 3 3
3 3

5π . (2) 设u = 4x + 6 因为函数cos u的递减区间是 [2kπ,2kπ+π](k ∈Z), 由
5π 2kπ≤ 4x + ≤ 2kπ+π(k ∈ Z), 即 6 1 5π 1 π kπ≤ x ≤ kπ+ ( k ∈ Z ) , 2 24 2 24 1 5π 所以, 函数y = cos(4x + ) 的递减区间是 3 6 1 5π 1 π [ kπ, kπ+ ](k ∈ Z). 2 24 2 24

换元转化的思想方法

1. 要得到函数y=cos3x的图像,只需将函数
π y=cos(3x- )的图像( C ) 6 π π A.向左平移 6 个单位长度 B.向右平移 6 个单位长度 π π C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 18 18

π 2.(2014·陕西高考)函数 f(x)=cos(2x- ) 6

的最小周期是( B ) A.
π 2

B. π

C.2 π

D.4 π

3.把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原
来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再

向下平移1个单位长度,得到的图像是( A )

4.(2013·山东高考)将函数y=sin(2x + ? )的 图像沿x轴向左平移
3? 4

?
8

个单位后,得到一个偶函数 ) D.? ?

的图像,则 ? 的一个可能取值为( B A. B.
?
4

C.0

【解析】将函数y=sin(2x + ?)的图像沿x轴向左 ? 平移 个单位后,得到 y ? sin[2( x ? ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? ? ) ,
8

4

因为此时函数为偶函数,所以
?? ?
4 ? k? , k ? Z
.

?
4

8

?? ?

?
2

4

? k? , k ? Z

,即

?

5.已知函数y=Asin(?x+?)(其中A>0,ω>0,|?|≤ 一个周期的图像如下图所示,则函数的解析式为

? 2

)

2 ? y ? 2 sin( x ? ) 3 2

.

1.会利用振幅变换、周期变换和相位变换的方法, 作函数y=Asin(ωx+φ)的图像. 2.能区分先移后缩,先缩后移的区别. 3.会借助正弦函数、余弦函数研究函数 y=Asin(ωx+φ)的单调性及最值.

霸祖孤身取二江,子孙多以百城降.豪华 尽出成功后,逸乐安知与祸双?

——王安石


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