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2016年南通市第一次调研考试 理科数学


南通市 2016 届高三下学期第一次模拟考试 数学试题Ⅰ
一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.
1、已知集合 A= ? x | ?1 ? x ? 2? , B ? ??1,0,1? ,则 A 【答案】 ?0,1? . 【考查方向】本题主要考查集合的概念和交集的运算.考查概念的理解和运算能力,难度较小. 。 【易错点】本题易混淆并

集与交集的概念,对集合的表示方法理解错误。 【解题思路】本题考查集合的概念和交集运算,概念的理解能力。解题步骤如下: 1.读懂题意,正确理解交集的概念。 2.直接写出答案。 【解析】 A ? x ?1 ? x ? 2 , B ? ??1,0,1? ,根据交集定义可得 A

B=

?

?

B ? ?0,1? .

2、若复数 z ? a ? 2i(i 为虚数单位, a ? R ),满足 | z |? 3 ,则 a 的值为 【答案】 ? 5 【考查方向】本题旨在考查复数及模的概念与复数的运算,考查运算求解的能力,难度较小. 【易错点】本题易忘记复数的模的概念和计算公式,出现计算错误。 【解题思路】本题考查了复数的模的概念,简单的运算能力。解题步骤如下: 1.写出复数模的计算公式。 2.由公式直接算出结果。 【解析】由题意得 z ?

a 2 ? 4 ? 3 ,即 a 2 ? 5 ,解得 a ? ? 5 .

3、从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为偶数的概率是 【答案】

5 . 6

【考查方向】本题旨在考查古典概型的求法,枚举法在求古典概型中的应用.考查运算和推理能力, 难度较小. 【易错点】本题易混淆古典概型与几何概型的意义,对基本事件的个数会遗漏。 【解题思路】本题考查了古典概型的求法,简单的运算推理能力。解题步骤如下: 1. 写出基本事件的总数和满足条件的事件个数。 2. 根据古典概型的计算公式,求出结果。

【解析】随机地抽取 2 个数总可能数为 6 种,两个数之积为偶数的为:1,2;1,4;2,3;2,4;3, 4,共有 5 种,那么所取的 2 个数之为偶数的概率为 P ? 4、根据下图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为

5 . 6

【答案】21 【考查方向】本题旨在考查算法伪代码,考查学生的阅读能力.考查推理运算能力,难度较小。 【易错点】本题容易出错的地方就是循环的结束的确定。 【解题思路】本题主要考查伪代码,阅读能力.简单的推理运算能力。解题步骤如下: 1. 从 I=1 开始一直循环到 I=4 2. 退出循环,输出结果。 【解析】模拟执行程序,开始有 I=1,S=0,此时满足条件 S≤10;接下来有 I=2,S=1,此时满足 条件 S≤10;接下来有 I=3,S=1+4=5,此时满足条件 S≤ 10;接下来有 I=4,S=5+16=21,此时不满 足条件 S>10,退出循环,输出 S=21.

5.为了了解居民家庭网上购物消费情况,某地区调查了 10000 户家庭的月消费金额(单 位:元),所有数据均在区间 [0,4500] 上,其频率分布直方图如下图所示,则被调查的 10000 户家庭中,有 户月消费额在 1000 元以下

消费 / 元

【答案】750. 【考查方向】本题主要考查统计的概念,直方图.考查概念的理解和运算能力,难度较小.

【易错点】本题易错点是看不懂直方图中矩形面积的意义,把 1000 元以下,理解为包含 1000 元。 【解题思路】本题主要考查统计的概念,直方图等知识。解题步骤如下: 1.找出前面二个矩形的高度,即纵坐标。 2.利用公式求得结果。 【解析】由题意得,被调查的 10000 户家庭中,消费额在 1000 元以下的户数有:(0.0001+0.00015) ×500×10000=750 户.

6.设等比数列 {a n } 的前 n 项的和为 S n ,若 S2 ? 3, S4 ? 15 ,则 S 6 的值为
【答案】63. 【考查方向】本题主要考查等比数列的基本运算,等比数列的求和,考查学生的运算能力,难度中 等. 【易错点】本题易错点是公式会弄错,运算上出现错误。 【解题思路】本题主要考查等比数列的基本运算,等比数列的求和。解题步骤如下: 1.利用公式或性质,列出等式。 2.正确运算,得出结果。 【解析】 由等比数列前 n 项和的性质 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , 等比数列, ?15 ? 3? ? 3 ? ? S6 ? 15? ,解得 S6 ? 63 .
2

成等比数列, 则 S 2 , S 4 ? S 2 , S6 ? S 4 成

法一:设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q.显然 q≠1,由题意得 -q ) =3 ?a (1 1-q ?a =1, 1-q 解之得:? 所以,S = =63. ?a (1-q ) 2. 1-q ?q=± =15. ? 1-q
1 2 1 6 1 4 6

法二:由等比数列的性质得

S4-S2 q2= =4,(下同一) S2

法三:由 S2,S4-S2,S6-S4 成等比数列 所以 (S4-S2)2=S2(S6-S4),得 S6=63.

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 线方程为 y ? 2 x ,则该双曲线的方程为
【答案】

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点 P(1,1) ,其一条渐近 a 2 b2

x2 ? y2 ? 1. 1 2

【考查方向】本题主要考查双曲线的标准方程,双曲线几何性质,渐近线等概念.考查概念和运算 和推理能力,难度中等.

【易错点】本题易混淆焦点在 X 轴与 Y 轴的双曲线的渐近线方程。 【解题思路】本题主要考查双曲线的标准方程,双曲线几何性质,渐近线等概念。解题步骤如下: 1.由双曲线的性质和渐近线方程的概念列出方程组。 2.解方程组求出答案即可。

?1 1 ? ?1 ? 2 1 ? x2 ? a 2 b2 ?a ? 【解析】法一: 由题意可得 ? ,解得 ? .故双曲线的方程为 ? y2 ? 1. 2 1 2 ? ? b? 2 ? b ?1 2 ? ? a
法二:设所求的双曲线方程为:2x2-y2=λ,因为点 P(1,1),所以 λ=2-1=1.所以,所求的双曲 线方程为:2x2-y2=1.

8.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,点 E 是棱 B1B 的中点,则三棱锥

B1 ? ADE 的体积为
【答案】

1 . 12

【考查方向】本题主要考查多面体的概念,三棱锥的体积求法.考查计算能力,难度较小. 【易错点】本题用等体积法解决时,不能正确变换图形位置,即找不到用那个点为三棱锥的顶点。 【解题思路】本题主要考查多面体的概念,三棱锥的体积求法.解题步骤如下: 1. 正确找到合适的点作为三棱锥的顶点。 2.利用公式计算得出结果。 【解析】根据等体积法可得 VB1 ? ADE ? VD ? AB1E ?

1 1 1 1 ? ? ?1?1 ? . 3 2 2 12

1 1 1 1 1 法一:VB1-ADE=VD-AB1E= × AD× S△AB1E= × 1× × 1× = . 3 3 2 2 12 1 1 1 1 法二:因为 AD⊥B1E,所以 VB1-ADE= × AD× B1E× d× sinθ= × 1× × 1× 1= . 6 6 2 12 (其中 d 为异面直线 AD 与 B1E 的距离,θ 为异面直线 AD 与 B1E 所成的角). 法三:设 F、G、H 分别为棱 CC1、DD1、AA1 的中点, 1 1 1 1 则 VB1-ADE= VB1-ADEF= × V = V = . 2 6 B1C1GH-ADEF 12 ABCD-A1B1C1D1 12

? x( x ? b), x ? 0 9.若函数 f ( x) ? ? (a ? 0, b ? 0) 为奇函数,则 f (a ? b) 的值为 ?ax( x ? 2), x ? 0
【答案】 ?1 . 【考查方向】本题主要考查函数,分段函数的概念,函数的奇偶性,函数的求值等基础知识.考查

数形结合的思想方法,考查分析问题、解决问题的能力,难度中等. 【易错点】本题易混淆奇函数与偶函数的图像的对称性质,不能正确利用奇函数的图像关于原点对 称这一性质解决。 【解题思路】本题主要考查函数,分段函数的概念,函数的奇偶性,函数的求值等基础知识。解题 步骤如下: 1.求出二次函数图像的顶点,利用奇函数的对称性质,列出方程。 2. 解方程求出 a,b,进一步求出结果。 【解析】法一:因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(-1)=-f(1),f(-2)=-f(2),即
?1(1-b)=a(-1+2) ? ,解得 a=-1,b=2.经验证 a=-1,b=2 满足题设条件. ?2(2-b)=2a(-2+2)

f(a+b)=f(1)=-1. 法二:因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(x)的图象关于原点对称. b b2 当 x>0,二次函数的图象顶点为( ,- ). 2 4 当 x<0,二次函数的图象顶点为(-1,-a). b b2 所以,- =-1,- =a,解得 a=-1,b=2.(下略). 2 4

10.已知 sin( x ?
【答案】

?
6

)?

5? ? 1 ,则 sin( x ? ) ? sin 2 ( ? x) 的值是 6 3 3

5 . 9

【考查方向】本题主要考查三角函数的基本性质,诱导公式,两角和与差三角函数,三角函数的恒 等变换,考查运算能力,难度中等. 【易错点】本题不容易想到角的变换,有时公式记错,导致结果错误。 【解题思路】本题主要考查三角函数的基本性质,诱导公式,两角和与差三角函数,三角函数的恒 等变换.解题步骤如下: 1. 把未知角变换成已经角。 2.利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求解。 【解析】 sin ? x ?

? ?

5? 6

?? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 ?? 2 ?? ? ? sin ? ? x ? ? sin ? ? x ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? x ? ? ? 6? 6 ?? ? ?3 ? ?? ? ?2 ?

?? ?? 5 ? ? ? ? sin ? x ? ? ? 1 ? sin 2 ? x ? ? ? . 6? 6? 9 ? ?

5π π π 1 法一:sin(x- )=sin(x+ -π)=-sin(x+ )=- . 6 6 6 3 π π π 1 8 sin2( -x)=cos2(x+ )=1-sin2(x+ )=1- = , 3 6 6 9 9 5π π 8 1 5 所以 sin(x- )+sin2( -x)= - = . 6 3 9 3 9 5π π π 1 1 2π 法二:sin(x- )+sin2( -x)=-sin(x+ )+ - cos( -2x) 6 3 6 2 2 3 1 1 1 π 1 1 1 π 5 =- + + cos(2x+ )=- + + [1-2sin2(x+ )]= . 3 2 2 3 3 2 2 6 9

11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,0), B(4,0) .若直线 x ? y ? m ? 0 上存在点 P , 使得 PA ?
1 PB ,则实数 m 的取值范围是 2

【答案】 ? ?2 2, 2 2 ? .

?

?

【考查方向】本题主要考查直线与圆的位置关系,点到直线距离.考查学生的运算能力,灵活运用 有关知识解决问题的能力.难度中等. 【易错点】本题易错点是找不到 P 点的轨迹是圆,从而不能利用直线与圆的位置关系解决。 【解题思路】本题主要考查直线与圆的位置关系,点到直线距离.解题步骤如下: 1.由已知条件,求出 P 点的轨迹方程。 2.利用直线与圆的位置关系解决。 【解析】法一:设满足条件 PA=2PB 的 P 点坐标为(x,y),则(x-4)2+y2=4(x-1)2+4y2,化简得 |m| x2+y2=4.要使直线 x-y+m=0 有交点,则 ≤2.即-2 2≤m≤2 2. 2 法二:设直线 x-y+m=0 有一点(x,x +m)满足 PA=2PB,则 (x-4)2+(x+m)2=4(x-1)2+4(x+m)2. 整理得 2x2+2mx+m2-4=0 (*) 方程(*)有解,则△=4m2-8(m2-4)≥0, 解之得:-2 2≤m≤2 2.

12.已知边长为 6 的正三角形 ABC , BD ? 则 PB ? PD 的值为
【答案】3.

1 1 BC , AE ? AC , AD 与 BE 交点 P , 2 2

【考查方向】本题主要考查向量的线性运算,向量的数量积,向量的坐标运算.考查运算能力,推

理论证能力及灵活运用数学知识能力.难度中等. 【易错点】本题不容易想到利用 B、P、E 三点共线寻找突破口,不能正确运用向量的基本定理解决 问题。 【解题思路】本题主要考查向量的线性运算,向量的数量积,向量的坐标运算。解题步骤如下: → → 1. 由向量基本定理和 B、P、E 三点共线求出向量 PB , PD 。 2.利用数量积公式求出结果。 → → → → →→ → → → → μ→ → → η→ η→ 【解析】法一:设 AB = a , AC = b .则 a ·b =8.设 AP =λ AB +μ AE =λ a + b , AP =η AD = a + b , 3 2 2 又 B、P、E 三点共线, 所以

? ?λ=2 η ?μ = 3 2 ? ?λ+μ=1

η

1 3 1 解之得:λ= ,μ= ,η= . 4 4 2

→ → → 3→ 1→ → 1→ 1→ PB = AB - AP = a - b , PD = a + b , 4 4 4 4 1 → → → 3→ 1→ 1→ 1→ →→ → PB ·PD =( a - b )( a + b )= (3 a 2+2 a ·b - b 2)=3. 4 4 4 4 16 2 4 3 法二:以 BC 为 x 轴,AD 为 y 轴,建立坐标系,B(-2,0),C(-2,0),A(0,2 3),E( , ), 3 3 →→ P(0, 3).所以, PB ·PD =(-2,- 3)· (0,- 3)=3.

13.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与曲线 y ? x 2 ( x ? 0) 和 y ? x3 ( x ? 0) 均相切, 切点分别为 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) ,则
4 【答案】3. 【考查方向】本题主要考 查导数的概念,函数的切线方程.考查运算能力,推理论证能力及灵活运 用数学知识能力,难度中等. 【易错点】本题易错的地方是不能正确理解导数的几何意义,以及导数公式记错。 【解题思路】本题主要考 查导数的概念,函数的切线方程.解题步骤如下: 1.由导数几何意义,写出切线方程。 2.解方程组,得出答案。 【解析】由题设函数 y=x2 在 A(x1,y1)处的切线方程为:y=2x1 x-x12, 函数 y=x3 在 B(x2,y2)处的切线方程为 y=3 x22 x-2x23.

x1 的值是 x2

?2x1=3x22 32 8 所以? 2 ,解之得:x1= ,x2= . 27 9 ?x1 =2x23

所以

x1 4 = . x2 3

14.已知函数 f ( x) ? 2ax 2 ? 3b(a, b ? R) .若对于任意 x ? [?1,1] , 都有 | f ( x) |? 1 成立, 则 ab 的 最大值是
1 【答案】24. 【考查方向】本题主要考查二次函数、函数性质、基本不等式、绝对值的概念. 考查恒等变换,代 换技巧,抽象概括能力和综合运用数学知识解决问题能力,难度中等. 【易错点】本题不易想到使用基本不等式的配凑法,不能正确理解条件中的“任意”二字。 【解题思路】本题主要考查二次函数、函数性质、基本不等式、绝对值的概念.解题步骤如下: 1.由任意性,想到用端点值代入,得到不等式|2a+3b|≤1。 2. 配凑出能使用基本不等式的式子。 【解析】法一:由|f(x)|≤1,得|2a+3b|≤1, 所以,6ab≤|2a· 3b|=|2a+3b-3b|· |3b|≤ (
2a ? 3b ? 3b ? 3b 2 1 1 ) ≤ (2a ? 3b)2 ≤ . 4 4 2

1 1 且当2a=3b=± 时,取得等号.所以ab的最大值为 . 2 24
?f(0)=3b 法二:由题设得? ? ?f(1)=2a+3b

?a=2(f(1)-f(0)) 1 1 f(1) 1 ,ab= (f(1)-f(0))f(0)≤ ( ) ≤ . ? 1 6 6 2 24 ? b=3f(0)
2

1

二、 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab 。 (1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2a cos B, b ? 2 ,求 ? ABC 的面积。
【答案】(1) ? ;(2) 3 . 【考查方向】本题旨在考查三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、向量的 数量积等基本知识,考查运算求解能力.难度较小. 【易错点】1.第一问中化简易出错误。 2.第二问不知道统一成边或者角进行处理。 【解题思路】本题旨在考查三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、向量的

2 3

数量积等基本知识.解题步骤如下: 1.化简已知条件,利用余弦定理求解。 2.边角互化,利用正(余)弦定理和三角形面积公式求解。 【解析】试题分析:本题属于解三角形中的基本问题,难度不大。(1)此类问题主要应用正(余) 弦定理和三角形面积公式;(2)注意边和角的统一。 a 2 ? b2 ? c 2 1 1 (1)在△ABC 中,由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得 ? ? ,即 cosC= ? .………3 分 2ab 2 2 2? 因为 0<C<π,所以 C= .……………………………………………………………6 分 3 (2)(法一)因为 c=2acosB,由正弦定理,得 sinC=2sinAcosB, …………………………………………………………………………8 分 因为 A+B+C=π,所以 sinC=sin(A+B), 所以 sin(A +B)=2sinAcosB,即 sinAcos B-cosAsinB=0,即 sin(A-B)=0, ………10 分 又-
? ? <A-B< , 3 3

所以 A-B=0,即 A=B,所以 a=b=2.………………………………………………12 分 1 1 2? 所以△ABC 的面积为 S△ABC= absinC= × 2× 2× sin = 3. ………………………14 分 2 2 3 (法二)由 c ? 2a cos B 及余弦定理,得 c ? 2a ?
a 2 ? c 2 ? b2 ,…………………………8 分 2ac

化简得 a ? b ,………………………………………………………………………………12 分 1 1 2? 所以,△ABC 的面积为 S△ABC= absinC= × 2× 2× sin = 3.………………………14 分 2 2 3

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是菱形,点 E 是 A1C1 的中点. 求证:(1) BE ? AC ;(2) BE // 平面 ACD1 .

【答案】(1)略;(2)略. 【考查方向】本题主要考查直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系等基础知识,考查空 间想象能力和推理论证能力.难度较小.

【易错点】1.第一问在书写时易遗漏 BD∩BB1=B 这一条件; 2.第二问在书写时易遗漏 D1F ? 平面 ACD1,BE ? 平面 ACD1,这些条件。 【解题思路】本题主要考查直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系等基础知识。解题步 骤如下: 1.由线面垂直推出线线垂直; 2.由线线平行推出线面平行。 【解析】试题分析:此题属于立体几何中的线面关系的位置关系的证明题,难度不大,只要熟悉了 线面关系中平行与垂直的判定和性质定理,即可完成。 (1)在直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 中, 连结 BD 交 AC 于点 F,连结 B1D1 交 A1C1 于点 E. 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 BD⊥AC. 因为 ABCD–A1B1C1D1 为直棱柱, 所以 BB1⊥平面 ABCD,又 AC ? 平面 ABCD, 所以,BB1⊥AC.………………………………………………………………………3 分 又 BD∩BB1=B,BD ? 平面 B1BDD1,BB1 ? 平面 B1BDD1, 所以 AC⊥平面 B1BDD1. ………………………………………………………………5 分 而 BE ? 平面 B1BDD1,所以 BE⊥AC. ………………………………………………7 分 (通过证明等腰三角形 A1BC1,得 BE⊥A1C1,再由 AC∥A1C1 得 BE⊥AC,可得 7 分) (2)连结 D1F,因为四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 为直棱柱, 所以四边形 B1BDD1 为矩形. 又 E,F 分别是 B1D1,BD 的中点,

所以 BF=D1E,且 BF∥D1E.…………………………………………………………9 分 所以四边形 BED1F 是平行四边形. 所以 BE∥D1F.…………………………………………………………………………11 分 又 D1F ? 平面 ACD1,BE ? 平面 ACD1, 所以 BE∥平面 ACD1. ………………………………………………………………14 分

17. (本小题满分 14 分)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 离心率为
3 . 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(2,1) , a 2 b2
(2)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0)

(1)求椭圆的方程;

与椭圆相交于 B, C 两点(异于点 A ),线段 BC 被 y 轴平分,且 AB ? AC ,求直线 l 的方程。

【答案】(1)

x2 y 2 1 ? ? 1 ;(2) y ? ? x . 2 8 2

【考查方向】 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质, 直线与椭圆的交点, 直线斜率等基础知识. 考 查运算能力.难度中等。 【易错点】 1.第一问对椭圆中的 a,b,c 表示的意义不明确; 2.第二问中不能把垂直关系与二次方程的解和点的坐标结合起来考虑。 【解题思路】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的交点,直线斜率等基础知识。 解题步骤如下: 1.把点代入椭圆方程进而求出方程 2.把垂直关系转化为点的坐标运算。 【解析】 试题分析:此题是直线与圆锥曲线的常见题型, 运算量较大。 此类问题往往要用到韦达定理,

设而不求等方法技巧,把几何关系转化为代数运算。 x2 y 2 (1)由条件知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 离心率为 a b

e?

c 3 , ? a 2

1 2 2 2 2 所以 b ? a ? c ? a . 4

又点 A(2,1)在椭圆 所以

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上, a 2 b2

4 1 ? ?1, ……………………………………………………………………………2 分 a 2 b2

2 ? ?a ? 8 , 解得 ? 2 ? ?b ? 2 .

所以,所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1. 8 2

………………………………………………4 分

(2)将 y ? kx ? m(k ? 0) 代入椭圆方程,得 x2 ? 4(kx ? m)2 ? 8 ? 0 , 整理,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4m2 ? 8 ? 0 . ① 由线段 BC 被 y 轴平分,得 xB ? xC ? ?
8mk ?0, 1 ? 4k 2

因为 k ? 0 ,所以 m ? 0 . …………………………………………………………………8 分
? kx) , C 关于原点对称,设 B( x,kx),C (? x, 因为当 m ? 0 时, B,
2 由方程①,得 x ?

8 , 1 ? 4k 2

又因为 AB ? AC ,A(2,1), 所以 AB ? AC ? ( x ? 2)(? x ? 2) ? (kx ? 1)(?kx ? 1) ? 5 ? (1 ? k 2 ) x2 ? 5 ?
8(1 ? k 2 ) ? 0, 1 ? 4k 2

1 所以 k ? ? . ………………………………………………………………………………12 分 2

由于 k ?

1 1 1 时,直线 y ? x 过点 A(2,1),故 k ? 不符合题设. 2 2 2

1 所以,此时直线 l 的方程为 y ? ? x . …………………………………………………14 分 2

18. (本小题满分 16 分) 如图, 阴影部分为古建筑物保护群所在地, 其形状是以 O1 为圆心, 半径为 1km 的半圆面。 公路 l 经过点 O ,且与直径 OA 垂直。现计划修建一条与半圆相切的公路 PQ (点 P 在直径
OA 的延长线,点 Q 在公路 l 上), T 为切点.

(1)按下列要求建立函数关系: ①设 ?OPQ ? ? (rad ) ,将 ?OPQ 的面积 S 表示为 ? 的函数; ②设 OQ ? t (km) ,将 ?OPQ 的面积 S 表示为 t 的函数; (2)请你选用(1)中的一个函数关系,求 ?OPQ 的面积 S 的最小值。

?1 ? sin ? ? 【答案】(1)① S ?
sin 2?

2

t3 ?? 3 3 ? . ? 0 ? ? ? ? ② S ? 2 ? t ? 1? ;(2) t ?1 2 2? ?

【考查方向】本题主要考查直线、圆、解三角形等基础知识,考查学生的抽象概括能力、运算求解 能力,建模能力,考查学生的数学应用意识.难度中等. 【易错点】1.第一问不能正确读懂题意,因而无法下手; 2.第二问得出函数关系后,不知道用导数解决最值问题。 【解题思路】本题主要考查直线、圆、解三角形等基础知识。解题步骤如下: 1.根据已知条件,合理建立函数关系式; 2.利用导数求出函数的最值。 【解析】试题分析:此类问题是典型的函数建模问题,难度较大。解决的关键是把实际问题转化为函 数问题进行求解。 (1)①由题设知,在 Rt△O1PT 中, ∠OPT= ? ,O1T=1, 所以 O1P =
1 . sin ?
1 +1 . sin ?

又 OO1=1,所以 OP = 在 Rt△OPQ 中,
OQ ? OP tan ? ? (1 ?

1 1 ? sin ? ) tan ? ? .…3 分 sin ? cos ?

所以,Rt△OPQ 的面积为

1 S= OP ? OQ 2 1 1 1 ? sin ? ? (1 ? ) 2 sin ? cos ?

= ?

(1 ? sin ? )2 2sin ? cos ? (1 ? sin ? )2 π (0 ? ? ? ) . …………………………………………………………5 分 sin 2? 2

(取值范围不写或不正确扣 1 分) ②由题设知,OQ= QT = t,O1T=1,且 Rt△POQ∽Rt△PT O1, 所以
OP TP OP t 2 ? OP 2 ? t ? ,即 , ? OQ TO1 t 1

化简,得 OP=

2t 2 (t ? 1) .………………………………………………………………8 分 t2 ?1

所以,Rt△OPQ 的面积为
1 S= OQ ? OP 2

1 2t 2 t3 = t? 2 ? 2 (t ? 1) .…………………………………………………………10 分 2 t ?1 t ?1

(取值范围不写或不正确扣 1 分) (2)选用(1)中①的函数关系 S ?
(1 ? sin ? )2 π (0 ? ? ? ) . sin 2? 2 2 2(1 ? sin ? )cos ? sin 2? ? (1 ? sin ? ) 2cos 2? S? ? (sin 2? )2
?
? ?

2(1 ? sin ? )[cos ? sin 2? ? (1 ? sin ? )cos 2? ] (sin 2? )2
2(1 ? sin ? )[sin(2? ? ? ) ? (1 ? 2sin 2 ? )] (sin 2? )2 2(1 ? sin ? )2 (2sin ? ? 1) ? (0 ? ? ? ) .………………………………………………13 分 2 (sin 2? ) 2

由 S? ?

2(1 ? sin ? )2 (2sin ? ? 1) ? ? =0 (0 ? ? ? ) ,得 ? = . 2 (sin 2? ) 2 6

列表

?
S?
S

? (0 , ) 6

? 6

? ? ( , ) 6 2

- ↘

0 极小值

+ ↗

π (1 ? sin )2 ? 6 =3 3 所以,当 ? = 时,△OPQ 的面积 S 的最小值为 (km2).………16 分 π 2 6 sin (2 ? ) 6

(2)选 用(1)中②的函数关系 S ?
S? ? 3t 2 (t 2 ? 1) ? t 3 ? 2t (t 2 ? 1)2

t3 (t ? 1) . t2 ?1

?

t 2 (t ? 3)(t ? 3) (t ? 1) ……………………………………………………………13 分 (t 2 ? 1)2

由 S? ? 列表

t 2 (t ? 3)(t ? 3) ? 0 (t ? 1) ,得 t= 3 . (t 2 ? 1)2

t
S? S

(1, 3)

3

( 3, ? ?)

- ↘

0 极小值
( 3)3
2

+ ↗
=

所以,当 t ? 3 时,△OPQ 的面积 S 的最小值为 分

3 3 (km2). …………16 2 ( 3) ? 1

19. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? a ? x ln x(a ? R) (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)试求函数 f ( x) 的零点个数,并证明你的结论。
?1 ?2 ?2 【答案】(1)函数 f ? x ? 的单调增区间为 e , ?? ,单调减区间为 0, e ;(2)当 a ? 2e 时,
?1 ?1 f ? x ? 的零点个数为 0; 当 a ? 2e 时, 或 a ? 0 时, f ? x ? 的零点个数为 1; 当 0 ? a ? 2e 时,f ? x ?

?

?

?

?

的零点个数为 2. 【考查方向】本题主要考查函数的基本性质、导数的应用等基础知识,考查综合运用数学思想方法 分析与解决问题的能力.难度较大. 【易错点】1.第一问不能正确判断导函数在指定区间的正负号; 2.第二问不能理解考察零点的个数,可以转化为最值问题来处理。 【解题思路】本题主要考查函数的基本性质、导数的应用等基础知识。解题步骤如下: 1.求出导数,考察导数在指定区间上的正负号,从而得出函数的单调性;

2.把考察零点个数问题转化为函数的最值问题来解决。 【解析】试题分析:此题属于导数的常规问题,难度较大。函数的单调性,最值,零点的个数等等, 都可利用导数加以解决。 (1)由函数 f(x)=a+ x lnx(a∈R),得 f ′(x)=
1 2 x (ln x ? 2) .

…………………………2 分

令 f ′(x)=0,得 x=e-2.列表如下: x f ′(x) f(x) (0,e-2) - ↘ e-2 0 极小值 (e-2,+∞) + ↗

因此,函数 f(x) 的单调增区间为(e-2,+∞),单调减区间为(0,e-2).……………………5 分 (2)由(1)可知,fmin(x)=f(e-2)=a-2e-1. ………………………………………………6 分

(i)当 a>2e-1 时,由 f(x)≥f(e-2)=a-2e-1>0,得函数 f(x)的零点个数为 0. …………8 分 (ii)当 a=2e-1 时,因 f(x)在(e-2,+∞)上是单调增,在(0,e-2)上单调减, 故 x∈(0,e-2)∪(e-2,+∞)时,f(x)>f(e-2)=0. 此时,函数 f(x)的零点个数为 1. ……………………………………………………10 分 (iii)当 a<2e-1 时,fmin(x)=f(e-2)=a-2e-1<0. ①a≤0 时, 因为当 x∈(0,e-2]时,f(x)=a+ x lnx<a≤0, 所以,函数 f(x)在区间(0,e-2]上无零点; 另一方面,因为 f(x)在[e-2,+∞)单调递增,且 f(e-2)=a-2e-1<0, 又 e-2a∈(e-2,+∞),且 f(e-2a)=a(1-2e-a) ? 0, 此时,函数 f(x)在(e-2,+∞)上有且只有一个零点. 所以,当 a≤0 时,函数 f(x)零点个数为 1.………………………………………1 3 分 ②0<a<2e-1 时, 因为 f(x)在[e-2,+∞)上单调递增,且 f(1)=a>0,f(e-2)=a-2e-1<0, 所以,函数 f(x)在区间(e-2,+∞)有且只有 1 个零点; 另一方面,因为 f(x)在(0,e-2]上是单调递减,且 f(e-2)=a-2e-1<0 又 e a ∈(0,e-2),且 f( e a )=a-
?4

?4

4 ae
2 a

>a-

4 =0,(当 x ? 0 时, e x ? x2 成立) 2 2 a( ) a

此时,函数 f(x)在(0,e-2)上有且只有 1 个零点. 所以,当 0<a<2e-1 时,函数 f(x)零点个数为 2. 综上所述,当 a>2e-1 时,f(x)的零点个数为 0;当 a=2e-1,或 a≤0 时,f(x)的零点个数为 1; 当 0<a<2e-1 时,f(x)的零点个数为 2. ………………………………………16 分

20. (本小题满分 16 分) 若数列 {a n } 中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称 {a n } 为 “等比源数列”。 (1)已知数列 {a n } 中, a1 ? 2, an?1 ? 2an ? 1 。 ①求数列 {a n } 的通项公式; ②试判断数列 {a n } 是否为“等比源数列”,并证明你的结论。 (2)已知数列 {a n } 为等差数列,且 a1 ? 0, an ? Z (n ? N *) .求证: {a n } 为“等比源数列”
【答案】(1)① an ? 2
n ?1

? 1 ;②略;(2)略.

【考查方向】本题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列的的通项公式与求和公式、不等式的 求解等基本性质.考查学生创新意识.难度较大. 【易错点】1.不能正确理解题目中给出的新定义“等比源数列” 2.在判断“等比源数列”中的恒等变换时易出错。 【解题思路】本题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列的的通项公式与求和公式、不等式的 求解等基本性质.解题步骤如下: 1.根据已知条件构造新数列,从而求出数列的通项 a n; 2.利用等差(比)数列的性质,和题目给出的新定义“等比源数列”进行合理的恒等变换 和推理,得出解答。 【解析】试题分析:此题是结合等差(比)数列,给出新定义的创新试题,难度较大。在解题中要 充分利用新定义的性质,合理推理,得出结论。 (1)①由an+1=2an-1,得an+1-1=2(an-1),且a1-1=1, 所以数列{an-1}是首项为1,公比为2的等比数列.……………………………………2分 所以an-1=2n-1. 所以,数列{an}的通项公式为a n=2n-1+1.………………………………………………4分 ②数列{an}不是“等比源数列”.用反证法证明如下: 假设数列{an}是“等比源数列”,则存在三项am,an,ak (m<n<k)按一定次序排列构成 等比数列.

因为an=2n-1+1,所以am<an<ak. ……………………………………………………7分 所以an2=am· ak,得 (2n-1+1)2=(2m-1+1)(2k-1+1),即22n-m-1+2n-m+1-2k-1-2k-m=1. 又m<n<k,m,n,k∈N*, 所以2n-m-1≥1,n-m+1≥1,k-1≥1,k-m≥1. 所以22n-m-1+2n-m+1-2k-1-2k-m为偶数,与22n-m-1+2n-m+1-2k-1-2k-m=1矛盾. 所以,数列{an}中不存在任何三项,按一定次序排列构成等比数列. 综上可得,数列{an}不是“等比源数列”. …………………………………………10分 (2)不妨设等差数列{an}的公差d≥0. 当d=0时,等差数列{an}为非零常数数列,数列{an}为“等比源数列”. 当d>0时,因为an∈Z,则d≥1,且d∈Z,所以数列{an}中必有一项am>0. 为了使得{an}为“等比源数列”, 只需要{an}中存在第n项,第k项(m<n<k),使得an2=amak成立, 即[am+(n-m)d]2=am[am+(k-m)d],即(n-m)[2am+(n-m)d]=am(k-m)成立.…13分 当n=am+m,k=2am+amd+m时,上式 成立.所以{an}中存在am,an,ak成等比数列. 所以,数列{an}为“等比源数列”.……………………………………………………16分

江苏省南通市 2016 届高三下学期第一次模拟考试 数学试题Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ...... 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A. 选修 41:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图,圆 O 的直径 AB ? 10 , C 为圆上一点, BC ? 6 .过 C 作圆 O 的切线 l , AD ? l 于点 D , 且交圆 O 于点 E ,求的 DE 长.

【答案】

18 5

【考查方向】本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识,考查推理论证能力.难度较小. 【易错点】在相似三角形的运用中,比例易搞错。 【解题思路】本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识。解题步骤如下: 1.由相似三角形的性质求出 AD,DC; 2.由圆中的比例线段定理,得出结果。 【解析】试题分析:本题是圆的比例线段定理的直接运用,难度不大。在解题中注意结合相似三角 形中的比例线段定理。 因为圆 O 的直径为 AB , C 为圆上一点, 所以 ?ACB ? 90?, AC ? AB2 ? BC 2 ? 102 ? 62 ? 8 . 因为直线 l 为圆 O 的切线, 所以 ?DCA ? ?CBA . 所以 Rt△ ABC ∽Rt△ ACD , 所以
AB AC BC ? ? .……………………………………5 分 AC AD DC

又因为 AB=10 , BC=6 所以 AD ?
AC ? BC 24 AC 2 32 ? ? , DC ? . AB 5 AB 5

由 DC 2 ? DE ? DA ,得

24 ( )2 DC 2 18 DE ? ? 5 ? . ………………………………………10 分 32 DA 5 5

B. 选修 42:矩阵与变换(本小题满分 10 分)

?1 0 ? ?1 已知矩阵 M ? ? ? ,求逆矩阵 M 的特征值 2 2 ? ?
【答案】 1或

1 2

【考查方向】本题主要考查矩阵乘法,矩阵相等,矩阵的逆等基础知识,考查学生的运算能力.难 度较小. 【易错点】逆矩阵和矩阵的运算往往会出错。 【解题思路】本题主要考查矩阵乘法,矩阵相等,矩阵的逆等基础知识。解题步骤如下: 1.矩阵的逆的运算; 2. 矩阵的相等运算。 【解析】试题分析:本题是矩阵与变换中的常规题型,难度不大,只要按照常规做法即可完成。 设M
?1

?1 0? ? a b ? ?1 0? ?a b ? ?1 ?? ,则 MM ? ? ?? ??? ? ?, ? 2 2 ? ?c d ? ?0 1? ?c d ?

b ? ? a 所以 ? ?? ? 2a ? 2c 2b ? 2d ?

?1 0 ? ?0 1? , ? ?

?a ? 1 , ?a ? 1 , ?b ? 0 , ?1 ?b ? 0 , ? ? ? ?1 所以 ? 解得 ?c ? ?1 , 所以 M ? ? ? ?1 2 a ? 2 c ? 0 , ? ? ? 1 ?d ? . ? ?2b ? 2d ? 1. ? ? 2

0? . ……………………………………5 分 1? ? 2?

? ?1
M 的特征多项式 f (? ) ?
?1

1 1 1 ? (? ? 1)(? ? ) ? 0 ,所以 ? ? 1 或 . 2 2 1 ?? 2
1 .……………………………………………10 分 2

0

所以,矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 的特征值为 1 或

C. 选修 44: 坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知点 A(2, ) ,圆 C 的方程为 ? ? 4 2 sin ? (圆心为点 C ), 4 求直线 AC 的极坐标方程。

?

【答案】 ? sin ? ? ?

? ?

??

? ? 2. 4?

【考查方向】本题主要考查圆的极坐标方程、极坐标方程化普通方程等知识.考查数形结合思想和 运算求解能力.难度较小. 【易错点】极坐标与直角坐标的转化不熟悉,导致结果错误。 【解题思路】本题主要考查圆的极坐标方程、极坐标方程化普通方程等知识.解题步骤如下: 1.把圆的极坐标方程化为普通方程; 2.求出直线的普通方程,进而化为极坐标方程。 【解析】试题分析:本题是极坐标方程与普通方程的互化的常规题型,难度不大,按照常规方法即 可解决。 【解法一】以极点为原点,极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy. 圆 C 的平面直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 2 y ,即 x2 ? ( y ? 2 2)2 ? 8 ,圆心 C (0 , 2 2) .
A 的直角坐标为 ( 2 , 2) .……………………………………………………………………4 分

直线 AC 的斜率 k AC ?

2 2? 2 0? 2

? ?1 .

所以,直线 AC 的直角坐标方程为 y ? ? x ? 2 2 ,……………………………………………8 分
? 极坐标方程为 ? (cos? ? sin ? ) ? 2 2 ,即 ? sin( ? ? ) ?2 .…………………………10 分 4

【解法二】在直线 AC 上任取一点 M ( ? , ? ) ,不妨设点 M 在线段 AC 上.
? 由于圆心为 C (2 2 , ) , S?OAC ? S?OAM ? S?OCM ,……………………………………………4 分 2 1 ? 1 ? 1 ? 所以 ? 2 2 ? 2sin ? ? 2 ? ? sin(? ? ) ? ? ? ? 2 2 sin( ? ? ) , 2 4 2 4 2 2

即 ? (cos? ? sin ? ) ? 2 2
? 化简,得直线 AC 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 2 . ………………………………………10 分 4

D. 选修 45:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知 a ? 0, b ? 0 ,求证: a 6 ? b 6 ? ab(a 4 ? b 4 ) 。
【答案】略 【考查方向】本题主要考查不等式证明的基本方法,考查应用综合法、分析法证明不等式,考查学

生推理论证能力.难度较小. 【易错点】 a5 ? b5 的展开式不熟悉。 【解题思路】本题主要考查不等式证明的基本方法。解题步骤如下: 1.作差; 2.分解因式确定符合。 【解析】试题分析:本题是用比较法证明不等式的常见题型,难度较小,按照常规方法即可解决。 【证明】 a6 ? b6 ? ab(a4 ? b4 )
? a5 (a ? b) ? (a ? b)b5 ………………………………………………………………………2 分 ? (a ? b)(a5 ? b5 )

…………………………………………………………………………4 分

? (a ? b)2 (a4 ? a3b ? a2b2 ? ab3 ? b4 ) ………………………………………………………8 分
b 0 ,所以 a6 ? b6 ? ab(a4 ? b4 ) ≥ 0 ,即 a6 ? b6 ≥ ab(a4 ? b4 ) . ……………10 分 又 a ≥ 0 ,≥

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SA ? 平面 ABCD ,
AB ? 1, AD ? AS ? 2 , P 是棱 SD 上一点,且 SP ?

1 PD 。 2

(1)求直线 AB 与 CP 所成角的余弦值; (2)求二面角 A ? PC ? D 的余弦值。

【答案】(1)

3 41 42 ;(2) 41 42

【考查方向】本题主要考查空间向量,空间坐标系,向量的运算,直线与直线所成的角,二面角的 求法等基础知识.难度中等. 【易错点】1.P 点的坐标不易求出; 2.求法向量时易出现错误。 【解题思路】本题主要考查空间向量,空间坐标系,向量的运算,直线与直线所成的角,二面角的 求法等基础知识.解题步骤如下: 1. 求出 P 点坐标,再用向量的夹角公式; 2.求法向量,再用向量夹角公式。 【解析】试题分析:本题是用空间向量解决立体几何题的常见题型,难度中等。建系,求点坐标是 解决此类问题的关键。 (1)如图,分别以 AB , AD , AS 为 x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0 ,, 0 0),B(1,, 0 0) ,C(1, 2, 0) ,D(0 , 2, 0) ,S (0 ,, 0 2) .
1 1 ? 2) , 设 P( x0,y0,z0 ) ,由 SP ? SD ,得 ( x0,y0,z0 ? 2) ? (0 ,2 , 3 3 2 4 2 4 ? x0 ? 0,y0 ? ,z0 ? ,点 P 坐标为 (0 , , ) . 3 3 3 3
4 4 CP ? (?1,? , ) , AB ? (1, 0, 0) ,………………2 分 3 3

z

S

设直线 AB 与 CP 所成的角为 ? ,
4 4 ?1 ? 1 ? (? ) ? 0 ? ? 0 3 41 3 3 ? 则 cos ? ? .…………4 分 41 4 4 1 ? (? ) 2 ? ( ) 2 ? 1 3 3

P

A

D
y
C

B x

(第 22 题)

(2)设平面 APC 的一个法向量为 m ? ( x1, y1, z1 ) ,
?m ? AC ? x1 ? 2 y1=0, ? 所以 ? 2 4 ?m ? AP ? y1 ? z1 ? 0. 3 3 ?
z1 ? 1 , m ? (4 , ? 2, 1) .……………………………………………6 分 令 y1 ? ?2 ,则 x1 ? 4 ,
0, 0),DS ? (0 , y2, z2 ) ,由于 DC ? (1, ? 2, 2) , 设平面 SCD 的一个法向量为 n ? ( x2,

? ?n ? DC ? x2 ? 0 1 1) . ……………………8 分 所以 ? ,令 y2 ? 1 ,则 z2 ? 1 , n ? (0 ,, ? ?n ? DS ? ?2 y2 ? 2 z2 ? 0

n ?? 设二面角 A ? PC ? D 的大小为 ? ,由于 cos ? m ,

0 ? 4 ? 1 ? (?2) ? 1 ? 1 2 ? 21

??

42 , 42

所以,由向量 m , n ?= n 的方向,得 cos? ? ? cos ? m ,

42 . 42

……………… …………10 分

23. (本小题满分 10 分) 已知函数 f 0 ( x) ? x(sin x ? cos x) ,设 f n ( x) 是 f n?1 ( x) 的导数, n ? N * . (1)求 f1 ( x), f 2 ( x) 的表达式; (2)写出 f n ( x) 的表达式,并用数学归纳法证明。
【答案】(1) f1 ? x ? ? ? x ? 1? cos x ? ? x ? 1?? ? sin x ? ,

f 2 ? x ? ? ? ? x ? 2? sin x ? ? x ? 2 ? cos x ;(2)

n? ? f n ? x ? ? ? x ? n ? sin ? x ? 2 ?

n? ? ? ? ? ? x ? n ? cos ? x ? 2 ? ?

? ? ,证明略. ?

【考查方向】本题主要考查导数,三角函数,递推方法,数学归纳法等基础知识.考查学生探究能 力和推理论证能力.难度较大. 【易错点】1.三角函数的导数公式易出错; 2.数学归纳法证明的第二步中由 n ? k 成立推到 n ? k ? 1 成立,迷惑不清,书写错误。 【解题思路】本题主要考查导数,三角函数,递推方法,数学归纳法等基础知识.解题步骤如下: 1.根据导数公式,求出导数; 2. 归纳出 f n ( x) 的表达式,再用数学归纳法加以证明。 【解析】试题分析:本题是导数,三角函数,数学归纳法的综合问题,难度较大。由 f ( x), f ( x) 推 1 2

出 f ( x) 的表达式,是解决本题的关键。 n
(1)因为 f n ( x) 为 f n ?1 ( x) 的导数, 所以 f1 ( x) ? f0? ( x) ? (sin x ? cos x) ? x(cos x ? sin x)
? ( x ? 1)cos x ? ( x ? 1)(? sin x) ,…………………………………………………2 分

同理, f 2 ( x) ? ?( x ? 2)sin x ? ( x ? 2)cos x . ………………………………………………4 分 (2)由(1)得 f3 ( x) ? f 2? ( x)= ? ( x ? 3)cos x ? ( x ? 3)sin x ,……………………………………5 分

把 f1 ( x),f 2 ( x),f3 ( x) 分别改写为
? f1 ( x )? x ( ? 1 ) sxi ? n ( ? x) ? ( 2 f 2 ( x) ? ( x ? 2)sin( x ? f3 ( x) ? ( x ? 3)sin( x ? ? x 1? ) c o,s ( 2 )

2? 2? ) ? ( x ? 2) cos( x ? ) , 2 2 3? 3? ) ? ( x ? 3) cos( x ? ) , 2 2 n? n? )? (x ? n )cos(x ? ) ( ? ). 2 2

猜测 f n ( x) ? ( x ? n) sin(x ? 分

…………………………… 7

下面用数学归纳法证明上述等式. (i)当 n ? 1 时,由(1)知,等式( ? )成立; (ii)假设当 n ? k 时,等式( ? )成立,即 f k ( x) ? ( x ? k ) sin( x ? 则当 n ? k ? 1 时,
f k ?1 ( x )? f k? x ( )
? sin( x ? k? k? k? k? ) ? ( x ? k ) cos( x ? ) ? cos( x ? ) ? ( x ? k )[? sin( x ? )] 2 2 2 2

k? k? ) ? ( x ? k ) cos( x ? ) . 2 2

? ( x ? k ? 1) cos( x ?
? [ x ? (k ? 1)]sin( x ?

k? k? ) ? [ x ? (k ? 1)][? sin( x ? )] 2 2 k ?1 k ?1 ?) ? [ x ? (k ? 1)]cos( x ? ?) 2 2

即当 n ? k ? 1 时,等式( ? )成立. 综上所述,当 n ? N? 时, f n ( x) ? ( x ? n)sin( x ?
n? n? ) ? ( x ? n) cos( x ? ) 成立.……10 分 2 2


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