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2[1].3.5离散型随机变量的方差(一)


离散型随机变量的方差 (一)

白河一中邓启超

一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望
X P
x1
x2

p1

p2

· · · · · ·

xi

pi

· · · · pn · ·

xn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ...? xi pi ? ...? xn pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平 2、数学期望的性质

E (aX ? b) ? aEX ? b
3、求期望的步骤 :

(1)列出相应的分布列

(2)利用公式

4、常见特殊分布的变量的均值(期望) (1)如果随机变量X服从二项分布(包 括两点分布),即X~ B(n,p),则

(2)如果随机变量X服从超几何分布, 即X ~H(N,M,n),则
M EX= n N

EX ? np

二、新课探究(1)A,B两种不同品牌的手表, 它们的“日走时误差”分别为X,Y(单位: S),X,Y的分布列如下:(课本p60)
手表A

日走时误差X 概率P 日走时误差Y

-0.01 1/3 -0.50 1/3

0.00 1/3 0.00 1/3

0.01 1/3 0.50 1/3

手表B

概率P

问题:(1)分别计算X,Y的均值,并进行比较; (2)这两个随机变量的分布有什么不同,如何刻画这种不同 分析:EX=EY,也就是说这两种表的平均日走时误差都是0. 因此,仅仅根据平均误差,不能判断出哪一种品牌的表更好。 进一步观察,发现A品牌表的误差只有 ? 0.01S , 而B品牌 的误差为 ? 0.05 S

结论:A品牌的表要好一些。

探究(2):甲、乙两名射手在同一条件下射击,所 得环数X1, X2分布列如下: X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4

谁的成绩更稳定好?

分析:EX 1 ? 9, EX 2 ? 9

甲和乙射击环数均值相等,甲的极差 为2,乙的极差也为2,该如何比较?

思考:怎样定量刻画随机变量的取值与其均 值的偏离程度呢? 样本方差: ? ? ? 1? 2 2 2 2? s ? ?(x1 ? x) ?(x2 ? x) ? ... ?(xn ? x) ? n? ?
? ? 1 1 1 2 2 s ?(x1 ? x) ? ?(x2 ? x) ? ? ... ?(xn ? x) ? n n n 2 2 ?

随机变量X的方差:

类似

p DX= (x1-EX) 2·1 +(x2-EX) 2·2 +…+ (xn -EX) 2·n p p
DX ? E( X ? EX ) 2 其中 是
( Xi ? EX )2 的均值(期望)

定义
离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量?的概率分布列为:

?
P

x1

x2

p1
2

p2

· · · · · ·

xi

pi

· · xn · · pn · ·

D? ? ( x1 ? E? )2 p1 ? ?? ( xi ? E? )2 pi ? ?? ( xn ? E? )2 pn 则称 n

? ? ? ( xi ? E? ) pi 为随机变量?的方差. 称?? ? D
i ?1

为随机变量?的标准差.

它们都是反映离散型随机变量偏离于均 值的平均程度的量,它们的值越小,则随 机变量偏离于均值的平均程度越小,即越

集中于均值.
记忆方法: “三个?”

? (? ? ?? )2 ? ? D? 即E ? ?

练习一下

思考:离散型随机变量的期望、方 差与样本的期望、方差的区别和联 系是什么?

样本
均 公 式 值 意 义 方 差 或 标 准 差
1 x = ? xi n i= 1
n

离散型随机变量
EX =

?x
i 1 =

n

i

pi

随着不同样本值 的变化而变化

是一个常数
DX ? ? (x i ? EX )2 ?p i
i ?1 n

? 公 2 1 n s ? ?(x i ? x )2 式 n i ?1

意 随着不同样本值的 义 变化而变化,刻画
样本数据集中于样 本平均值程度

是一个常数,反映随 变量取值偏离均值的 平均程度,DX越小, 偏离程度越小.

三、例题分析

例1、掷一颗质地均匀的骰子,求向上 一面的点数X的均值、方差。

例2:甲、乙两名射手在同一条件下进行射击,分布列如 下:谁的成绩更稳定好? 5 6 7 8 9 10 击中环数X 射手甲 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 概率P 射手乙 5 6 7 8 9 击中环数Y 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 概率P 比较两名射手的射击水平 EY=8 EX=8 DX= DY=

(i ? 8) 2 P( X ? i) ? 1.50 ? (i ? 8) 2 P(Y ? i) ? 0.82 ?
i ?5 i ?5 9

10

DX>DY 由上知 EX= EY, 乙的射击成绩稳定性较好

EX ? 8, EY ? 8

DX ? 1.50, DY ? 0.82

变式1:如果其他对手的射击成绩都在9环 左右,应派哪一名选手参赛? 变式2:如果其他对手的射击成绩都在7环 左右,应派哪一名选手参赛?

例3、随机变量

? 的分布列为
0 b 1 c

?
P

-1 a

1 其中,a,b,c成等差数列,若 E? ? , 3 则 D? 的值为 。

5 9

四、基础训练
1、已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1

求EX ,DX。 解:EX ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2

DX ? (0 ? 2)2 ? 0.1 ? (1 ? 2)2 ? 0.2 ? ( 2 ? 2)2 ? 0.4 ? ( 3 ? 2) ? 0.2 ? (4 ? 2) ? 0.1 ? 1.2
2 2

2:甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数X1, X2分布列如下: X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

解:EX 1 ? 9, EX 2 ? 9

DX1 ? 0.4, DX2 ? 0.8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别,在多次射击中 平均得分差别不会很大,但甲通常发挥比较稳定,多 数得分在9环,而乙得分比较分散,近似平均分布在8 -10环。

X1 P

8 0.2

9 0.6

10 0.2

X2 P

8 0.4

9 0.2

10 0.4

EX 1 ? 9, EX 2 ? 9

DX1 ? 0.4, DX2 ? 0.8

问题1:如果你是教练,你会派谁参加比赛呢? 问题2:如果其他对手的射击成绩都在8环左右, 应派哪一名选手参赛? 问题3:如果其他对手的射击成绩都在9环左右, 应派哪一名选手参赛?

3:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获 得如下信息:
甲单位不同职位月工 资X1/元 获得相应职位的概 率P1 乙单位不同职位月工 资X2/元 获得相应职位的概 率P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 1800 0.2 0.1

1800 2200 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

解:EX 1 ? 1400 EX 2 ? 1400 ,

DX1 ? 40000, DX 2 ? 160000

在两个单位工资的数学期望相等的情况 下,如果认为自己能力很强,应选择工 资方差大的单位,即乙单位;如果认为 自己能力不强,就应选择工资方差小的 单位,即甲单位。

五、课堂小结
一般地,若离散型随机变量X的概率分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

期望

EX = x1p1 + x 2 p2 + ??? + x n pn 方差
DX= E( X ? EX ) 2 =(x1-EX) 2·1 +(x2-EX) p
2· p 2

p +…+ (xn -EX) 2·n

谢谢光临,敬请指导!
六、作业设计 1.已知某一随机变量ξ的概 ξ 4 a 9 率分布列如下,且Eξ=6.3, P 0.5 0.1 b (1)计算a,b的值;(2)求Eξ,D ξ。 2编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生 坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是ξ. (1)求随机变量ξ的概率分布; (2)求随机变量ξ的数学期望和方差.

补充练习:

1 1、 已 知 ? 3? ? , 且D? ? 13, 则D? ? 117 ? 8

2、已知 ~B(n, p),EX ? 8, DX ? 1.6, X 则n ?10 p ? , 0.8
3、有一批数量很大的商品,其中次品占 1%,现从中任意地连续取出200件商品, 设其次品数为X,求EX和DX。 2,1.98

补充练习:

4、 (aX ? EX ? DX ) 等于( ) D
2

A 无法求 C a DX
2

B

0
2

D 2aDX ? (EX )

5、已知随机变量X的分布列为:
X P 1 0.1 2 3 0.4 4 0.2 5 0.1

0.2

另一随机变量Y=2X-3,求EY,Dy

1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式

D(aX ? b) ? a 2 DX
若X服从两点分布,则 ? p(1 ? p) DX

若X ~ B(n, p),则DX ? np(1 ? p)

4.(08全国二18) 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交 纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出 险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年 度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是 否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少 104 支付赔偿金10 000元的概率为1-0.999 . (Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外 的成本为50 000元,为保证盈利的期望不小于0, 求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元)

练习 1.根据统计,一年中一个家庭万元以上 的财产被盗的概率为0.05,保险公司开 办一年期万元以上家庭财产保险,参加者 需交保险费100元,若在一年以内,万 元以上财产被盗,保险公司赔偿a元 (a>100),问a如何确定,可使保险 公司期望获利?

练习1、若X是离散型随机变量,则E(XEX)的值是 。 A.EX B.2EX C.0 D.(EX)
2

2、已知X的概率分布为
X P -1 1/2 0 1/3 1 1/6

且Y= aX+3,EY=7/3, 则a=

.

4、随机变量X~B(100,0.2),那么 D(4X+3)= .
5、设X是一个离散型随机变量 ,其概 率分布为

X
P

-1
1/2

0
1-2q

1
q
2

求: (1) q的值;(2)EX,DX。

在一次购物抽奖活动中,假设某10张券 中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品; 有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖 品;其余6张没有奖。某顾客从此10张券 中任抽2张,求: (1) 该顾客中奖的概率; (2) 该顾客获得的奖品总价值? (元)的概 率分布列和期望E?、方差。

5: 安徽.20)(本小题13分) (07 在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一 个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了2只苍蝇(此时笼 内有8只蝇子:只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一 6 个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞 ? ? 出,再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.⑴写 ? ? ? ? ? 出ξ的分布列; (不要求写计算过程)⑵求数学期望Eξ; ⑶求概率P(ξ ? Eξ)

析:审清题意是解决该题的关键. 1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把8 只蝇子看作8个元素有序排列.

●●☆●●●☆●,由于ξ=0“表示☆ ●●●●●☆●”,最后一只必为 果蝇,所以有ξ=1“表示 ● ☆ ●●●☆●●”
P (ξ=0 )=

AA 7 ? 8 28 A8
AAA 6 ? 28 A
1 2 1 6 8 8 6 6

1 2

7 7



同理有P (ξ=1 )=

ξ=2“表示 ● ● ☆ ●●☆●●”有P (ξ=2)=
2 1 A6 A2 A5 5 5 ? A8 28 8

ξ=3“表示 ● ● ● ☆ ●☆●●”有P (ξ=3)=
1 4 A3 A2 A4 4 6 ? A8 28 8

ξ=4“表示 ● ● ●●☆● ☆ ●”有P (ξ=4)=
3 28

ξ=5“表示 ● ● ●●● ☆ ☆ ●”有P (ξ=5)=

2 28 1 ξ=6“表示 ● ● ●●●● ☆ ☆”有P (ξ=6)= 28

? 的分布列

?

0
7 28

1
6 28

2
5 28

3
4 28

4
3 28

5
2 28

6
1 28

p

7 6 5 4 3 2 1 ⑵E ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? 28 28 28 28 28 28 28 ?2
⑶p(? ? E? ) ? p(? ? 2) ? p(? ? 2) ? p(? ? 3) ? p(? ? 4) ? p(? ? 5) ? p(? ? 6) 15 ? 28

3、每人交保险费1000元,出险概率为 3%,若保险公司的赔偿金为a(a> 1000)元,为使保险公司收益的期望值 不低于a的百分之七,则保险公司应将最 大赔偿金定为多少元?
?
P 1000 0.97 1000-a 0.03

E ? = 1000-0.03a≥0.07a 得a≤10000

故最大定为10000元。


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