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经典立体几何练习题(值得你收藏


经典立体几何练习题(值得你收藏)
1. a, b, c 是空间三条直线, , ? 是空间两个平面, 设 则下列命题中, 逆命题不正确的是 ( ? A.当 c ? ? 时,若 c ? ? ,则 ? // ? B.当 b ? ? 时,若 b ? ? ,则 ? ? ? C.当 b ? ? , a ? ? 且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b ? c ,则 a ? b D.当 b ? ? 且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b // c 2.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 ( ) A. )

?4 ? ? ?
3

3

B. ?4 ? ? ? 3

C.

?8 ? ? ?
2

3

D.

?8 ? ? ?
6

3

3.已知 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,给出下列命题真命题是 A.若 m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β ,则 m⊥n C. 若 m⊥α ,n//β ,α ⊥β ,则 m⊥n B. 若 m//α ,n//β ,α //β ,则 m//n D. 若 m//α ,n⊥β ,α ⊥β ,则 m//n

4.已知 a,b 为两条不同直线, ? , ? 为两个不同平面,且 a ? ? , b ? ? ,则下列命题中不 . 正确的是 .. A. 若a // b, 则? // ? C. 若a, b相交, 则?,? 相交

B. 若? ? ? , 则a ? b D. 若?,? 相交,则a, b相交

5.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,这个几何体的体积是 ( ) A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm3

D. 4000cm3

10 20 10 20 正视图 20 侧视图 20 俯视图

6. 如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 AB 与直线 B1C1 的距离 相等,则动点 P 所在曲线的形状为( )

D A P D1 A1
A B O P A1 B1

C B C1 B1
A P A1 B1 A1 B A P B O P B1 A1 B1 A B O

A B C D 7.已知多面体 ABC-DEFG,AB,AC,AD 两两垂直,面 ABC//面 DEFG,面 BEF//面 ADGC,AB =AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 8.已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等, E 是 SB 的中点,则 AE,SD 所 成的角的余弦值为( ) A.

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

9.如图,在空间四边形 ABCD 中,点 E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 BC、CD 上的点,且

CF CG 2 = = ,则( CB CD 3



A.EF 与 GH 互相平行 B.EF 与 GH 异面 C.EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上,也可能不在直线 AC 上 D.EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 10.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( A.

)

1 ? 2? 2?

B.

1 ? 4? 4?

C.

1 ? 2?

?

D.

1 ? 4? 2?

11.将下面的平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体 后,直线 MN 与 PQ 是异面直线的是( )

M N M P

N P N Q M M P Q

Q P

Q

N

① ② ③ ④ A.①② B.②④ C.①④ D.①③ 12. l,m,n 为三条不同的直线, 、 为两个不同的平面, 设 α β 下列命题中正确的个数是( ) ① 若 l⊥α ,m∥β ,α ⊥β 则 l⊥m ② 若 m ? ?,n ? ?,l ? m,l ? n, l⊥α 则 ③ 若 l∥m,m∥n,l⊥α ,则 n⊥α ④ 若 l∥m,m⊥α ,n⊥β ,α ∥β ,则 l∥n A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13.已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,A1B⊥CB1,则 A1B 与 AC1 所成的角为( ) 0 0 0 0 A.45 B.60 C.90 D.120 14.如图,ABC—A1B1C1 是正方体,E、F 分别是 AD、DD1 的中点,则面 EFC1B 和面 BCC1B1 所成 二面角的正切值等于( )

A、 2 2 B、 C、 D、

3 5 7
6 .则三棱锥 D-ABC 的体积为( 2
D. )

15. 将边长为 1 的正方形 ABCD, 沿对角线 AC 折起, BD= 使

A.

2 12

B.

6 24

C.

6 12

2 24

16.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中与 AD1 成 60 角的面对角线的条数是( ) A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.10 条 17.若 ? , ? , ? 是三个互不重合的平面, l 是一条直线,则下列命题中正确的是( A.若 ? ? ? , l ? ? , 则l / /? B.若 l ? ? , l / / ? , 则? ? ? C.若 l与? , ? 的所成角相等,则 ? / / ? D.若 l 上有两个点到α 的距离相等,则 l / /? 18.正方体的棱长为 a ,由它的互不相邻的四个顶点连线所构成的四面体的体积是( A.
a 6
3

0





B.

a 4

3

C.

a 3

3

D.

a 2

3

19. 已知二面角 ?—AB—? 是直二面角,P 为棱 AB 上一点,PQ、PR 分别在平面 ? 、 ? 内, 且 ?QPB ? ?RPB ? 45? ,则 ?QPR 为( A.45? B.60? ) D.150?

C.120?

20.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 是棱 A1 B1 的中点,则 BE 与平面 A1 ACC1 所成角的 正弦值为 A.

5 5

B.

10 10

C.

5 10

D.

10 5

21.P 正三角形 ABC 所在平面外一点,PA=PB=PC= 3 ,且 PA,PB,PC 两两垂直,则 P 到面 ABC 的距离为( A. 3 ) B .

3 3

C .1

D. 2 3 )

22.不同的直线 a, b, c 及不同的平面α ,β ,γ ,下列命题正确的是( A.若 a ? α ,b ? α ,c⊥a, c⊥b 则 c⊥α B.若 b ? α , a//b 则 a//α C.若 a⊥α , b⊥α 则 a//b D.若 a//α ,α ∩β =b 则 a//b

23.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )

A.

3 5

B.

5 3

C.

2 5 5 D. 5 5

24.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的 中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( A. 30? B. 45? C. 60? ) D. 90?

25.如图,在正方体 ABCD ? A? B?C? D? 中, E 为 A?C? 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所 成的角为( )

A、30°

B、45°

C、60°

D、90 °
3

26.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为 12 3cm ,其三视图中的俯视图如图 所示,则其侧(左)视图的面积是( )

A. 4 3cm

3

B. 2 3cm

2

C. 8cm 2

D. 4cm2

27.在空间,异面直线 a , b 所成的角为 ? ,且 sin ? ?

1 , 则 cos ? =( 2

)

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

3 3 或? 2 2

D. ?

1 2

28.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A, B, C, D 四点为顶点的三棱锥体积最大时, 直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( A.90
o

) D.45
o

B.30

o

C.60

o

29.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,棱长为 2 ,点 A1 到截面 AB1 D1 的距离为(

)

A.

8 3

B.

2 3 3

C.

3 8

D.

3 2

30.如右图所示,正三棱锥 V ? ABC 中, D, E , F 分别是 VC ,VA, AC 的中点, P 为 VB 上 任意一点,则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是( V )

E F A P B

D

C

A. 900 C. 300

B. 600 D.随 P 点的变化而变化。

31.下列说法不正确的是( ) .... A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; B.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内; D.存在两条异面直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a∥? , b∥? ,使得 ? // ? ;

1 1 AB ? BC ? BD 2 2 32.如图,空间四边形 ABCD 中,M、G 分别是 BC、CD 的中点,则 等于

A. AD B. GA C. AG D. MG 33.如图所示的直观图,其原来平面图形的面积是

A 2 O 2
A.4 B.4 2 C.2 2 D.8 34.正方体的内切球的体积为 36? , 则此正方体的表面积是 A. 216 B.72 C. 108 D. 648 35.下列几何体中是旋转体的是 ①圆柱;②六棱锥;③正方体;④球体;⑤四面体. A. ①和⑤ B. ① C. ③和④ D. ①和④ 36.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 A1 B1 的中点,则 A1 B 与 D1 E 所成角的余弦值 为( A. ) B.
45?

B

5 10

10 10

C.

5 5

D.

10 5

37.已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面是正三角形)的高与底面边长均为 1 , 其直观图和正(主)视图如图 1,则它的左(侧)视图的面积是( )

A. 3

B. 1

C.

1 2

D.

3 2


38.设 l , m, n 为三条不同的直线, ? 为一个平面,下列命题中不正确的是( A.若 l ? ? ,则 l 与 ? 相交 B.若 m ? ?,n ? ?,l ? m,l ? n, l ? ? 则 C.若 l // m , m // n , l ? ? ,则 n ? ? D.若 l // m , m ? ? , n ? ? ,则 l // n

39.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 体的俯视图可以是( )

1 。则该几何 2

40.若直线 l 不平行于平面 ? ,且 l ? ? ,则( ) A. ? 内的所有直线与 l 异面 B. ? 内不存在与 l 平行的直线 C. ? 内存在唯一的直线与 l 平行 D. ? 内的直线与 l 都相交 41.矩形 ABCD 中,AB= 4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则四面 体 ABCD 的外接球的体积为( ) A.

125 ? 6

B.

125 ? 12

C.

125 ? 9

D.

125 ? 3

42. 若正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长为 1,AB1 与底面 ABCD 成 60°角, A1C1 则 到底面 ABCD 的距离为 ( )

A.

3 3

B.1

C. 2

D. 3

43.正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各棱长都是 2,E,F 分别是 AB, A1C1 的中点,则 EF 的长是 ( (A)2 ) (B) 3 (C)

5

(D) 7

44.在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为 1∶3,则 锥体被截面所分成的两部分的体积之比为( ) A.1∶ 3 B. 1∶9 C. 1∶ 3 3 D. 1∶ (3 3 ? 1)

45.给出下列正方体的侧面展开图,其中 A 、 、 、 分别是正方体的棱的中点,那么,在 B C D 原正方体中, AB 与 CD 所在直线为异面直线的是 D
?

C

? ?

D ? D
?

D ? C C
?

B A A B C
?

B A C A

B A D

B

46.设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面, l , m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ;②若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ;③

l ? 若 ? // ? , ? ? , l // ? ; ④若 ? ? ? ? l ,? ? ? ? m , ? ? ? n , // ? , m // n . 则 则 其 l
中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 47.下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点中不 . 共面的一个图是 ..

参考答案 1.B 【解析】 试题分析:分别写出其逆命题再判断,A、由面面平行的性质定理判断.B、也可能平行 C、 由三垂线定理判断.D、由线面平行的判定定理判断. A、其逆命题是:当 c⊥α 时,或 α ∥β ,则 c⊥β ,由面面平行的性质定理知正确. B、其逆命题是:当 b?α ,若 α ⊥β ,则 b⊥β ,也可能平行,相交.不正确. C、其逆命题是当 b?α ,且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 a⊥b,则 b⊥c,由三垂线定理知 正确. D、其逆命题是当 b?α ,且 c?α 时,若 b∥c,则 c∥α ,由线面平行的判定定理知正确. 故选 B 考点:本题主要考查线面平行的判定理,三垂线定理及其逆定理,面面平行的性质定理等, 做这样的题目要多观察几何体效果会更好. 点评: 解决该试题的关键是熟练运用线面平行的判定定理和性质定理, 和线面垂直的判定定 理和性质定理的运用。 2.D 【解析】 试题分析:由已知中的三视图,我们可以判断出该几何体的形状,及关键数据,代入棱锥体 积公式,即可求出答案.由于该几何体有一个半圆锥和一个四棱维组合而成, 其中半圆锥的底面半径为 1,四棱锥的底面是一个边长为 2 为正方形,他们的高均为 3 , 则 v=

1 1 (8+?) ? ? +4) 3= ( 3 , 答案选 D 3 2 8

考点:本题主要考查知识点是由三视图求体积。 点评: 解决该试题的关键是其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状。 结合棱锥的体积 公式求解运算得到结论。 3.A 【解析】 试题分析:B 项 m, n 可能是平行,相交,异面;C,D 项 m, n 可能垂直还可能平行 考点:线面平行垂直的判定性质 点评:此题可联系正方体中的线面关系来判定 4.D 【解析】 试题分析:视 a,b 为正方体中的线,α ,β 为正方体中的面,观察正方体解决. 对于 A,根据面面平行的判定定理可知其正确; 对于 B,根据线面垂直的性质定理可知“a⊥b”,故正确; 对于 C,根据反证法思想可知该命题正确; 对于 D,若 α ,β 相交,则 a,b 可能相交,也可能异面,故 D 为假命题. 故选 D. 考点:本题考查空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 点评:本小题主要考查空间中线、面的各种位置关系,解题时要灵活运用立体几何中各位置 关系的判定定理和性质定理,并借助空间想象寻找反例,判断命题的真假,这种类型的问题 在高考选择题中非常普遍.选项 A、B 易证是真命题,选项 C 可用反证法证之.

5.B 【解析】 试题分析:如图,几何体是四棱锥,一个侧面 PBC⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是正方形,且边长 为 20,那么利用体积公式可知 V ?

1 8000 3 ? 20 ? 20 ? 20 ? cm ,故选 B. 3 3

考点:本题主要考查三视图、椎体的体积,考查简单几何体的三视图的运用.培养同学们的 空间想象能力和基本的运算能力. 点评:解决该试题的关键是由三视图可知,几何体是四棱锥,一个侧面垂直底面,底面是正 方形,根据数据计算其体积. 6.C 【解析】 试题分析:依题意可知 P 到点 B 的距离等于到直线 A1B1 的距离, 根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹是以 B 为焦点,以 A1B1 为准线的过 A 的抛物线的一部 分. A 的图象为直线的图象,排除 A. B 项中 B 不是抛物线的焦点,排除 B. D 项不过 A 点,D 排除. 故选 C. 考点:本题主要考查了抛物线的定义和考生观察分析的能力,数形结合的思想的运用,考查 计算能力,转化思想.是一道基础题。 点评:解决该试题的关键是根据题意可知 P 到点 B 的距离等于到直线 A1B1 的距离,利用抛物 线的定义推断出 P 的轨迹是以 B 为焦点, A1B1 为准线的过 A 的抛物线的一部分. 以 看图象中, A 的形状不符合;B 的 B 点不符合;D 的 A 点符合.从而得出正确选项 7.B 【解析】 试题分析:取 DG 中点 M,连接 CM,AM,FM,则这个多面体的体积可以表示为棱柱 BEF-ADM 与三棱锥 C-FMG 以及四棱锥 C-ABFM 的和由于多面体 ABC-DEFG 中(如图) ,

AB、 AD 两两互相垂直, AC、 平面 ABC∥平面 DEFG, 平面 BEF∥平面 ADGC, AB=AD=DG=2, AC=EF=1 故棱柱 BEF-ADM 可看作是底面是直角三角形的三棱锥,其高 2,底面是两直角边分别是 1,2 的三角形其体积是 2×

1 ×2×1=2, 三棱锥 C-FMG 以 CM 为高, 其长为 2, 底面是 MF=2, MG=1 2 1 1 2 ×2× ×2×1= ,由图形知,C 到 AM 的距离就是四 3 2 3

为直角边的直角三角形,其体积为

棱锥 C-ABFM 的高,由于 AM= 5 ,由等面积法可求得 C 到 AM 的距离是

2 5 ,底面四边形是 5

以 AM= 5 与 AB=2 为边长的矩形,故其体积为

1 2 5 4 × ×2× 5 = , 5 3 3

这个多面体的体积为

4 2 + +2=4,,故选 B. 3 3

考点:本题主要考查了组合几何体的面积、体积问题。 点评: 解答本题关键是根据几何体的形状对几何体进行分割, 变成几个规则的几何体的体积 的和,如本题转化为求棱柱,两个棱锥的体积的和.分割法是求不规则几何体的体积与面积 时常用的方法.其特点是把不规则几何体的体积用几个规则的几何体的体积表示出来. 8.C 【解析】 试题分析:建立如图所示坐标系,

令正四棱锥的棱长为 2,则 A(1,-1,0) ,D(-1,-1,0) ,S(0,0, 2 ),E(

1 1 2 ), , , 2 2 2

则 AE ? (?

?

? ? 1 3 2 ? 3 , , ), BD ? (?1, ?1, ? 2), ,因此可知 cos ? AE, BD ?? ,故选 C. 2 2 2 3

考点:本题主要考查了多面体的结构特征和空间角的求法,同时,还考查了转化思想和运算 能力,属中档题. 点评:解决该试题的关键是由于是正方体,又是求角问题,所以易选用向量量,所以建立如 图所示坐标系, 先求得相关点的坐标, 进而求得相关向量的坐标, 最后用向量夹角公式求解. 9.D 【解析】 试题分析:因为由

CF CG 2 = = 可知在三角形 CBD 中,FG//BD,同理由于点 E、H 分别是 CB CD 3

边 AB、AD 的中点,那么说明 FH//BD,但是平行不相等,因此是梯形,故 E、F、G、H 四点 共面,同时设 EH,FG 延长且交与点 P,那么利用 AC 是平面 ABC,与平面 ADC 的交线,由于点 P 在 EH 上,点 P 在 FG 上,那么故可知由公理 3 可知点 P 在交线 AC 上,故选 D. 考点:本题主要考查了四点是否共面的问题的运用。 点评:解决该试题的关键是利用相似比得到平行,同时利用平行的传递性得到,线线平行, 确定出共面。

10.A 【解析】 试题分析: 设圆柱底面积半径为 r, 则高为 2π r, 那么根据圆柱体的侧面积就是矩形的面积, 2 2 2 全面积加上两个底面的面积得到,故有全面积:侧面积=[(2π r) +2π r ]: (2π r) =

2? ? 1 ,故选 A. 2?

考点:本题主要考查了圆柱的侧面积、表面积,考查计算能力,是基础题. 点评:解决该试题的关键是设圆柱底面积半径为 r,求出圆柱的高,然后求圆柱的全面积与 侧面积的比. 11.C 【解析】 试题分析:第一个图中,直线 MN 与 PQ 是相邻侧面的两条不相交,不平行的直线,故是 异面直线。第二个图中,由于折叠后可知,MN 与 PQ 是相交直线,故不是异面直线。第三个 图中,由于利用平行的传递性,折叠前后平行性不变,第四个图中,根据异面直线的判定定 理可知成立。故选 C. 考点:本题主要考查了异面直线的概念的运用。 点评:解决该试题的关键是通过折叠图前后的关系,还原为几何体,然后分析两直线是否是 不是共面直线的问题。 12.B 【解析】 试题分析: 对于 A,若 l⊥α ,m∥β ,α ⊥β ,则 l⊥m 或 l∥m.故不正确; 对于 B,根据线面垂直的判定定理可知少条件“m 与 n 相交”,故不正确; 对于 C,根据线面垂直的性质定理可知该命题正确; 对于 D,利用垂直于同一个平面的直线是平行直线,那么可知 m//n,再结合平行的传递性可 知结论成立。故正确,因此选 B. 考点: 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系, 以及空间中直线与平面之间的位置关系, 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题. 点评: 解决该试题的关键是熟练运用空间的线面平行和垂直的判定定理和性质定理, 来判定 命题的正确性。 13.C. 【解析】 试题分析:分别取 AB,A1B1 的中点 M,N,连接 B1M,AN,CM,C1N,因为此三棱柱为正三棱柱, 所以 CM ? AB, CM ? 平面A1 ABB1 , 又因为 A1B⊥CB1,根据三垂线定理可知 A1 B ? B1M , 因为四边形 AMB1 N 为平行四边形,所以 AN//B1M,所以再由三垂线定理的逆定理可知

A1 B ? AC1 ,所以 A1B 与 AC1 所成的角为 900.
考点:三垂线定理及逆定理. 点评:解本小题关键是在平面 A1ABB1 内作出 B1C,AC1 的射影,然后再利用三垂线定理或逆定 理进行证明即可.

14.A. 【解析】 试题分析:取 BC 的中点 M,连接 EM,过 M 作 MN ? BC1 ,垂足为 N,连接 EN,因为

EM ? 平面B1BCC1 , 所 以 由 三 垂 线 定 理 可 知 E N ? B C , 所 以 ?ENM 就 是 二 面 角 1

E ? BC ? C 的 平 面 角 , 设 正 方 体 的 棱 长 为 1
EM ? 1 MN ? , 2 ?, 4 ?ENM ? t a n EM ? MN
.

1, 在 ?ENM 中 ,

2

2

考点:线面垂直的判定,三垂线定理找二面角的平面角. 点评:解本小题的关键是做出二面角的平面角,除定义外,一般要考虑使用三垂线定理或逆 定理来做出二面角的平面角,本小题在确定 EM ? 平面B1BCC1 的基础上,过过 M 作 MN ? BC1 ,垂足为 N,连接 EN, ?ENM 就是二面角 E ? BC1 ? C 的平面角,然后解三角形 求角即可. 15.B. 【解析】 试题分析:取 AC 的中点 M,连接 DM,BM,则 DM ? AC, BM ? AC ,

所以 AC ? 平面 PMB,又因为 DM ? BM ?

2 6 1 6 2 3 , , DB ? , S?DMB ? ? ? ? 2 2 2 2 4 8

所以 VD ? ABC ? VA? DMB ? VC ? DMB ?

1 1 3 6 . S?DMB ? AC ? ? ? 2? 3 3 8 24

考点:线面垂直的判定,三棱锥的体积公式. 点评:本小题属于平面图形的翻折问题,要注意翻折前后哪此量发生了变化,哪些量没发生 变化,没变化的量一般要在平面图形中求解. 16.C 【解析】 试题分析:因为在正方体中 ?AB1 D1 是正三角形,所以除 B1 D1和AB1 ,A1C1 和 A1B 四条外与

B1 D1和AB1 ,A1C1 和 A1B 平行的面对角线也都与 AD1 所成的角为 600,因而共有 8 条.
考点:正方体的性质,异面直线所成的角. 0 点评: 知道在正方体中由面对角线围成的三角形是等边三角形, 从而确定每个内角都是 60 , 0 据此可知只要与此对角线平行的面对角线那么与另两条边所成的角都是 60 ,因而可找出四 对. 17.B. 【解析】 试题分析:因为 l // ? ,过 l 作一个平面与 ? 相交,设交线为 m,则 l//m,因为 l ? ? ,

所以 m ? ? ,又因为 m ? ? ,所以 ? ? ? . 考点:直线与平面的位置关系,平面与平面的位置关系. 点评:掌握线线,线面,面面垂直的判定与性质是解决此类小题的关键,在研究此类小题时 要注意直线在平面内的情况,否则会造成判断错误. 18.B. 【解析】 试 题 分 析 : 此 几 何 体 是 棱 长 为

2a 的 正 四 面 体 , 所 以 其 体 积 为

1 3 6 a3 2 V? ? ? ( 2a ) ? ? 2a ? 3 4 3 3
考点:正方体的性质,正四面体的性质及体积. 点评:所求四面体的各条棱是正方体的面对角线,所以其棱长为 2a ,正四面体的高等于棱

长的

6 倍,记住这些结论有利用快速解题. 3

19.B 【解析】 试题分析: 根据 cos ?QPR ? cos ?QPB cos ?RPB ? cos 45? cos 45? ?

1 .??QPR ? 60? . 2

考点:二面角. 点评: 平面内的一条直线与这个平面的斜线所成的角的余弦值等于这条直线与这条斜线在这 个平面内的射影所成的角的余弦值乘以斜线与平面所成的角的余弦. 20.B 【解析】 试题分析: 因为正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 是棱 A1 B1 的中点,则过点 E 作 B1D1 的垂 线段交点为 F, 连接 BF,则可知 BE 与平面 A1 ACC1 所成角 ?FBE ,那么在三角形 ?FBE , 设 棱长为 1,那么? FE ?

2 5 , ? BE ,那么在直角三角形中,利用三角函数值可知 BE 4 2 10 ,选 B. 10

与平面 A1 ACC1 所成角的正弦值为

考点:本题主要考查了空间中线面角的求解运算。 点评: 解决该试题的关键是利用正方体的性质, 得到线面所成的角, 一般分为三步骤, 作图, 求证,再解答,从而得到。 21.C 【解析】 试题分析: 先根据题意, 由于 P 正三角形 ABC 所在平面外一点,PA=PB=PC= 3 , PA,PB,PC 且

两两垂直,故可知点 P 在底面的射影为底面的垂心,即为底面的重心,那么利用正三角形的 性质可知,底面的边长为 6 ,则底面的高线长为

3 3 2 ,利用勾股定理可知 P ? 6? 2 2

到面 ABC 的距离为 1,选 C. 考点:本题主要考查了空间中点到面的距离的求解问题。 点评:解决该试题的关键是画出图形,过 P 作底面 ABC 的垂线,垂足为 O,连接 CO 并延长 交 AB 于 E,说明 PO 为所求 22.C 【解析】 试题分析: A、若 a? α ,b? α ,c⊥a,c⊥b,若在平面 α 内直线 a 平行直线 b,则 c 不 一定垂直 α ,故 A 错误; B、已知 b? α ,a∥b,则 a∥α 或 a? α ,故 B 错误; 选项 C 若 a⊥α , b⊥α 则 a//b,那么根据垂直于同一个平面的两直线平行得到成立。 选项 D 中,若 a//α ,α ∩β =b 则 a//b,只有 b 在平面β 内时成立故错误。选 C. 考点:本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系,是一道基础题,比较简单; 点评:解决该试题的关键是熟悉空间中直线与平面垂直的判定定理和线线平行的判定定理, 对四个选项进行一一判断。 23.D 【解析】 试题分析: CA ? CC1 ? 2CB ? 2a , A(2a ,0, ( ,0 ) 设 则 ,0 ) 0B ,

a

,C1 (0, 2a, 0), B1 (0, 2a, a) ,

???? ???? ? ???? ? ???? ???? ???? ? BC1 ? AB1 3a 2 5 ? BC1 ? (0, 2a, ? a), AB1 ? (?2a, 2a, a ), cos ? BC1 , AB1 ?? ???? ???? ? ? .所 2 5 | BC1 || AB1 | 3 5a
以直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为

5 . 5

考点:空间向量求异面直线所成的角. 点评: 利用空间向量求异面直线所成的角关键是恰当地建立直角坐标系, 本小题以 C 为顶点, 以 CA,CC1,CB 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,然后求出向量 BC1 和 AB1 的坐标,再 利用

???? ?

????

???? ???? ? BC1 ? AB1 ? cos ? ? ???? ???? 求出 ? ,要注意 ? 若为钝角,则其补角为异面直线所成的角.否则就是 | BC1 | ? | AB1 |
异面直线所成的角. 24.C 【解析】 试题分析:取 BC 的中点 E ,由线面垂直的判定定理得 AE ? 面 BCC1 B1 ,所以 AD 与平面

BB1C1C 所成的角是 ?ADE , 设棱长为 2 a, 则 AE ? 3a, DE ? a, tan ?ADE ?
所以 ?ADE ? 60? .

AE ? 3. AD

考点:棱柱的性质,直线与平面所成的角. 点评:找线面角关键是找出斜线在平面内的射影,并且角的范围为 (0 ,90 ] . 25.D 【解析】 试题分析:因为底面 ABCD 为正方形,所以 BD ? AC ,又因为 BD ? CC1 , 所以 BD ? 平面A1 ACC1 , CE ? 平面A1 ACC1 , 所以 CD ? CE , 所以异面直线 CE 与 BD 所成 的角为 90 . 考点:正方体的性质,异面直线所成的角. 点评:本小题实质是证明直线 CE 与 BD 垂直,所以可以利用线面垂直的性质定理只需证明
?
? ?

BD ? 平面A1 ACC1 即可.
26.A 【解析】 试题分析: 设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 a , 则

3 2 a ? 6 ? a ?1 3 2 4

, 解得 a ? 2, 根

据俯视图可知侧视图为长和宽分别为 2 和 2 3 的矩形,所以面积为 2 ? 2 3 ? 4 3. 考点: 本小题主要考查的空间几何体的三视图和棱柱的体积的计算, 考查学生的空间想象能 力. 点评: 空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影, 同一几何体摆放 的角度不同,其三视图可能不同,这一点不可忽略. 27.A 【解析】 试题分析:因为

?

是 异 面 直 线 a , b 所 成 的 角 , 所 以 ? ? ? 0,

? ?

??

? ,所以 2?

c o? ? s

? 1

2 s ?n? i

3 2

.

考点:本小题主要考查异面直线所成角的范围和同角三角函数关系的应用. 点评:应用 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 时,一定要注意 ? 的取值范围,注意是一个解还是两个解. 28.D 【解析】 试题分析:当平面 ABC 垂直于平面 ACD 时,以 A, B, C, D 四点为顶点的三棱锥体积最大, 此 时 找 AC 的 重 点 E , 连 接 BE , DE , 易 证 BE ? AC, 所 以 BE ? 平 面 ACD , 所 以 ,所以 ?BED 为直线 BD 和平面 ABC 所成的角,所以 ?BED ? 45?. BE ? BD

考点:本小题主要考查直线与平面所成角的求法,考查学生的空间想象能力. 点评:求直线与平面所成的角,关键是先作出角,再证明作出的角是要求的线面角,最后才 是求角的大小. 29.B 【解析】 试题分析:易知 ?AB1 D1 为边长 2 2 的正三角形,面积为 2 3 , 而 VA? A1B1D1 ?

1 1 4 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? , 根 据 等 体 积 法 可 知 点 A1 到 截 面 AB1D1 的 距 离 为 3 2 3

4 3 1 ?2 3 3

?

2 3. 3

考点:本小题主要考查点到平面的距离的求法,考查学生的运算求解能力. 点评:其点到平面的距离时, “等体积法”是常用的一种方法. 30.A 【解析】 试题分析: 连接 VF , BF , 因为三棱锥 V ? ABC 为正三棱锥,D, E , F 分别是 VC ,VA, AC 的 中 点 , 所 以 AC ? BF , AC ? VF , 因 为 B F I V F? F 所 以 AC ? 平 面 VBF , 因 为 ,

AC // DE ,所以 DE ? 平面 VBF ,因为 PF ? 平面 VBF ,所以 DE ? PF ,所以直线 DE 与 PF 所成的角的大小是 90?.
考点:本小题主要考查线性平行、线面垂直、线线垂直的判定及应用,考查学生的空间想象 能力和推理论证能力. 点评: 线线、 线面、 面面之间的平行和垂直是高考的重点内容, 要仔细分析,灵活转化应用. 31.B 【解析】 试题分析:以课本的轴和每页书为例可知,过一条直线可以有无数个平面与已知平面垂直. 考点:本小题主要考查空间中线线、线面的位置关系,考查学生的空间想象能力和逻辑推理 能力. 点评: 空间中的线面关系常以选择题的形式考查, 解决这类问题时要注意用手中的笔当直线, 本子就是平面,更要注意特殊情况. 32.C. 【解析】

1 1 AB ? BC ? BD 1 2 2 试题分析: = AB ? (BC ? BD) ? AB ? BG ? AG .

2

考点:本题考查向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

1 1 AB ? BC ? BD 2 2 点评:将 应用平行四边形法则转化为 AB ? BG 是解答本题的关键,
实际上是灵活应用平行四边形法则。 33.A

【解析】 试题分析:由图形知,其平面图形为一个直角三角形,两个直角边的长度分别为 2,4,故 其面积为

1 ? 2? 4 ? 4 。 2

考点:本题考查平面图形的直观图。 点评:本题考查平面图形的直观图,求解本题的关键是熟练掌握斜二测画法的规则,与 x 轴平行的线段长度不变,与 y 平行的线段其长度变为原来的一半,故还原时,与 y 轴平行的 线段的长度需要变为直观图中的二倍. 34.A 【解析】 试题分析:设正方体的棱长为 a,则正方体内切球的半径为
3 a 4 a ,所以 ? ? ( ) ? 36? ,即 3 2 2

a=6,所以正方体的表面积是 216. 考点:本题考查空间几何体的体积、表面积公式。 点评:本题考查的知识点是正方体的体积,球的体积,其中根据正方体的内切球直径等于正 方体的棱长,求出球的半径,是解答本题的关键。 35.D 【解析】 试题分析:②六棱锥、③正方体、⑤四面体是多面体。 考点:本题考查空间几何体的结构特征。 点评:要了解多面体、旋转体的几何特征。 36.B. 【解析】 试题分析: 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 连接 D1C , 则∠ED1C 即为异面直线 A1 B 与 D1 E 所 成 角 。 设 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 边 长 为 1 , 则 在 △ ED1C 中 ,

D1C ? 2 , D1 E ?

3 10 5 ,EC= ,所以由余弦定理,得:cos∠ED1C= 。 2 10 2
? ?? ? 2?

考点:本题考查异面直线所成的角和余弦定理。 点评:两异面直线所成角的范围为 ? 0, ? ,当求得某个角的余弦值为负时,则这个角的补 角才是异面直所成的角。 37.D 【解析】试题分析:其左视图也为矩形,此矩形的长为 1,宽为底在正三形的高, 所以其面积为 1?

3 3 . ? 2 2

考点:空间几何体的三视图. 点评:空间几何体的侧视图是从左向右的正投影,因而可得本小题的侧视图是一

个矩形,长为此几何体的高,宽为底面正三角形的高. 38.B 【解析】 试题分析: 因为 A.若 l ? ? ,则利用线面垂直的定义可知,则 l 与 ? 相交 成立。 B.若 m ? ?,n ? ?,l ? m,l ? n, l ? ? ,只有 m,n 相交时成立,选项 B 错误。 则 C.若 l // m , m // n , l ? ? , 因为利用平行的传递性可知, l//n,则根据平行线中一条垂 直于这个平面,则另一条也垂直于该平面,故 n ? ? 成立。 D.若 l // m , m ? ? , n ? ? ,则根据线面垂直的性质定理可知,m//n, l / / m ,根据平 行的传递性得到结论,故 l // n 成立。故选 B. 考点:本题主要考查了立体几何中线面的位置关系的判定和运用。 点评:解决该试题的关键是熟练的掌握空间中点、线、面的位置关系的运用。尤其是垂直的 判定定理和平行判定定理的问题,要注意严密性。 39.C 【解析】 试题分析: 选项 A 中,说明原几何体是正方体,则体积为 1,与题意不符,选项 B 中,应 该是圆柱体,体积为 ? ,不符合题意,选项 D 中, 表示的为四分之一个圆柱体,不符合题意, 而选项 C 中,底面为等腰直角三角形,底面积为

1 1 ,则体积为 ,成立,选 C. 2 2

考点:本题主要考查了三视图来还原几何体,进而求解其俯视图。 点评:解决该试题的关键是由三视图还原为几何体,底面是正方形几何体,可以分析有可能 是棱柱,也可能是棱锥,那么关键是看体积的值,确定是哪一个。 40.B 【解析】 试题分析:因为直线 l 不平行于平面 ? ,且 l ? ? ,所以直线 l 与平面 ? 相交,所以直线 l 与 ? 内的任意一条直线都不平行,如若不然,如果 ? 内有直线与 l 平行,且 l ? ? ,所以 l 与 平面 ? 平行,与题设矛盾. 考点:本小题主要考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判断,考查学生的逻辑 推理能力和空间想象能力. 点评:点线面的位置关系的判定和应用是立体几何的理论基础,要熟练掌握点、线、面位置 关系的判定定理和性质定理并灵活运用. 41.A 【解析】 试题分析: 因为球心到球面各点的距离相等, 即可知道外接球的半径, 就可以求出其体积了. 由题意知,球心到四个顶点的距离相等,所以球心在对角线 AC 上,且其半径为 AC 长度的一 半,则 V 球=

4 5 125? ,故选 A. ?? ( )2 ? 3 2 6

考点:本试题主要考查了学生的思维意识,对球的结构和性质的运用,是基础题 点评: 解决该试题的关键是理解对折后的图形中球心的位置, 同时要利用直二面角得到各边 长,分析一个三角形的外接圆的圆心是突破口,进而得到。 42.D 【解析】 试题分析:因为 AB1 ? 底面ABCD ,所以 ?B1 AB 就是 AB1 与底面 ABCD 所成的角,所以

?B1 AB ? 60? ,所以 BB1 ? AB tan 60? ? 3 ,因为 A1C1 //平面 ABCD,所以 BB1 就是 A1C1 到
底面 ABCD 的距离,所以所求距离的值为 3 . 考点:正四棱柱的性质,直线与平面所成的角,直线与平面之间的距离. 点评:找出 B1 AB ? 60? 是 AB1 与底面 ABCD 所成的角,从而得到 BB1 , 再根据 A1C1 //平面 ABCD,从而知道 BB1 就是 A1C1 到底面 ABCD 的距离. 43.C 【解析】 试题分析:取 A1B1 的中点 M,连接 EM,MF,则 EM 垂直底面 A1B1C1,所以在 Rt ?EMF 中,

EM ? 2, FM ? 1, EF ? 5.
考点:正三棱柱的性质. 点评:利用正三棱柱底面是正三角形,侧棱与底面垂直,可解 EF 所在的直角三角形 EMF 求 值即可. 44.D 【解析】 试题分析:设小锥体的高为 h1,大锥体的高为 h2,利用一个锥体被平行于底面的截面所截得 的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方,

V上 h3 = 13 V上 +V下 h 2

S上 1 h12 h 1 = ? 2 可得 而这个截面面积与底面面积之比等于相似比的平方,即 = 1 ,进而 S下 3 h 2 3 3 h2
得到体积的比,为 D. 考点:本题主要考查了几何体的体积比与相似比的关系,常用此法简化解题过程,同学注意 掌握应用. 点评:解决该试题的关键是几何体中,体积比是相似比的立方,面积比是相似比的平方,直 接求解即可得到结论。 45.C 【解析】 试题分析:A:把正方体的侧面展开图还原为正方体为:

因为 A、B、C、D 分别是正方体的棱的中点,

所以 AB∥CD. 所以 A 错误. B:把正方体的侧面展开图还原为正方体为:

因为 A、B、C、D 分别是正方体的棱的中点,并且结合正方体的结构特征, 所以可得 AB∥CD. 所以 B 错误. C:把正方体的侧面展开图还原为正方体为:

因为 A、B、C、D 分别是正方体的棱的中点, 所以分别延长线段 AB、线段 DC 交于点 F, 所以 AB 与 CD 不是异面直线, 所以 C 正确. 故选 C. 考点:本题主要考查了空间中的直线与直线的位置关系,即平行、相交、异面的判定. 点评:解决该试题的关键对于侧面展开图的还原,确定出正方体中 AB 与 CD 是否为异面直 线的位置问题的运用。 46.B 【解析】 试题分析:命题 1 中,垂直于同一个平面的两个平面可能平行也可能相交。命题 2 中,只有 m,n 相交时,则能推出面面平行。命题 3 中,根据面面平行的性质定理,其中一个平面的任 何一条直线都平行于另一个平面。命题 4 中,三个平面两两相交,且交线平行,可知成立。 选 B. 考点:本题主要考查了立体几何中点、线、面的位置关系的运用。 点评: 解决该试题的关键是熟练的运用面面平行的判定定理和性质定理和线面平行的性质定 理和判定定理的综合运用问题。 47.D

【解析】 试题分析:选项 A 中,由于 PQ,SR 都是中位线,那么延长之后可以相交,故是共面。选项 B 中,QR,PS 的延长线,符合中位线的性质,延长后相交于一点,故是共面的四点。而选项 C 中,PS,QR,都平行与同一条直线,那么可知共面,排除法选 D. 考点:本题主要考查了空间中线面的位置关系的共面问题的运用。 点评:解决该试题的关键是连接直线,运用中位线的性质,以及平行四边形的性质,判定四 点是否为共面,然后确定是否为异面直线,进而得到结论。


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