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湖南省长郡中学2015届高三第五次月考数学理试题


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长郡中学 2015 届高三第五次月考

数学(理)试题
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是 符合题目要求的. 1.复数

2i 所对应的点位于复平面内 2?i
C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 2.已知离散型随机变量 X 的分布列为

则 X 的数学期望 E(X)= A.

3 2

B.2

C.

5 2
2

D.3

3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -3x,则函数 g(x)=f(x)-x+3 的 零点的集合为 A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2 ? 7 ,1,3} D.{-2 ? 7 ,1,3}

4.在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n) ,则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2) +f(0,3)= A.45 B.60 C.120 D.210 5.已知命题 p:x ? A ? B,则非 p 是 A.x 不属于 A ? B B.x 不属于 A 或 x 不属于 B C.x 不属于 A 且 x 不属于 B D.x ? A ? B 6.若执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 3,则判断框中应填人的条件是 A. k ? 6 ? B. k ? 7 ? C. k ? 8 ? D. k ? 9 ? 7.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其 侧视图的面积为 A. C.

3 4
3 4

B. D.1

3 2

·1 ·

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8.已知函数 f(x)=ex,g(x)=ln 为 A.2

x 1 ? 的图象分别与直线 y =m 交于 A,B 两点,则|AB|的最小值 2 2
C.e2+

B.2+1n 2

1 2

D.2e-ln

3 2

9.设函数 f(x)= 3 sin(2 x ? ? )+cos(2 x ? ? ) ? | ? |? 则

? ? ?

,且其图象关于直线 x=0 对称, 2 ? ?

?? ?

? )上为增函数 2 ? ? B.y=f(x)的最小正周期为 ,且在(0, )上为增函数 2 4 ? C.y=f(x)的最小正周期为 ? ,且在(0, )上为减函数 2 ? ? D.y=f(x)的最小正周期为 ,且在(0, )上为减函数 2 4
A.y=f(x)的最小正周期为 ? ,且在(0, 10.对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a ? 0) ,给出定义:设 f ? (x)是函数 y=f(x)的导数, f ?? (x)是 f ? (x)的导数,若方程 f ?? (x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x) 的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中 心,且“拐点”就是对称中心,设函数 g(x)=

1 3? 1 2 5 ? 1 ? ? 2 ? x 2 x +3x ? ,则 g ? ? +g ? ? +? 3 12 ? 2015? ? 2015?

+g ?

? 2014? ?? ? 2015?

A.2 013 B.2 014 C.2 015 D.2 016 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应 题号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 11,12 ,13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 11.如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,CD⊥AB,垂足为 D, 且 AD=5DB,设∠COD= ? ,则 tan ? 的值为 . 12. 已知在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 3 cos? ? y ? 1 ? 3 sin ?



( ? 为参数) ,Ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos?? ? 直线 l 所得的弦长为
·2 ·

? ?

??

? ? 0 ,则圆 C 截 6?

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。 13.不等式 x ?

1 ?| a ? 2 | ? sin y 对一切非零实数 x,y 均成立,则实数 a 的取值范围为 x



(二)必做题(14~16 题)

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 14.已知点 A 是不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 所表示的平面区域内的一个动点,点 B(-1,1) ,O 为坐 ?x ? 1 ?
标原点,则 OA · OB 的取值范围是 15.如图,已知过椭圆 。

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A(-a,0)作直线 l a2 b2

交 y 轴于点 P,交椭圆于点 Q,若△AOP 是等腰三角形,且 PQ =2 QA , 则椭圆的离心率为 。

16. 等边△ABC 的边长为 2, 取各边的三等分点并连线, 可以将△ABC 分成如图所示的 9 个全等的小正三角形,记这 9 个小正三角形的 重心分别为 G1,G2,G3, ?, G9, 则 ( | AG1 ? BG1 ) + ( AG2 ? BG2 ) +?+( AG9 ? BG9 )|= 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人,现采用分 层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核. (1)求从甲、乙两组各抽取的人数; (2)记 ? 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ? 的分布列及数学期望.

18. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 3 acos C=csin A. (1)求角 C 的大小;

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(2)若 a=3,△ABC 的面积为

3 3 ,求 CA · AB 的值. 2

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,AB= PA=1,AD= 3 ,F 是 PB 中点,E 为 BC 上一点. (1)求证:AF⊥平面 PBC; (2)当 BE 为何值时,二面角 C-PE-D 为 45o.

20. (本小题满分 13 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2 ? ?

?2 ? . ? 1? an(n≥1) ?n ?

(1)求证:数列 ?

? an ? ? 是等比数列; ?n?
1 1 1 1 2 + + +?+ .试比较 An 与 的大小. T1 T2 T3 Tn nan

(2)设数列{ 2nan}的前 n 项和为 Tn,An=

21. (本小题满分 13 分) 如图,O 为坐标原点,点 F 为抛物线 C1:x2=2py(p ? 0)的焦点,且抛物线 C1 上点 P 处的切线 与圆 C2:x2+ y2=1 相切于点 Q. (1)当直线 PQ 的方程为 x-y ?

2 =0 时,求抛物线 Cl 的方程;
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(2)当正数 p 变化时,记 S1,S2 分别为△FPQ,△FOQ 的面积,求

S1 的最小值. S2

22. (本小题满分 13 分) 2 已知函数 f(x)=21nx-x -ax. (1)当 a≥3 时,讨论函数 f(x)在 ? ,?? ? 上的单调性; (2)如果 x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,且 x1 ? x2 ? 4 x1 , f ?( x) 是函数 f(x)的导函数,用 x1,x2 表示 a 并证明: f ??

?1 ?2

? ?

? 2 x1 ? x2 ? ??0 3 ? ?

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