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2014-2015学年高二数学寒假作业(九)


高二数学寒假作业(九)
一、选择题,每小题只有一项是正确的。 1.已知命题 P: “对任意 x ?[1,2], x 2 ? a ? 0 ”.命题 q: “存在 x ? R, x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ”. 若“ p ? q ”是真命题,则实数 a 取值范围是( A. a ? ?2 B. a ? ?2 或 a ? 1 ) D. a ? 1

r />C. a ? ?1 或 1 ? a ? 2

2.观察下列各式: a ? b ? 1, a2 ? b2 ? 3, a3 ? b3 ? 4, a4 ? b4 ? 7, a5 ? b5 ? 11,? 则a ?b ?(
10 10

) B.76 C.28 D.199

A.123

3.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an ?1 ?

an 1 (n ? N *) ,若 bn?1 ? (n ? ? )( ? 1)(n ? N *) , an ? 2 an
) D. ? ? 3 )

b1 ? ?? ,且数列 {bn } 的单调递增数列,则实数 ? 的取值范围为(
A. ? ? 2 B. ? ? 3 C. ? ? 2

4.数列 3 ,3, 15 , 21 , 3 3 ,?,则 9 是这个数列的第( A.12 项 B.13 项 C.14 项 D.15 项

5.若数列{an}对于任意的正整数 n 满足:an>0 且 anan+1=n+1,则称数列{an}为“积增数 列”.已知“积增数列”{an}中,a1=1,数列{an+an+1}的前 n 项和为 Sn,则对于任意的正整 数 n,有( A.Sn≤2n +3
2 2 2

) B.Sn≥n +4n
2

C.Sn≤n +4n

2

D.Sn≥n +3n ( )

2

6.已知等比数列 ?a n ? 中, S 2 ? 7 , S 4 ? 28 ,则 S 6 ? A.49
2

B.35

C.91

D.112 )

7.抛物线 y ? 4 x 上一点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短,则该点的坐标是 ( A. (

1 ,1) 2

B. ( 0 , 0 )

C. ( 1 , 2 )

D. ( 1 , 4 ) )

8.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是 ( A. y 2 ? ?8 x B. y 2 ? 8 x C. y 2 ? ?4 x

D. y 2 ? 4 x

9.设平面 ? 的一个法向量为 若 ? / / ? ,则 k= A.2 B. 4

?? n1 ? ?1, 2, ?2?
( )

?? ? n2 ? ? ?2, ?4, k ? ? ,平面 的一个法向量为 ,

C.-2

D.-4
-1-

二、填空题 10.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线的 2 a b

一个交点为 P ,若 PF ? 5 ,则双曲线方程为 11.若向量 a ? (4,2,?4),b ? (6,?3,2) ,则 (2a ? 3b ) ? (a ? 2b ) ? __________________。 12.已知 a ? (3? ,6, ? ? 6) , b ? (? ? 1,3,2? ) 为两平行平面的法向量,则 ? ? 13.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y 2 ? x 2 ? 1的离心率为 三、计算题 14.已知椭圆 C : x 2 ? 2 y 2 ? 4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y ? 2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB, 求线段 AB 长度的 最小值. 15.已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) ,右顶 点为 D(2, 0) ,设点 A(1, ) . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值. 16.如图,在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD , AB ? AD , ▲ .
? ?

?

?

?

?

?

?



1 2

AB ? 4, AD ? 2 2, CD ? 2 , PA ? 平面 ABCD , PA ? 4 .
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)点 Q 为线段 PB 的中点,求直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值.

-2-

-3-

高二数学寒假作业(九)参考答案 一、选择题 1~5 BADCD 6~9CABB 二、填空题

10. 三、计算题 14.

, 11 .118 ,12. (1+x)e

x

, k1 ? k3 ? k2 ;

1 ,13. 2

2

15.(Ⅰ)由已知得椭圆的半长轴 a ? 2 ,半焦距 c ? 3 ,则半短轴 b ? 1 . 又椭圆的焦点在 x 轴上,∴椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 .??? 4 分 4

(Ⅱ)当直线 BC 垂直于 x 轴时, BC ? 2 ,因此 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1. 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,该直线方程为 y ? kx ,代入

x2 ? y2 ? 1, 4

解得 B(

2 4k 2 ? 1

,

2k 4k 2 ? 1

) ,C(-

2 4k 2 ? 1

,-

2k 4k 2 ? 1

) ,

-4-

则 BC ? 4

1? k

2

k?
,又点 A 到直线 BC 的距离 d ?

1 2

1 ? 4k 2

1? k 2



∴△ABC 的面积 S?ABC ?

2k ? 1 1 . BC ? d ? 2 1 ? 4k 2

于是 S?ABC ? 由

4k 2 ? 4k ? 1 4k . ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1

1 4k 4 ? ? ?1 ,得 S?ABC ? 2 ,其中当 k ? ? 时,等号成立. 2 2 4k ? 1 4k ? 1 k
??? 10 分

∴ S?ABC 的最大值是 2 .

16.(法一) (Ⅰ)证明:以 A 为原点,建立空间直角坐标系,如图,

B?4,00?, D 0,2 2,0 , P?0,0,4?, A?0,0,0?, C 2,2 2,0 , Q?2,0,2?
则 BD ? ? 4,2 2,0 , AP ? ?0,0,4?, AC ? 2,2 2,0 , QC ? 0,2 2,?2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? BD ? AP ? 0, BD ? AC ? ?4 ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0
? BD ? AP, BD ? AC, 又 AP ? AC ? A ,? BD ? 平面 PAC
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面 PAC 的一个法向量为 BD ? ? 4,2 2 ,0 ,

?

?

sin ? ?
设直线 QC 与平面 PAC 所成的角为 ? ,则

QC ? BD QC ? BD

?

8 12 24

?

2 3


2 所以直线 QC 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 3 .
(法二) (Ⅰ)证明:设 AC∩BD=O,∵CD∥AB,∴OB:OD=OA:OC=AB:CD=2

1 2 6 Rt△DAB 中,DA= 2 2 ,AB=4,∴DB= 2 6 ,∴DO= 3 DB= 3 2 4 3 同理,OA= 3 CA= 3 ,∴DO2+OA2=AD2,即∠AOD=90o,∴BD⊥AC
又 PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BD 由 AC∩PA=A,∴BD⊥平面 PAC (Ⅱ)解:连 PO,取 PO 中点 H,连 QH,则 QH∥BO,由(Ⅰ)知,QH⊥平面 PAC ∴∠QCH 是直线 QC 与平面 PAC 所成的角.

-5-

1 2 6 由(Ⅰ)知,QH= 2 BO= 3 ,

1 1 4 3 取 OA 中点 E,则 HE= 2 PA=2,又 EC= 2 OA+OC= 3

28 Rt△HEC 中,HC2=HE2+EC2= 3
QH 2 ? 3 ∴Rt△QHC 中,QC= 2 3 ,∴sin∠QCH= QC

2 ∴直线 QC 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 3 .

-6-


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