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2014年高二数学(文)考试题(4)


2014 年高二数学(文)考试题(4)
一、选择题(以下题目从 4 项答案中选出一项,每小题 5 分,共 50 分) 1、设全集 U ? R , A ? ?x ? N | 1 ? x ? 10?,

B ? x ? R | x 2 ? x ? 6 ? 0 ,则下图中阴影表示的集合为
A.{1} B.{1,2} C.{-3,2} ) C. 1 ? 2i
? ?

?

?

D.{-2,3} D. 1 ? 2i ) .

2、设复数 z 满足 iz ? 2 ? i ,则 z ? ( A. ?1 ? 2i B. ?1 ? 2i
? ?

3、已知向量 c ? (2 x ? 1, 4) , d ? (2 ? x ,3) ,若 c // d ,则实数 x 的值等于( A. ?

1 2

B.

1 2

C.

1 6

D. ?

1 6


4、设 p : m ? 0 , q :关于 x 的方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实数根,则 ? p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5、 已知函数 y ? sin(x ? ? ) cos(x ? ? ) , 则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( 6 6 A. 2? , x ?

)

?
6 3 4

B. 2? , x ?

?
12

C. ? , x ?

?
6

D. ? , x ?

?
12


6、椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为( A、

3 2

B、

C、

2 2

D、

1 2

7.在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a11 ? 3, a3 ? a13 ? 4, 则

a15 ?( a5
1 3



A .3
8、 圆心在曲线 y ?
2

B.

1 3

C .3 或

D . ?3 或 ?

1 3

2 ( x ? 0) 上, 且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切的面积最小的圆的方程为 ( ) x
2

A、 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 C、 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

B、 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

D、 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 25
2 2 2

9、已知函数 y ? f (x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? x ,则

y ? f (x) 与 y ? log 5 x 的图象的交点个数为(
A.3 B.4 C.5
1

) D.6

10、 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 2b , f ( x) ? 0 的两根为 x1 , x 2 , x1 ? (0,1) ,x2 ? (1,2) , 设 且 则

b?2 的取值范围是( a ?1
A.(1,4) B.(-1,



1 ) 4

C.(-4,1)

D.(

1 ,1) 4
频率 组距 0.04 0.03

二、填空题(每小题 6 分,共 36 分) 11、 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示, 时速在 [50, 60) 的汽车大约有 辆



1 12. 某算法的程序框如图 1 所示,若输出结果为 ,则输入的实数 x 2
的值是________.

0.02 0.01 40 50 60 70 80 时速

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”“:=”) 13、已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 9n ,则其通项 an ? 若它的第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? 14、已知 a, b, c 都是正数,且 a ? 2b ? c ? 1, 则 ;

开始 输入 x

x ? 1?
1 1 1 ? ? 的最小值 a b c




是 . 15、通过圆与球的类比,由“半径为 R 的圆的内接矩形中,以正方形的面积 为最大,最大值为 2R2 . ”猜想关于球的相应命题为“半径为 R 的球内接六面 体中以 的体积为最大,最大值为 ” 16、将正整数排成下表: 1 2 5 3 6 4 7 12 8 13 9 14 15 16 行.

y ? x ?1
输出 y

y ? log 2 x

结束

图1

10 11 ??

则数表中的 300 应出现在第

三、解答题(共 5 小题 ,共 64 分) 17(本题满分 12 分)已知锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且

a ? 2b sin A.

(1)求 B 的大小; (2)若 a ? c ? 8 ,三角形 ABC 的面积为 1 ,求 b 的值。
2 2

2

18. (本小题满分 12 分) 一个四棱锥的直观 图和三视图如图所示:
P
1
M

B A C D

2

(1) 求证: DA ⊥ PD ; (2) 若 M 为 PB 的中点 , 证明: 直线 CM ∥ 平面 PDA ; (3) 若 PB ? 1 ,求三棱锥 A-PDC 的体积. ...

1

l

19. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? ?1, ?2 ? , b ? ? x, y ? . (1)若 x , y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4, 5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a ? b ? ?1 的概率; (2)若 x, y ? ?1, 6 ? ,求满足 a ? b ? 0 的概率.

3

20. (本题满分 14 分)已知直角坐标平面内点 A( x, y ) 到点 F1 (?1,0) 与点 F2 (1,0) 的距离之 和为 4 (Ⅰ)试求点 A 的轨迹 M 的方程; (Ⅱ)若斜率为

1 3 的直线 l 与轨迹 M 交于 C 、 D 两点,点 P(1, ) 为轨迹 M 上一点,记直线 2 2

PC 的斜率为 k1 ,直线 PD 的斜率为 k 2 ,试问: k1 ? k2 是否为定值?请证明你的结论.

21. (本小题满分 14 分)已知 a ?R ,函数 f ? x ? ? x

2

? x ? a? .

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 内是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上的最小值 h ? a ? ; (3)对(2)中的 h ? a ? ,若关于 a 的方程 h ? a ? ? m ? a ? 数 m 的取值范围.

? ?

2? 3?

? ?

1? ? 有两个不相等的实数解,求实 2?

4

参考答案
一.选择题答案栏(50 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A

A

B
12. 2

A

D

A

C

A

B

D

二、填空题(36 分) 11. 60辆 15.正方体, 13. 16. 18

a n ? 2n ? 10, n ? N *

k ? 8 14. 6 ? 4 2

8 3 3 R 9 三、解答题(共 64 分)

16 解: (1)由 a ? 2b sin A, 根据正弦定理得 sin A ? 2sin B ? sin A, 又 sin A ? 0 所以 sin B ?

2分

1 , 2

3分

由 ?ABC 为锐角三角形得 B ?

?

6

. 5分
6分

(2)由 ?ABC 的面积为 1 得 ac sin B ? 1 又 sin B ?

1 2

1 2
2 2

? ac ? 4

8分
2

由余弦定理得 a ? c ? 2ac cos B ? b 又 cos B ?

9分 11 分? b ?

3 2

b2 ? 8 ? 4 3 ? ( 6 ? 2)2

6 ? 2 12 分

17、解:由三视图可知: PB ? 底面ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形,, BC ? CD ? 1 ,

AB ? 2

面 (1)∵ PB ? 底面ABCD , DA ? 平 ABCD
∴ PB ⊥ DA , 在梯形 ABCD 中, PB ? BC ? CD ? 1 , AB ? 2 ∴ BD ?

2 ,又可得 DA ? 2 , AB ? 2 ,

∴ DA ⊥ BD , 面 又∵ PB ? BD ? B , BD , PB ? 平 PBD

面 ∴ DA ⊥平面 PBD , PD ? 平 PBD
∴ DA ⊥ PD (2) 取 PA 中点 N ,连结 MN , DN ,可证 MN ∥ CD 且 MN = CD , ∴ CM ∥ DN , CM ? 平面 PDA , DN ? 平面 PDA ∴ CM ∥平面 PDA
5

?5 分

??9 分

(3) ∵

PB ? 底面ABCD ,

∴ VA? PCD ? VP ?CDA ?

1 1 1 ? ?1?1 ? 3 2 6

?12 分

18、解: (1)设 ? x, y ? 表示一个基本事件,则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)(1, , 2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2) , , , , , , ,??, (6,5)(6,6) , ,共 36 个.??2 分 用 A 表示事件“ a ? b ? ?1 ” ,即 x ? 2 y ? ?1 .???????????????3 分 则 A 包含的基本事件有(1,1)(3,2)(5,3) , , ,共 3 个.????????5 分 ∴ P ? A? ?

3 1 ? . 36 12 1 .?????????????????6 分 12

答:事件“ a ? b ? ?1 ”的概率为

(2)用 B 表示事件“ a ? b ? 0 ” ,即 x ? 2 y ? 0 .?????????????7 分 试验的全部结果所构成的区域为 构成事件 B 的区域为

?? x, y ? 1 ? x ? 6,1 ? y ? 6? ,?8 分
y x=1 O x=6 O

?? x, y ? 1 ? x ? 6,1 ? y ? 6, x ?2 y ?0 ? ,

如图所示.?????????????????10 分

y=6 O x-2y=0 O y=1

1 ? 4? 2 4 2 所以所求的概率为 P ? B ? ? . ? 5? 5 25 4 答:事件“ a ? b ? 0 ”的概率为 .?????12 分 25
O 19、解: (Ⅰ) 由题知

x O

AF1 ? AF2 ? 4 , F1 F2 ? 2
O

y P

则 AF1 ? AF2 ? F1 F2 ???2 分 由椭圆的定义知点 A 轨迹 M 是椭圆????3 分 其中 a ? 2, c ? 1.因为

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,?5 分
O

l?
D

x

所以,轨迹 M 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

?6 分

C

( Ⅱ ) 设 直 线 l 的 方 程 为 : y?

1 x?b , 2

C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 )

6

联立直线 l ? 的方程与椭圆方程得:

1 ? ? y ? 2 x ? b ?? (1) ? ? 2 2 ? x ? y ? 1?? (2) ?4 3 ?
(1)代入(2)得: 3x 2 ? 4( x ? b) 2 ? 12 化简得: x 2 ? bx ? b 2 ? 3 ? 0 ???(3) ?????8 分

1 2

当 ? ? 0 时,即, b 2 ? 4(b 2 ? 3) ? 0 也即, b ? 2 时,直线 l ? 与椭圆有两交点,

由韦达定理得: ?

? x1 ? x 2 ? ?b
2 ? x1 ? x 2 ? b ? 3



??????10 分

3 1 3 3 1 3 x1 ? b ? y2 ? x2 ? b ? 2 ? 2 2, k ? 2 ? 2 2 所以, k1 ? 2 x1 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 1 3 1 3 x1 ? b ? x2 ? b ? 2 ?2 2 ? x1 ? x 2 ? (b ? 2)( x1 ? x 2 ) ? 3 ? 2b 则 k1 ? k 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
? b 2 ? 3 ? (b ? 2)( ?b) ? 3 ? 2b ?0 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
?????13 分

所以, k1 ? k 2 为定值。

?????14 分

20、解: (1)∵ f ? x ? ? x ? ax ,∴ f ' ? x ? ? 3x ? 2ax .????????1 分
3 2 2

∵函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 内是减函数,∴ f ' ? x ? ? 3x ? 2ax ? 0 在 ? 0, ? 上恒成立. 2 分
2

? ?

2? 3?

? ?

2? 3?

即a?

3x ? 2 ? 在 ? 0, ? 上恒成立,???????????????????3 分 2 ? 3?

?

3x 3 2 ? ? ? 1 ,∴ a ? 1 . 2 2 3

故实数 a 的取值范围为 ?1, ?? ? .????????????????????4 分 (2)∵ f ' ? x ? ? 3x ? x ?

? ?

2 2 ? a ? ,令 f ' ? x ? ? 0 得 x ? 0或 a .??????5 分 3 3 ?

①若 a ? 0 ,则当 1 ? x ? 2 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数,
7

所以 h ? a ? ? f ?1? ? 1 ? a .????????????????????????6 分 ②若 0 ? a ?

3 2 ,即 0 ? a ? 1 ,则当 1 ? x ? 2 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上 2 3

是增函数, 所以 h ? a ? ? f ?1? ? 1 ? a . ??????????????????????? 7分 ③若

3 2 2 2 ? a ? 3 , 即 1 ? a ? 2 , 则 当 1 ? x ? a 时 , f '? x? ? 0 ; 当 a ? x ? 2 时 , 2 3 3 3

f '? x? ? 0 .
所以 f ? x ? 在区间 ?1, a ? 上是减函数,在区间 ? a, 2 ? 上是增函数. ? 3 ? ?3 ? 所以 h ? a ? ? f ? ④若 a ? 3 ,即 数. 所以 h ? a ? ? f ? 2 ? ? 8 ? 4a .????????????????????????9 分

? 2 ?

?2

?

4 ?2 ? a ? ? ? a 3 .??????????????????????8 分 27 ?3 ?

2 a ? 2 ,则当 1 ? x ? 2 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上是减函 3

? ? 1 ? a, ? ? 4 3 a , 综上所述,函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 的最小值 h ? a ? ? ? ? 27 ? ? 8 ? 4a, ? ?
(3)由题意 h ? a ? ? m ? a ?

3 a? , 2 3 ? a ? 3, ?10 分 2 a ? 3. y

? ?

1? ? 有两个不相等的实数解, 2? ? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?
O O a

1? ? 即(2)中函数 h ? a ? 的图像与直线 y ? m ? a ? ? 有两个 2? ?
不同的交点.??????????????????????11 分 而直线 y ? m ? a ?

? ?

1? ? 1 ? ? 恒过定点 ? ? , 0 ? , 2? ? 2 ?

k ? ?1 k ? ?4

由右图知实数 m 的取值范围是 ? ?4, ?1? .??????????14 分

8


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