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2016年哈师大附中三模数学文答案



2016 三校联考第三次模拟考试 文科数学参考答案
一. 选择题: 1 D 2 B 3 D 4 A 5 A 14. 2 15. 6 C 7 B 8 A 16. (2)(3) 9 C 10 C 11 D 12 B

二. 填空题: 2 13. 存在 x∈R,x +x+1≥0 三.解答题

4?

2 17. 解: (Ⅰ)设 ?an ? 公差为 d ,由已知得 S3 ? 3a2 ? a5 ,
2

…………2分

? 3? 2 ? 则?3? d ? ? 3 ?1 ? d ??1 ? 4d ? ,整理得 d 2 ? d ? 2 ? 0 , 2 ? ?
∵ d ? 0 ,∴ d ? 2 , ∴ an ? 2n ? 1 (Ⅱ)由(1)得 Sn ? n ? …………4分 …………6分

n ? n ? 1? ? 2 ? n2 2

…………7分

∴ bn ?

1 4n ? 1
2

?

1? 1 1 ? ? ? ? ? 2n ? 1?? 2n ?1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ? 1

…………9分

∴ Tn ?

1 ?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? 2 ?1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ?
…………12分

1? 1 ? n ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
18.解: (Ⅰ)
第一组 第二组

9 8 8 6 5 2 1 0 2 1

15 16 17 18

8 6 2 2

9 9 3 6 5 5

由茎叶图知:第一组学生身高更集中. (Ⅱ)第一组男生身高的众数为 168,中位数为 171.5

…………3 分 …………4 分 …………6 分

(Ⅲ)第一组身高位于 [170, 180) 的男生共 5 人,记为 A,B,C,D,E,其中位于 [175, 180) 共有两人,记为 D,E 第二组身高位于 [170, 180) 共 3 人,记为 F,G,H, 其中位于 [175, 180) 有 1 人记为 H 从两组中各选出一个(A,F),(A,G),(A,H), (B,F),(B,G),(B,H) ,(C,F),(C,G),(C,H), (D,F),(D,G),(D,H), (E,F),(E,G),(E,H)共 15 种.
第1页

这两人均位于 [175, 180) 共有(D,H),(E,H)2 种. 设”这 2 人身高均位于 [175, 180) ”为事件 A

P ( A) ?

2 15

…………12 分 …………2 分 …………4 分 …………5 分
P

19.(Ⅰ)证明:∵PH⊥平面 ABCD,AB ? 平面 ABCD,∴PH⊥AB ∵AB⊥AD,AD∩PH=H,AD,PH ? 平面 PAD ∴AB⊥平面 PAD 又 AB ? 平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 PAD. (Ⅱ)解:取 CD 中点 E,PC 中点 F, 连 HF,HE,EF 则 EF

1 PD 2
∴EH

∵PH⊥平面 ABCD,AD ? 平面 ABCD,∴PH⊥AD ∵PA=PD,∴H 是 AD 中点,

F A H E D C

1 AC 2
…………7 分 …………8 分

∴∠FEH 是异面直线 AC 与 PD 所成角或其补角. Rt△ABC 中,AB=BC=1,∴AC= 2 ,∴EH=

B

2 2 2 2

Rt△APD 中,PA=PD,AD=2,∴PD= 2 ,∴EF= ∵BC∥AH 且 BC=AH=1, ∴四边形 ABCH 是平行四边形,∴CH=AB=1 Rt△PHC 中,PH=1,∴PC= 2 ,∴HF=
o

…………9 分

2 2

…………10 分

△EFH 中,EF=EH=HF,∴∠FEH=60 o ∴异面直线 AC 与 PD 所成角的大小为 60 .
o 20.解: (Ⅰ) Q ? PF2 F 2F 1 的面积为 1 ? 90 ,且 ?PF
2

…………12 分

3 ,F 1F 2 ?2, 2
…………3 分

3 5 3 5 ?3? ? PF2 ? ,? PF1 ? 22 ? ? ? ? ? 2a ? ? ? 4,? a ? 2 2 2 2 2 ?2?

? 椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

…………4 分

(Ⅱ)设 Q( x0 , y0 ) ,不妨设 0 ? y0 ? 3 线段 QF1 的垂直平分线方程为 y ?

y0 x ?1 x ?1 ?? 0 (x ? 0 ) , 2 y0 2

…………5 分

线段 F1 F2 的垂直平分线方程为 x ? 0

…………6 分

第2页

y0 x0 ? 1 x ?1 ? (x ? 0 ) x0 ? 1 x0 ? 1 y0 x0 2 ? 1 y0 ?y ? ? ? 2 y 2 ? y ? ( ? )( ? )? ? ? ? 0 y 2 2 2 y 2 0 0 ? x?0 ?
Q x0 2 y0 2 y 3 ? ?1 ?y ? ? 0 4 3 2 y0 6
y 3 ? 0 2 y0 6
…………9 分

? 点 O1 到 x 轴的距离 d ?
y? y 3 ? 0 2 y0 6

…………10 分

在 0, 3 ? 上为减函数 ,

?

?

? 当 y0 ? 3 时, ymin ?
1 e

3 3 ? d min ? 3 3
1 ? b) ? 0 ,? b ? a e

…………12 分

21.解: (Ⅰ)? x ? 0, f ( ) ? e(a ln

…………1 分

f ( x) ?

a (1 ? ln x) ?a ln x f ?( x) ? x x2 ,

…………2 分

①当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 得 ln x ? 0 , x ? (0,1) ,? f ( x) 的增区间为 (0,1) 令 f ?( x) ? 0 得 ln x ? 0 , x ? (1, ??) ,? f ( x) 的减区间为 (1, ??) …………4 分

②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 得 ln x ? 0 , x ? (1, ??) ,? f ( x) 的增区间为 (1, ??) 令 f ?( x) ? 0 得得 ln x ? 0 , x ? (0,1) ,? f ( x) 的减区间为 (0,1) (Ⅱ) g ( x) ? …………6 分

xf ( x) ? 1 ? ln x a

当 0 ? x1 ? x2 时, g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ln x2 ? ln x1 ? ln

x2 x1

…………8 分

x2 ? 1) x2 2 x1 ( x2 ? x1 ) x1 ? ? 只需 ln x x1 x12 ? x2 2 1 ? ( 2 )2 x1 2(

令 ,

2(t ? 1) x2 ,…………10 分 ? t , t ? 1 , F (t ) ? ln t ? 1? t2 x1

F ?(t ) ?

(t 2 ? 1)(t 2 ? 2t ? 1) ? 0 ? F (t ) 在 (1, ??) 上单调递增, t (1 ? t 2 )2
…………12 分

? F (t ) ? F (1) ? 0 ,原命题成立
22. (Ⅰ)证明:? BD 是圆的切线 ??BAC ? ?DBE 且 ?BDE ? ?FDA

?VBED ∽V AFD ??BED ? ?AFD 又 ?BED ? ?FEC ??AFE ? ?CEF ? ?BFE ? ?BEF
第3页

……2 分 ……4 分

即 V BEF 是等腰三角形? BE ? BF

……5 分 ……6 分

AF DF ? (Ⅱ)证明: 由(1)知 BE DE 又? ?CED ? ?BEF ? ?BFD 且 ?BDF ? ?EDC FB FD ?VDEC ∽VDFB ? ? EC ED AF FB ? 又 FB ? BE ? BF 2 ? AF ?EC ? BE EC

……8 分 ……10 分

23. 解:(Ⅰ)曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? ? 0 , 即 ? ? 2 cos? ? 2 sin ? 设点 M 的极坐标为 ?? ,? ? ,则 P ?2 ? , ? ? , ……2 分

? 2? ? 2 cos? ? 2 sin ? ,? ? ? cos? ? sin ? ,
? P 与 O 不重合,? M 与 O 不重合

……4 分

? ? ? cos? ? sin ? ?? ? 0?
(Ⅱ)由(Ⅰ)可设点 A 的极坐标为 ? ?1 ,

……5 分

? ?

??

?? ? ? ,点 B 的极坐标为 ? ? 2 , ? , 3? 6? ?

则 OA ?

? ? 1? 3 , ?1 ? cos ? sin ?
3 3 2

OB ? ? 2 ? cos
2 2 1 2 2

?
6

? sin

?
6

?

3 ?1 , 2

………7 分
2 2

?1? 3 ? ?1? 3 ? 3 1 ? ?2 ? 2?? ? ? AB ? ? ? ? ? 2 ?1 ? 2 cos ? ? ? ? ? ? ? 6 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2

?

? AB ?

2 2 2 2

………9 分

? ?AOB 的周长为 OA ? OB ? AB ? 1 ? 3 ?
24.解: (Ⅰ)由已知得 x ? 3 ? m ? 2

………10 分

,则 5 ? m ? x ? 1 ? m 即 m ? 3

………5 分

(Ⅱ) x ? a ? f ( x) 恒成立,即 x ? 3 ? x ? a ? 3 恒成立

? x ? 3 ? x ? a ? x ? 3 ? ( x ? a) ? a ? 3
当且仅当

……7 分

?x ? 3??x ? a? ? 0 时取等号
………10 分

? a ? 3 ? 3 故 a 的取值范围为 a ? 0 或 a ? 6

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