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五年高考题库:导数与积分


题目
1(2012 陕西理 7)设函数 f ( x) ? xe ,则(
x

知识点 18. 导 数 的应用 20 函数的 极值

解题方 法

难易 度 中

题型 选择题 ( )

时间 3 D

答案



A. x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 B. x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点 D. x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点 2【2012 高考真题湖北理 3】已知二次函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为

22 微积分 基本定理



选择题

3

B

A.

2π 4 B. 5 3

C.

3 2

D.

π 2

3【2012 高考陕西文 9】设函数 f(x)= ( A.x= )

2 18. 导 数 +lnx 则 的应用 x
20 函数的 极值



选择题

3

D

1 为 f(x)的极大值点 2 1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2
C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 4【2012 高考辽宁文 8】函数 y= 递减区间为( (A) ( ? 1,1] (C.)[1,+∞) ) (B) (0,1] (D) (0,+∞)

1 2 9 函数的 x ? ㏑ x 的单调 性质 2
18. 导 数 的应用



选择题

3

B

5(2011 福建理 5) 0 A.1

?

1

(e x ? 2 x)dx
等于 D. e ? 1

22 微积分 基本定理



选择题

2

C

B. e ? 1 C. e

6 ( 2011 湖 南 理 8 ) 设 直 线 x ? t 与 函 数

f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,
则当 | MN | 达到最小时 t 的值为( )

18. 导 数 的应用 19 函数的 值域与最 值



选择题

4

D

A.1

1 B. 2

5 C. 2
?2 x

2 D. 2
? 1 在点(0,2)
21 导数的 几何意义 23 导数的 运算 2. 数 形 结合 中 选择题 5 A

7(2011 全国Ⅱ理 8)曲线 y ? e

处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面 积为( )

1 (A) 3

1 (B) 2

2 (C) 3

(D)1

8(2010 辽宁文数 12)已知点 P 在曲线 y ?

4 e ?1
x

上,? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取 值范围是( )

19 函数的 值域与最 值 21 导数的 几何意义



选择题

8

D

? ? ? 3? 3? ? ) (B) [ , ) (C) ( , ] (D) [ , ? ) 4 2 2 4 4 4 (2010 山东文数 8) 9 已知某生产厂家的年利润 y (单 位:万元)与年产量 x (单位:万件)的函数关系 1 3 式为 y ? ? x ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获得 3
(A)[0, 最大年利润的年产量为( ) (A)13 万件(B)11 万件(C)9 万件(D)7 万件 10(2009 安徽卷理 9)已知函数 f ( x) 在 R 上满足

17. 函 数 的应用 18. 导 数 的应用



选择题

3

C

21 导数的 几何意义



选择题

5

A

f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x 2 ? 8 x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x)
在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 (A) y ? 2 x ? 1 (B) y ? x

(C) y ? 3x ? 2

(D) y ? ?2 x ? 3 10 函数的 图像 18. 导 数 的应用 中 选择题 3 A

11(2009 湖南卷文 7)若函数 y ? f ( x) 的导函数 在 ... 区间 [a, b] 上是增函数,则函数 y ? f ( x) 在区间

[a, b] 上的图象可能是(



12(2009 天津卷文 10)设函数 f(x)在 R 上的导函数 为 f ? ? x ? ,且 2 f ? x ? ? xf ? ? x ? ? x ,下面的不等式在
2

R 内恒成立的是(



18. 导 数 的应用 9 函数的 性质



选择题

5

A

A f ( x) ? 0 B f ( x) ? 0 C f ( x) ? x D f ( x) ? x 13 ( 2008 湖 北 卷 理 7 ) 若 18. 导 数 的应用 9 函数的 性质 中 选择题 4 C

1 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?) 上 是 减 函 2
数,则 b 的取值范围是 A. [?1, ??) C. (??, ?1] B. (?1, ??) D. (??, ?1)

14 ( 2008 广 东 卷 理 7 ) 设 a ? R , 若 函 数

y ? eax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则(
A. a ? ?3 C. a ? ? B. a ? ?3

18. 导 数 的应用 ) 20 函数的 极值



选择题

5

B

1 3

D. a ? ?

1 3

15 (2008 辽宁卷理 6) 设 P 为曲线 C: y ? x ? 2x ? 3
2

上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围 为 ? 0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为( )

? ?? ? 4?
? ?

21 导数的 几何意义 19 函数的 值域与最 值



选择题

5

A

A. ? ?1, ? ? 2

1? ?

0? B. ? ?1,

1? C. ? 0,

D. ? , 1?

?1 ? ?2 ?
22 微积分 基本定理 22 微积分 基本定理 中 填空题 4

16 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 11 】 计 算 定 积 分

?

1

?1

( x 2 ? sin x)dx ? ___________。

2 3 a? 4 9

17 【 2012 高考真题山东理 15 】设 a ? 0 . 若曲线



填空题

4

y ? x 与直线 x ? a, y ? 0 所围成封闭图形的面积
为 a ,则 a ? ______.
2

18【2012 高考真题广东理 12】曲线 y=x3-x+3 在点 (1,3)处的切线方程为 .
3 2

21 导数的 几何意义 20 函数的 极值 18. 导 数 的应用 18. 导 数 的应用 23 导数的 运算



填空题

3

2x ? y ? 1 ? 0
2

19 (2011 广东理 12) 函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在 x ? 处取得极小值.



填空题

3

20 (2009 江苏卷 3) 函数 f ( x) ? x ? 15 x ? 33x ? 6
3 2



填空题

4

(?1,11)
1

的单调减区间为 . 21 ( 2009 湖 北 卷 理

f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 4
为 .

?

14 则

已 知 函 数

f( ) 4

?



填空题

3

的 值

22(2008 北京卷文 12)如图,函数 f ( x) 的图象是 折 线 段 ABC , 其 中 A ,B,C 的 坐 标 分 别 为

24 导数的 概念



填空题

3

2, ?2

(0,,,,, 4) (2 0) (6 4) , 则 f ( f (0)) ?
?x ?0



lim

f (1 ? ?x) ? f (1) ? ?x

. (用数字作答)

y 4 3 2 1 O A C

B 1 2 3 4 5 6

x
3

23 ( 2008 江 苏 卷 14 ) f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对 于

x ? ? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =



18. 导 数 的应用 26 恒成立 问题



填空题

7

4

题目 24【2012 高考真题安徽理 19】 设

知识点

解题 方法

难 题 易 型 度 中 解 答 题

时 间 17

答案

18. 导 数 的 应用 1 19 函 数 的 f ( x) ? ae x ? x ? b(a ? 0) 。 值域与最 ae 值 (I)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最 21 导 数 的 小值; 几何意义 ( II ) 设 曲 线 y ? f ( x) 在 点

【 解 析 】 ( I ) 设 t ? e (t ? 1) ; 则
x

y ? at ?

1 1 a 2t 2 ? 1 ? b ? y? ? a ? 2 ? , at at at 2

①当 a ? 1 时, y? ? 0 ? y ? at ?

1 ?b 在 at

t ? 1 上是增函数,得:当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x)
的最小值为 a ?

(2, f (2)) 的 切 线 方 程 为

1 ?b 。 a 1 ?b ? 2?b, at

y?

3 x ;求 a, b 的值 2

②当 0 ? a ? 1时, y ? at ? 当且仅当 at ? 1(t ? e ?
x

的最小值为 b ? 2 。 (II)

1 , x ? ? ln a) 时,f ( x) a

f ( x) ? ae x ?

1 1 ? b ? f ?( x) ? ae x ? x , x ae ae

由题意得:

1 2 ? 2 ? ae ? 2 ? b ? 3 ?a ? 2 ? f (2) ? 3 ? ? ? ? ae e ?? 。 ? 3?? 1 3 1 f ?(2) ? 2 ? ? ? ae ? 2 ? b? ? 2 ? ? ae 2 ? 2 ?

25【2012 高考重庆文 17】已知 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在
3

x ? 2 处取得极值为 c ? 16
(1) 求 a、 b 的值; (2) 若 f ( x) 有极大值 28, 求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最大值.

19 函 数 的 值域与最 值 20 函 数 的 极值

中 解 答 题

12

【 解 析 】( Ⅰ ) 因 f ( x) ? ax ? bx ? c
3



f ?( x) ? 3ax 2 ? b
得 极 值 故

由于 f ( x) 在点 x ? 2 处取 有

? f ?(2) ? 0 ? ? f (2) ? c ? 16



12a ? b ? 0 ? ?12a ? b ? 0 ,化简得 ? 解 ? ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ? 4 a ? b ? ?8
得?

? a ?1 ?b ? ?12
f ( x) ? x3 ? 12 x ? c ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f ?( x) ? 3x 2 ? 12


f ?( x) ? 0

, 得

x1 ? ?2, x2 ? 2 当

x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??, ?2)
上为增函数; 当 x ? (?2, 2) 时,f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 在

(2, ??) 上为增函数。
由 此 可 知 f ( x) 在 x1 ? ?2 处取得极大值

f (?2) ? 16 ? c ,f ( x) 在 x2 ? 2 处取得极小值 f (2) ? c ?16 由 题 设 条 件 知 16 ? c ? 28 得

c ? 12



时 ,

f (?3) ? 9 ? c ? 21, f (3) ? ?9 ? c ? 3

f (2) ? c ? 16 ? ?4 因此 f ( x) 上 [?3,3] 的最小
值为 f (2) ? ?4

26(2011 北京理 18)已知函数

f ( x) ? ( x ? k ) 2 e .
(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若对 ?x ? (0 , ? ?) ,都有

x k

18. 导 数 的 应用 19 函 数 的 值域与最 值 26 恒 成 立 问题

8. 等 价转 化

中 解 答 题

12

f / ( x) ?
解: (1)

x 1 2 ( x ? k 2 )e k / k ,令 f ( x) ? 0 得

x ? ?k
当 k ? 0 时, f ( x) 在 (??, ?k ) 和 (k , ??) 上递 增,在 (?k , k ) 上递减; 当 k ? 0 时, f ( x) 在 (??, k ) 和 (?k , ??) 上递 减,在 (k , ?k ) 上递增

f ( x) ?

1 e ,求 k 的取值范围。

(2) 当 k ? 0 时,

f (k ? 1) ? e

k ?1 k

?

1 e ;所以不可

能对 ?x ? (0 , ? ?) 都有

f ( x) ?

1 e;

当 k ? 0 时有(1)知 f ( x) 在 (0, ??) 上的最大值

f (?k ) ?


4k 2 e ,所以对 ?x ? (0 , ? ?) 都有

f ( x) ?

1 e

4k 2 1 1 ? ?? ?k ?0 ? ?) e 2 即 e , 故对 ?x ? (0 ,
f ( x) ?
都有

1 1 [ ? ,0) e 时, k 的取值范围为 2 。

27(2011 山东理 21)某企业拟 建造如图所示的容器(不计厚 度,长度单位:米) ,其中容器 的中间为圆柱形, 左右两端均为 半球形, 按照设计要求容器的体

80? 积为 3 立方米,且 l≥2r .假
设该容器的建造费用仅与其表 面积有关.已知圆柱形部分每平 方米建造费用为 3 千元, 半球形 部分每平方米建造费用为

17. 函 数 的 应用 18. 导 数 的 应用 19 函 数 的 值域与最 值

难 解 答 题

20

80? 【解析】 (Ⅰ)因为容器的体积为 3 立方米,

4? r 3 80 4r 80? ? ? r 2l ? l? 2? 3r 3 ,所 3 , 解得 所以 3
以 圆 柱 的 侧 面 积 为

2? rl =

2? r (

160? 8? r 2 80 4r ? ? ) ? 3r 3 , 两端两 3r 2 3
2

个 半 球 的 表 面 积 之 和 为 4? r

, 所 以

c(c>3) . 设该容器的建造费用
为 y 千元.

160? l ? 8? r 2 2 y? r + 4? cr ,定义域为(0, 2 ).
(Ⅱ)因为

y' ?

?

160? ? 16? r r2 + 8? cr

(Ⅰ) 写出 y 关于 r 的函数表达 式,并求该函数的定义域; (Ⅱ) 求该容器的建造费用最小 时的 r .

8? [(c ? 2)r 3 ? 20] r2 = ,
所以令 y ? 0 得:
'

r?

3

20 c?2 ; 20 20 r?3 c ? 2 , 所以 c?2 米

令 y ? 0 得:
'

0?r ?

3

时, 该容器的建造费用最小. 28(2009 江西卷理 17)设函数 18. 导 数 的 应用 3. 不等式的 解法 7. 分 类讨 论 中 解 答 题 12 解: (1)

f ' ( x) ? ?

1 x 1 x x ?1 x e ? e ? 2 e , 由 x2 x x

f ( x) ?
(1) 区间; (2)

ex x
求 函 数 f ( x) 的 单 调

f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 .
因为 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; 当 0 ? x ? 1
'

时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;
' '
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

若 k ? 0 ,求不等式

所以 f ( x) 的单调增区间是: [1, ??) ; 单调 减区间是: (??,0), (0,1] . (2) 由

f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ? 0 的解
集.

x ? 1 ? kx ? kx 2 x f ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ? e x2
'

?

( x ? 1)(?kx ? 1) x e ? 0, x2

得: ( x ? 1)(kx ? 1) ? 0 . 故:当 0 ? k ? 1时, 解集是: {x 1 ? x ? } ; 当 k ? 1 时,解集是: ? ; 当 k ? 1 时, 解集是: {x

1 k

1 ? x ? 1} . k

w.w. w. k.s .5.u.c.o.m

29(2009 辽宁卷理 21)已知函

18. 导 数 的

8. 等

1 应用 价转 数 f(x)= x 2 -ax+(a-1) ln x , 25 不 等 式 化 2 的证明 a ? 1。
(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; ( 2 )证明:若 a ? 5 ,则对任 意 x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 , 有

难 解 答 题

15

解:(1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) 。
f ' ( x) ? x ? a ? a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? x x x
'

(i)若 a ? 1 ? 1即 a ? 2 ,则 f ( x) ? 故 f ( x) 在 (0, ??) 单调增加。

( x ? 1) 2 x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

(ii) 若 a ? 1 ? 1 , 而 a ? 1 , 故 1 ? a ? 2 , 则 当

x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 ;
当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0
'



f ( x) 在 (a ? 1,1) 单 调 减 少 , 在

(0, a ? 1),(1, ??) 单调增加。
(iii) 若 a ? 1 ? 1 , 即 a ? 2 , 同 理 可 得 f ( x) 在

(1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1),(a ? 1, ??) 单调增
加. (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x

?


1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2
a ?1 a ?1 ? 2 xg ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x

g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

由于 1<a<5,故 g ?( x) ? 0 ,即 g(x)在(4, +∞)单调 增加,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0 , 故

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 , x1 ? x2

当 0 ? x1 ? x2 时,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ?1 x1 ? x2 x2 ? x1

30 ( 2009 广 东 卷 理 19 ) 设 , 函 数 k ?R

? 1 ,x ? 1 ? f ( x ) ? ?1 ? x ? ? x ? 1,x ≥ 1 ?



13 分 段 函 数 9 函数的性 质 18. 导 数 的 应用

7. 分 类讨 论

中 解 答 题

12









? 1 ? kx, ? F ( x) ? f ( x) ? kx ? ?1 ? x ?? x ? 1 ? kx, ?

x ? 1, x ? 1,

F ( x) ? f ( x) ? kx ,x ? R ,试
讨论函数 F ( x) 的单调性.

? 1 ? k, 2 ? ? (1 ? x) F '( x) ? ? ?? 1 ? k , ? ? 2 x ?1
对于 F ( x) ?

x ? 1, x ? 1,

1 ? kx( x ? 1) , 1? x

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1) 上是增函数; 当 k ? 0 时, 函数 F ( x) 在 (??,1 ?

1 ) 上是减函 k

数,在 (1 ?

1 ,1) 上是增函数; k
1 ? k ( x ? 1) , 2 x ?1

对于 F ( x) ? ?

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1, ?? ? 上是减函数;

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1,1 ?

? ?

1 ? ? 上是减函 4k 2 ?

数,在 ?1 ?

? ?

1 ? , ?? ? 上是增函数。 2 4k ?

31(2008 山东卷理 21)已知函 数

f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), (1 ? x)n

20 函 数 的 极值 25 不 等 式 的证明

难 解 答 题

20

(Ⅰ)解:由已知得函数 f(x)的定义域为{x|x >1}, 当 n=2 时, f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), 所以 (1 ? x)2

其中 n∈N*,a 为常数. (Ⅰ)当 n=2 时,求函数 f(x) 的极值; (Ⅱ)当 a=1 时,证明:对任意 的正整数 n,当 x≥2 时, 有 f(x) ≤x-1.

f ( x) ?

2 ? a (1 ? x) 2 . (1 ? x)3
2 >1, a

(1)当 a>0 时,由 f(x)=0 得 x1 ? 1 ?

x2 ? 1 ?

2 <1, a

此时 f′(x)=

?a( x ? x1 )( x ? x2 ) . (1 ? x)3

当 x∈(1,x1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(x1+∞)时,f′(x)>0, f(x)单调递 增. (2) 当 a≤0 时, f′(x) <0 恒成立, 所以 f(x) 无极值. 综上所述,n=2 时, 当 a>0 时,f(x)在 x ? 1 ?

2 处取得极小值, a

极小值为 f (1 ?

2 a 2 ) ? (1 ? ln ). a 2 a


当 a≤0 时,f(x)无极值. ( Ⅱ ) 证 法 :

a=1





f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1). (1 ? x)n

当 x ≤ 2 ,时,对任意的正整数 n ,恒有

1 ≤1, (1 ? x ) n
故只需证明 1+ln(x-1) ≤x-1. 令
h( x) ? x ? 1 ? (1 ? ln( x ? 1)) ? x ? 2 ? ln( x ? 1), x ? ? 2, ?? ?

则 h?( x) ? 1 ?

1 x?2 ? , x ?1 x ?1

当 x≥2 时,h?( x) ≥0, 故 h(x)在 ? 2, ?? ? 上 单调递增, 因此 当 x ≥ 2 时, h(x) ≥ h(2)=0 ,即 1+ln(x-1) ≤x-1 成立. 故当 x≥2 时,有 即 f(x)≤x-1.

1 ? ln( x ? 1) ≤x-1. (1 ? x) n


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