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宁夏银川一中2015届高三上学期第四次月考 数学(理)


宁夏银川一中 2015 届高三年级第四次月考

7 .已知 f ( x) 是定义在 (??, ??) 上的偶函数,且在 ( ?? , 0]上是增函数,设 a ? f (log 4 7),

数 学 试 卷(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

b ? f (log 1 3) , c ? f (2 ) ,则 a, b, c 的大小关系是( )
1.6
2

A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

C. b ? c ? a

D. a ? b ? c

i 1.复数 z ? (其中 i 为虚数单位)的虚部是 1? i
A. ?

2 8 . 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 2 x , g ( x) ? ax ? 2 ? a ? 0 ? , 若 ?x1 ? [ ?1, 2] , ?x2 ? [?1, 2] , 使 得

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,则实数 a 的取值范围是
C.

1 2

B. i

1 2

1 2

D. ?

1 i 2

A. (0, ]

1 2

B. [ ,3]

1 2

C. (0,3]

D. [3, ??)

2. 已知: p :

1 ? 1.q :| x ? a |? 1 若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 x?2 A. (2,3] B. [2,3] C. (2,3) D. (??,3]
A. 3 C. 5 D. 6

AC ? 7, AB ? AC ? 6 ,则 ?ABC 面积的最大值为 9.在 ?ABC 中,若 AB·
A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 3

3.设 S n 为等比数列 {a n } 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2,3S 2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? B. 4 10.若 O 在 ?ABC 所在的平面内: OA ? (

4.已知 sin(

?
2

? a) ?

1 A. 3

7 D. ? 9 2 5.在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,其中 a ? 5, b ? 3,sin B ? ,则角 A 的取值 2
一定属于范围

1 ,则 cos 2a 的值为( ) 3 1 B. ? 3

AC AB BC BA ? ) ? OB ? ( ? ) | AC | | AB | | BC | | BA |


7 C. 9

? OC ? (
A.垂心

CA CB ? ) ? 0 ,则 O 是 ?ABC 的 ( | CA | | CB |
B.重心 C.内心 D.外心

? ? A. ( , ) 4 2

? 3? B. ( , ) 2 4

? 3? C. (0, ) ? ( , ? ) 4 4

? ? ? 3? D. ( , ) ? ( , ) 4 2 2 4

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 11.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by ?a ? 0, b ? 0 ? 的值是最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
12,则 A.

6.为得到函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有点的 ) 的导函数 ...

2 3 ? 的最小值为 a b
B.
x

A.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标向左平移 B.纵坐标缩短到原来的

?
6

25 6

8 3

C.

11 3

D. 4

12.已知函数 f ( x) ? e ? ax ? b ,若 f ( x) ? 0 恒成立,则 ab 的最大值为 A. e B. e 2 C. e D.

1 ? 倍,横坐标向左平移 2 3
5? 12

e 2

C.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标向左平移 D.纵坐标缩短到原来的

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

1 5? 倍,横坐标向左平移 2 6

1

13. ?ABC 内接于以 P 为圆心,半径为 1 的圆,且 3PA ? 4PB ? 5PC ? 0 ,则 ?ABC 的边 AB 的 长度为 14.已知 a ? .

若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由. 20.已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an ? log 1 an , S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn ,求 Sn .
2

? (e
0

1

x

?ln x , x ? 0 ? 2 x)dx ( e 为自然对数的底数),函数 f ( x) ? ? ? x , ?2 , x ? 0

则 f (a ) ? f (log 2 1 ) ? __________.

21. 已知函数 f ( x) ? x ln x ( e 为无理数, e ? 2.718 ) (1)求函数 f ( x) 在点 ? e, f (e) ? 处的切线方程; (2)设实数 a ?

6

15.已知数列 { an } 的前 n 项和 Sn ? (?1)n ? n ,若对任意正整数 n , (an ?1 ? p)(an ? p)<0 恒成立,则 实数 p 的取值范围是 16.给出下列四个命题: ① ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 成立的充要条件; .

1 ,求函数 f ( x) 在 ? a, 2a ? 上的最小值; 2e

(3)若 k 为正整数,且 f ( x) ? ? k ? 1? x ? k 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值. 22.如图,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC, AB 上, 且 AD=

1 ?2; ②当 x ? 0且x ? 1 时,有 ln x ? ln x
③已知 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? S5 ,则 S9 ? S3 ; ④若函数 y ? f ( x ?

1 2 AC, AE= AB,BD,CE 相交于点 F。 3 3

(1)求证:A,E,F,D 四点共圆; (2)若正△ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径. 23. 在 直 角 坐 标 系 中 , 以 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 坐 标 系 , 已 知 曲 线
2 C:?sin ? ? 2a c o ? s (a ? 0) ,已知过点 P(?2,?4) 的直线 l 的参数方程为

3 3 ) 为 R 上的奇函数, 则函数 y ? f ( x ) 的图象一定关于点 F ( ,0 ) 成中心对称. 2 2

其中所有正确命题的序号为 . . 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤

A 2 5 17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos ? , AB ? AC ? 3 . 2 5
(1)求 ?ABC 的面积;

? x ? ?2 ? ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 ( t 为参数) ,直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点。 2 t 2

,求a 、 sin B 的值. (2)若 c ? 1
18. 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( x ?

(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 | PM |, | MN |, | PN | 成等比数列,求 a 的值.

?
4

) cos( x ? ) ? sin 2 x ? a 的最大值为 1 . 4

?

24. 对于任意的实数 a ( a ? 0 )和 b ,不等式 | a ? b | ? | a ? b |? M ? | a | 恒成立,记实数 M 的最大值是
m.

(1)求常数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (3) 若将 f ( x) 的图象向左平移 的最大值和最小值. 19. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,前项和 S n ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设数列 ?
?

(1)求 m 的值;

(2)解不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m .

?
6

个单位, 得到函数 g ( x) 的图象, 求函数 g ( x) 在区间 [0,

?
2

]上

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 . 2

? 1 是否存在实数 M , 使得 Tn ? 的前项和为 Tn , ? a n ? a n?1 ?
2

? M 对一切正整数都成立?

宁夏银川一中 2015 届高三第四次月考数学(理科)试卷参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 C A B B D C C D 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 3 13. 2 ? 2 14. 7 15. a 16. ? > ? > ? 3 三、解答题: 17.(1)? f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ? 9 C 10 D 11 A 12 D

? ?

??

? ? sin 2 x ? a ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? a 2?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? a ? 1 3? ? ? 2 ? a ? 1 ,? a ? ?1
(2)由 ?

?

?

(3)? 将 f ? x ? 的图象向左平移

? x ? ?0, ?,? 2 x ? ? , 3 ? ? 2? ? 3 3 ? ? 2? ? 3 2? 2? ? 时, sin ? 2 x ? , g ? x ? 取最大值 3 ? 1 ?当 2x ? ? ?? 3 ? 2 3 3 ? 2? 3? 2? ? ? 当 2x ? 时, sin ? 2 x ? ? ? ? ?1 , g ? x ? 取最小值-3. 3 2 3 ? ?
18. [解析] (1)因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 AB 的中点, 所以 OE∥PA. 因为 PA? 平面 PAC,OE?平面 PAC, 所以 OE∥平面 PAC. 因为 OM∥AC, 又 AC? 平面 PAC,OM?平面 PAC, 所以 OM∥平面 PAC. 因为 OE? 平面 MOE,OM? 平面 MOE,OE∩OM=O, 所以平面 MOE∥平面 PAC. (2)因为点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上, 所以∠ACB=90° ,即 BC⊥AC. 因为 PA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC, 所以 PA⊥BC.
3

? 个单位,得到函数 g ? x ? 的图象, 6 ? ? ?? ?? ?? 2? ? ? ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? ? 2 sin ?2? x ? ? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 6? 6 ? 3? 3 ? ? ? ? ? 2? ? 2? 5? ? ? ??

5? ? ? ? 5? ? ? k? ? x ? ? k? ,所以函数的单调递增区间 ?? ? k? , ? k? ?, k ? Z 12 12 12 ? 12 ?

2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,解得

因为 AC? 平面 PAC,PA? 平面 PAC,PA∩AC=A, 所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC? 平面 PBC,所以平面 PAC⊥平面 PBC. (3)如图,以 C 为原点,CA 所在的直线为 x 轴,CB 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系 C -xyz. 因为∠CBA=30° ,PA=AB=2, 所以 CB=2cos30° = 3,AC=1. 延长 MO 交 CB 于点 D. 因为 OM∥AC, 1 3 1 3 所以 MD⊥CB,MD=1+ = ,CD= CB= . 2 2 2 2 3 3 所以 P(1,0,2),C(0,0,0),B(0, 3,0),M( , ,0). 2 2 → → 所以CP=(1,0,2),CB=(0, 3,0). 设平面 PCB 的法向量 m=(x,y,z). → ? CP=0, ?m· 因为? → ?m· CB=0. ?

?x,y,z ,0, =0, ?x+2z=0, 所以? 即? ?x,y,z , 3,0=0. ? 3y=0. 令 z=1,则 x=-2,y=0. 所以 m=(-2,0,1). 同理可求平面 PMB 的一个法向量 n=(1, 3,1). m· n 1 1 所以 cos〈m,n〉= =- .所以 cosθ= . |m|· |n| 5 5
19. 解: (1) (解法一)∵ S n ? ∴ S n ?1 ?

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2

1 (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2 ∴ an ?1 ? S n ?1 ? S n 1 ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2 整理得 nan ?1 ? (n ? 1)an ? 1
∴ (n ? 1)an ? 2 ? (n ? 2)an ?1 ? 1 两式相减得 (n ? 1)an ? 2 ? nan ?1 ? (n ? 2)an ?1 ? (n ? 1)an 即 (n ? 1)an ? 2 ? 2(n ? 1)an ?1 ? (n ? 1)an ? 0 ∴ an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 0 , ∴ 数列 ?an ? 是等差数列 即 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an

且 a1 ? 3 ,得 a2 ? 5 ,则公差 d ? 2 ∴ an ? 2n ? 1 (解法二)

5). → → AC· A1B1 4 → → → → (1)易得AC=(- 2, - 2, 5), A1B1=(-2 2, 0,0), 于是 cos 〈AC, A1B1〉 = = → → 2 2 |AC|· |A1B1| 3× 2 = . 3 2 所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 . 3 → → (2)易知AA1=(0,2 2,0),A1C1=(- 2,- 2, 5). 设平面 AA1C1 的法向量 m=(x,y,z),则 → ? A1C1=0, ?m· ?- 2x- 2y+ 5z=0, ? 即? → ?2 2y=0. ? ?m、AA1=0. 不妨令 x= 5,可得 m=( 5,0, 2). 同样的,设平面 A1B1C1 的法向量 n=(x,y,z),则 → ? A1C1=0, ?n· ?- 2x- 2y+ 5z=0, ? 即? → ?-2 2x=0. ?n· A1B1=0. ? 不妨令 y= 5,可得 n=(0, 5, 2). m· n 2 2 于是 cos〈m,n〉= = = , |m|· |n| 7· 7 7 3 5 从而 sin〈m,n〉= . 7 3 5 所以二面角 A-A1C1-B1 的正弦值为 . 7 2 3 2 5? (3)由 N 为棱 B1C1 的中点,得 N? , . , 2 2? ?2 2 3 2 5? → 设 M(a,b,0),则MN=? -a, , -b, 2 2? ?2 → → ? A1B1=0, ?MN· 由 MN⊥平面 A1B1C1,得? → → ?MN · A1C1=0. ?

1 ∵ S n ? (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2 1 ∴ S n ?1 ? (n ? 2)( an ?1 ? 1) ? 1 2 ∴ an ?1 ? S n ?1 ? S n 1 ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2 整理得 nan ?1 ? (n ? 1)an ? 1 a a 1 等式两边同时除以 n(n ? 1) 得 n ?1 ? n ? , n ? 1 n n(n ? 1) a a 1 1 1 即 n ?1 ? n ? ? ? ? n ?1 n n(n ? 1) n ? 1 n
累加得

an an an ?1 an ?1 an ? 2 a a a ? ? ? ? ? ? 2? 1? 1 n n n ?1 n ?1 n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? 3 n n ?1 n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2 1 ? ?2 n 得 an ? 2n ? 1
(2) 由(1)知 an ? 2n ? 1

1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 ? ( ? ) 2 3 2n ? 3 1 ? 6
∴ 则要使得 Tn ? M 对一切正整数都成立,只要 (Tn ) max ? M ,所以只要 M ? ∴ 存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数都成立,

1 6

? 2 ? ? ?? 2 -a? -2 2=0, 即? ? 2 ? ?3 2 ? ? ?? 2 -a? - 2+? 2 -b? -

2+

5 · 5=0. 2

1 且 M 的最小值为 6
20. [解析] 如图所示 , 建立空间直角坐标系, 点 B 为坐标原点. 依题意得 A(2 2, 0,0),B(0,0,0),C( 2,- 2, 5),A1(2 2,2 2,0),B1(0,2 2,0),C1( 2, 2,
4

?a= 22, 解得? 2 ?b= 4 .

故 M?

2 2 2 ? → ? 2 ?,因此BM = , ? 2 , 4 ,0? ? 2 , 4 ,0?

10 → 所以线段 BM 的长|BM|= . 4 21.⑴∵ f ( x)定义域为(0, ??) f ?( x) ? ln x ? 1 , f (e) ? e又f ?(e) ? 2

?函数y ? f ( x)在点(e,f(e))处的切线方程为 : y ? 2( x ? e) ? e, 即y ? 2 x ? e ------3 分 1 ? 1? (2)∵ f ?( x) ? ln x ? 1 令f ?( x) ? 0 得x ? 当x ? ? 0, ? 时 , F ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; e ? e? ?1 ? 当 x ? ? , ?? ? 时 , F ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. ?e ? 1 当 a ? 时, f ( x)在[a, 2a ]单调递增,[ f ( x)]min ? f ( a ) ? a ln a, e 1 1 1 1 ?1? 当 ? a ? 时,得a ? ? 2a,[ f ( x)]min ? f ? ? ? ? 2e e e e ?e? (3) f ( x) ? (k ? 1) x ? k 对任意 x ? 1 恒成立, x ln x ? x 即 x ln x ? x ? k ( x ? 1) 对任意 x ? 1 恒成立, 即 ? k 对任意 x ? 1 恒成立 x ?1 x ln x ? x x ? ln x ? 2 令 g ( x) ? ( x ? 1) ? g '( x) ? ( x ? 1) x ?1 ( x ? 1) 2 x ?1 令 h( x) ? x ? ln x ? 2( x ? 1) ? h '( x) ? ? 0 ? h( x) 在 (1, ??) 上单调递增。 x ∵ h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0, ∴所以 h( x) 存在唯一零点 x0 ? (3, 4) ,即 x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 。 当 x ? (1, x0 ) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ; 当 x ? ( x0 , ??) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ; ∴ g ( x) 在 x ? (1, x0 ) 时单调递减;在 x ? ( x0 , ??) 时,单调递增; x (ln x0 ? 1) x0 ( x0 ? 1) ∴ [ g ( x)]min ? g ( x0 ) ? 0 ? ? x0 x0 ? 1 x0 ? 1 由题意 k ? [ g ( x)]min ? x0 ,又因为 k ? Z ,所以 k 的最大值是 3
22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 2 1 (Ⅰ)证明: AE ? AB ,? BE ? AB . 3 3 1 在正△ ABC 中, AD ? AC ,? AD ? BE , 3 又 AB ? BC , ?BAD ? ?CBE , ? △BAD≌△CBE,? ?ADB ? ?BEC , 即 ?ADF ? ?AEF ? π ,所以 A , E , F , D 四点共圆. (Ⅱ)解:如图 6,取 AE 的中点 G ,连结 GD ,则 AG ? GE ?

2 1 2 AB ,? AG ? GE ? AB ? , 3 3 3 1 2 AD ? AC ? , ?DAE ? 60? , 3 3 ? △AGD 为正三角形, 2 2 ? GD ? AG ? AD ? ,即 GA ? GE ? GD ? , 3 3 AE ?
所以点 G 是△AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为

2 . 3
2 .…(10 分) 3

由于 A , E , F , D 四点共圆,即 A , E , F , D 四点共圆 G ,其半径为 23解: (Ⅰ)C: y 2 ? 2ax, l : x ? y ? 2 ? 0

1 AE . 2

图6

1 2 t ? (4 2 ? 2a)t ? 16 ? 4a ? 0 (Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得 2 ? t1 ? t 2 ? 8 2 ? 2 2a, t1t 2 ? 32 ? 8a 因为 | PM |?| t1 |, | PN |?| t 2 |, | MN |?| t1 ? t 2 | 由题意知, | t1 ? t 2 |2 ?| t1t 2 |? (t1 ? t 2 ) 2 ? 5t1t 2 代入得 a ? 1 |a ?b|?|a ?b| 24 .解 : (1) 不等式 | a ? b | ? | a ? b |? M ? | a | 恒成立 , 即 M ? 对于任意的实数 |a| a ( a?0 ) 和 b 恒 成 立 , 只 要 左 边 恒 小 于 或 等 于 右 边 的 最 小 值 . 因 为 | a ? b | ? | a ? b |?| (a ? b) ? (a ? b) |? 2 | a | ,当且仅当 (a ? b)(a ? b) ? 0 时等号成立 ,即 | a |?| b | |a ?b|?|a ?b| |a ? b|?|a ?b| ? 2 成立,也就是 时, 的最小值是 2. |a| |a| 1 5 ?x? (2) | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 2 . 解法 1:利用绝对值的意义得: 2 2 1 解法 2: 当 x ? 1 时 , 原不等式化为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 , 解得 x ? , 所以 x 的取值范围是 2 1 ? x ? 1 .当 1 ? x ? 2 时,原不等式化为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 ,得 x 的取值范围是 1 ? x ? 2 . 2 5 当 x ? 2 时,原不等式化为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 ,解得 x ? , 2 5 1 5 所以 x 的取值范围是 2 ? x ? .综上所述: x 的取值范围是 ? x ? . 2 2 2 解法 3:构造函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?2 作 y ? 2 x ? 1 , ( x ? 1 ) ? 1 5 ? y ? ? ? 1, (1 ? x ? 2) 的图象,利用图象有 y ? 0 得: ? x ? . 1 2 2 ? 2 x ? 5, ( x ? 2) 2 1 O ?
0.5 2.5

x

-1
5

6


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