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厦门双十中学2015-2016学年新高一入学考试数学试题参考答案及评分标准


厦门双十中学 2015 级高一入学考试 数学试题参考答案及评分标准(2015.8.23)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1 2 3 4 5 题号 B C D C A 答案 二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 9 10 11 12 13 题号 答案 6 B 14 4 7 D 15 8 D 16 ①④


3 4

8

21

6

(a ? b)(a ? b ? c)

67

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17. (本小题满分 10 分) 【解析】 (1)小晗任意按下一个开关,正好楼梯灯亮的概率是: (2)画树状图得:

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ∵共有 6 种等可能的结果,正好客厅灯和走廊灯同时亮的有 2 种情况, ∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是:

2 1 = .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 6 3

18. (本小题满分 10 分) 【解析】 (1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴B2﹣4AC=4-4(k-1)>0,解得 k<2.· · · · · · · · · · · · · · 3分 (2)当 x=3 时,得 k=-2,解 x2-2x-3=0 得 x=3 或-1,所以方程的另一个根为 x=-1,k=-2. · · 6分 (3)根据勾股定理得:A2+B2=C2=3;因为两条直角边 A 和 B 恰好是这个方程的两个根, 则 A+B=2,因为(A+B)2-2AB=A2+B2=3,所以 2AB=1,△ABC 的面积为 19. (本小题满分 10 分) 【解析】 (1)时针:y1=60 +

1 .· · · · · · · · · · · · · · · 10 分 4

? x. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ?

分针:y2=6x.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

? ??? x=6x,解得 x= .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? ?? ?? 所以在 2∶00~2∶15 之间,时针与分针重合的时刻是 2∶10 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ?? ??? (注:写 2∶ 也可. ) ??
60+ (2)方法不惟一. 新高一入学考试数学试题参考答案及评分标准 第 1 页(共 4 页)

评分要点: 正确建立函数关系. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ?? ? (注:没有建立函数关系而直接利用方程求出时针与分针垂直的时刻是 7∶54 只得 2 分. ) ??
求出时针与分针垂直的时刻是 7∶54 20. (本小题满分 10 分) 【解析】 (1)4 5 6;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (2)不对. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ∵OP = 2,PQ = 3,OQ = 4,且 42≠32 + 22,即 OQ2≠PQ2 + OP2, ∴OP 与 PQ 不垂直.∴PQ 与⊙O 不相切. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (3)① 3; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? ②由①知,在⊙O 上存在点 P, P 到 l 的距离为 3,此时,OP 将不能再向下转动, 如图 3.OP 在绕点 O 左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是 P ? OP. 连结 P ? P,交 OH 于点 D. Q? H Q ∵PQ, P ? Q ? 均与 l 垂直,且 PQ = P ? Q? ? 3 , l ∴四边形 PQ Q ? P ? 是矩形.∴OH⊥P P ? ,PD = P ? D. 由 OP = 2,OD = OH ? HD = 1,得∠DOP = 60° . D ? ∴∠ PO = 120° . P P P? ∴ 所求最大圆心角的度数为 120° .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
O

图3

21. (本小题满分 15 分) 【解析】 (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,P 与 C 重合, ∴OB=OP , ∠BOC=∠BOG=90° 。 ∵PF⊥BG ,∠PFB=90° ,∴∠GBO=90° —∠BGO,∠EPO=90° —∠BGO。 ∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE(AAS) 。· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (2)

BF 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? 。· PE 2
证明如下: 如图,过 P 作 PM//AC 交 BG 于 M,交 BO 于 N, ∴ ∠PNE=∠BOC=900, ∠BPN=∠OCB。 ∵∠OBC=∠OCB =450, ∴ ∠NBP=∠NPB。 ∴ NB=NP。 ∵∠MBN=900—∠BMN, ∠NPE=900—∠BMN,∴ ∠MBN=∠NPE。 ∴ △BMN≌△PEN(ASA) 。∴ BM=PE。 ∵∠BPE=

∵PF⊥BM,∴ ∠BFP=∠MFP=900。

1 ∠ACB,∠BPN=∠ACB,∴ ∠BPF=∠MPF。 2 1 BM。 2

又∵PF=PF, ∴ △BPF≌△MPF(ASA) 。∴ BF=MF ,即 BF= ∴ BF=

1 BF 1 PE, 即 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 。· 2 PE 2

新高一入学考试数学试题参考答案及评分标准 第 2 页(共 4 页)

(3)如图,过 P 作 PM//AC 交 BG 于点 M,交 BO 于点 N, ∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=900。 由(2)同理可得 BF=

∵∠BNM=∠PNE=900,∴△BMN∽△PEN。 ∴

1 BM, ∠MBN=∠EPN。 2

BM BN 。 ? PE PN BN BM 2BF , ∴ = tan ? ,即 = tan ? 。 PN PE PE

在 Rt△BNP 中, tan ? = ∴

BF 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 分 = tan ? 。 · PE 2

22. (本小题满分 15 分) 【解析】

3 1 b 3 ? , b ? ,∴ a ? ? , 2 2 2a 2 1 1 3 3 2 2 把 A(4,0) , a ? ? 代入 y ? ax ? x ? c ,可得 (? ) ? 4 ? ? 4 ? c ? 0 ,解得 c=2, 2 2 2 2 1 2 3 则抛物线解析式为 y ? ? x ? x ? 2 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 2
(1)∵ x ? ? (2)如图 1,连接 CM,过 C 点作 CE⊥MH 于点 E,

1 2 3 x ? x ? 2 ,∴当 x=0 时,y=2,∴C 点的坐标是(0,2) , 2 2 设直线 AC 解析式为 y ? kx ? b ( k ? 0 ) ,
∵y??

1 ? ?4k ? b ? 0 ?k ? ? 把 A(4,0) 、C(0,2)代入 y ? kx ? b ,可得 ? ,解得: ? 2, b ? 2 ? ? ?b ? 2 1 ∴直线 AC 解析式为 y ? ? x ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2
∵点 M 在抛物线上,点 H 在 AC 上,MG⊥x 轴,

1 2 3 1 m ? m?2 ) ,H(m, ? m ? 2 ) , 2 2 2 1 2 3 1 1 2 ∴MH= ? m ? m ? 2 ? (? m ? 2) = ? m ? 2m , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 2 2 2
∴设点 M 的坐标为(m, ? ∵CM=CH,OC=GE=2, ∴MH=2EH= 2 ? [2 ? (? 又∵MH= ? ∴?

1 m ? 2)] ? m , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2

1 2 m ? 2m , 2

1 2 m ? 2m ? m ,即 m(m﹣2)=0,解得 m=2 或 m=0(不符合题意,舍去) ,· · · · · · · · · · · 8分 2 1 2 3 ∴m=2,当 m=2 时, y ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 3 , 2 2
∴点 M 的坐标为(2,3) ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 新高一入学考试数学试题参考答案及评分标准 第 3 页(共 4 页)

(3)存在点 P,使以 P,N,G 为顶点的三角形与△ABC 相似,理由为: ∵抛物线与 x 轴交于 A、B 两点,A(4,0) ,A、B 两点关于直线 x ? ∴B(﹣1,0) , ∵AC= 42 ? 22 = 2 5 ,BC= 12 ? 22 = 5 ,AB=5, ∴ AC 2 ? BC 2 = (2 5)2 ? ( 5)2 ? 25 , AB 2 ? 52 ? 25 , ∴ AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,∴△ABC 为直角三角形, ∴∠ACB=90° ,线段 MG 绕 G 点旋转过程中,与抛物线交于点 N,当 NP⊥x 轴时,∠NPG=90° , 设 P 点坐标为(n,0) ,则 N 点坐标为(n, ? ①如图 2,当

3 成轴对称, 2

1 2 3 n ? n?2) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 2

N1P PG 1 ? 1 时,∵∠N1P1G=∠ACB=90° ,∴△N1P1G∽△ACB, AC CB

1 3 ? n2 ? n ? 2 n?2 2 ? ∴ 2 ,解得: n1 ? 3 , n2 ? ?4 (不符合题意,舍去) , 2 5 5 1 2 3 当 n=3 时, y ? ? ? 3 ? ? 3 ? 2 ? 2 ,∴P 的坐标为(3,0) ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 2 2 N P PG ②当 2 2 ? 2 时, BC CA
∵∠N2P2G=∠BCA=90° , ∴△N2P2G∽△BCA,

1 3 ? n2 ? n ? 2 n?2 2 ? ∴ 2 ,解得: n1 ? 1 ? 7 , n2 ? 1 ? 7 (不符合题意,舍去) , 5 2 5
当 n ? 1 ? 7 时, y ? ?

1 3 7 ?1 ? (1 ? 7) 2 ? ? (1 ? 7) ? 2 = , 2 2 2

∴P 的坐标为( 1 ? 7 ,0) . 又∵点 P 在线段 GA 上,∴点 P 的纵坐标是 0, ∴存在点 P,当 P 的坐标为(3,0)或( 1 ? 7 ,0) ,使得以 P、N、G 为顶点的三角形与△ABC 相似. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 分

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