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浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学理试题


浙江省五校2013届高三第二次(4月)联考数学(理)试题
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

(C A) ? B ? ( 1.设集合 A ? { y | y ? sin x, x ? R} ,集合 B ? {x | y ? lg x} ,则 R
A. (??, ?1)

? (1, ??)

)

, B. [?11]

C. (1, ??)

D. [1, ??)

z1 z ? m ? 2i, z2 ? 3 ? 4i, 若 z2 为实数,则实数 m 的值为 2.已知复数 1
( )

8 A. 3

3 B. 2

8 C. 3 ?

?
D.

3 2

1 3. 程序框图如图所示, 其输出结果是 11 , 则判断框中所填的条件是 (
A. n ? 5 B. n ? 6 C. n ? 7 D. n ? 8



4.设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 l ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平 面 ? 内,且 b ? l ,则“ a ? b ”是“ ? ? ? ”的( A. 充分不必要条件 不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 ) C. 充要条件 D. 既

5. 设数列

{an } 为等差数列,其前n项和为 S n ,已知 a1 ? a4 ? a7 ? 99, a2 ? a5 ? a8 ? 93 , Sn ? Sk
成立,则k的值为( C.20 ) D.19

若对任意 n ? N * 都有 A.22

B.21

6.设 a ? 0, 且a ? 1 ,函数

f ( x) ? log a

x ?1 x ? 1 在 (1, ??) 单调递减,则 f ( x) (



A. (? , 1 在 ?? ) 上单调递减 C. (? , 1 在 ?? ) 上单调递减

上单调递减, (?1,1) 上单调递增 B. (? , 1 在 在 ?? )

) , 上单调递增, (? 在 1

上单调递增, (?1,1) 上单调递增 D. (? , 1 在 在 ?? )

上单调递减, (?1,1) 在

2? 7.已知圆 O 的半径为2, A、B 是圆上两点且 ?AOB ? 3 , MN 是一条直径,点 C 在圆 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ? OC ? ?OA ? (1 ? ? )OB (0 ? ? ? 1) ,则 CM ? CN 的最小值为( ) 内且满足
A.-2 B.-1 C.-3 D.-4

?y ? 0 ?x ? y ? 1 ? ? ?x ? 2 y ? 4 ? x ? my ? n ? 0 8.已知实数 x、y 满足 ? ,若该不等式组所表示的
5 平面区域是一个面积为 4 的直角三角形,则 n 的值是 ( 3 A. 2 ? 1 D. 2

)

B.-2

C.2

9.现需编制一个八位的序号,规定如下:序号由4个数字和2个x、1个y、1个z组成;2个x不 能连续出现,且y在z的前面;数字在0、1、2、…、9之间任选,可重复,且四个数字之积为 8.则符合条件的不同的序号种数有( A.12600 B.6300 ) C.5040 D.2520

2 10.如图,已知抛物线的方程为 x ? 2 py ( p ? 0) ,过点

A(0, ?1) 作直线 l 与抛物线相交于 P, Q 两点,点 B 的坐标
为 (0,1) ,连接 BP, BQ ,设 QB, BP 与 x 轴分别相交于

M , N 两点.如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为 ?3 ,
则 ?MBN 的大小等于( )

? A. 2

? B. 4

2? C. 3

? D. 3

二.填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.

? 3 ? ? [ , ? ],sin ? ?
11.已知

2

3 ,则 sin 2? =_______.

12.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为2,高为3,俯 视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是_______.
2 13. (1 ? x)(2 ? x ) 的展开式中 x 项的系数为_______.

4

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 14.已知双曲线 a 的渐近线与圆

x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 有交点,则该双曲线的离心率的取值
范围是___________. 15.已知正实数 x, y 满足 ln x ? ln y ? 0 ,且 k ( x ? 2 y ) ? x ? 4 y 恒成立,则 k 的最大值是
2 2

________.

x ? x ? [ x] x [ 16. x 为实数, x ] 为不超过实数 x 的最大整数, ? ? 设 记 , ? ? 的取值范围为 [0,1) , 则

?1? an ?1 ? ? ? a a ? a ? an ? ;当 an ? 0 时, an ?1 ? 0 .当 现定义无穷数列 ? n ? 如下: 1 ? ? ,当 an ? 0 时,

1 1 ?a? 3 2 时,对任意的自然数 n 都有 an ? a ,则实数 a 的值为
17.设函数



f ( x) ? x 2 ? x 2 ? ax ? 9

( a 为实数) ,在区间 (??, ?3) 和 (3, ??) 上单调递增,则

实数 a 的取值范围为______________.

三.解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分14分)
2 已知向量m= (2sin x,1) ,n= ( 3 cos x, 2cos x) ,函数 f ( x) ? m ? n ?t .

x ? [0, ] 2 上有解,求 t 的取值范围; (Ⅰ)若方程 f ( x) ? 0 在

?

f ( A) ? ?1, b ? c ? 2 时,求 a 的最小值.

(Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是A,B,C所对的边,当(Ⅰ)中的 t 取最大值且

19. (本题满分14分) 一个口袋中装有2个白球和 n 个红球( n ? 2 且 n ? N ) ,每次从袋中摸出两个球(每次 摸球后把这两个球放回袋中) ,若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖.
?

1 (Ⅰ) 摸球一次,若中奖概率为 3 ,求 n 的值;
(Ⅱ) 若 n ? 3 ,摸球三次,记中奖的次数为 ? ,试写出 ? 的分布列并求其期望.

20. (本题满分14分)

已知直角梯形 ABCD 中, AD ? DC , AD ? AB, ?CDE 是边长为2的等边三角形,

AB ? 5 .沿 CE 将 ?BCE 折起,使 B 至 B ' 处,且 B ' C ? DE ;然后再将 ?ADE 沿 DE 折
起,使 A 至 A ' 处,且面 A ' DE ? 面 CDE , ?B ' CE 和 ?A ' DE 在面 CDE 的同侧. (Ⅰ) 求证: B ' C ? 平面 CDE ; (Ⅱ) 求平面 B ' A ' D 与平面 CDE 所构成的锐二面角的余弦值.

21. (本题满分15分)

已知椭圆

C:

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2 ,且经过点 A(0, ?1) .

(Ⅰ)求椭圆的方程;

3 (0, ) (Ⅱ)如果过点 5 的直线与椭圆交于 M , N 两点( M , N 点与 A 点不重合) ,

求 AM ? AN 的值; 当 ?AMN 为等腰直角三角形时,求直线 MN 的方程.

???? ???? ?

22. (本题满分15分)

(ax ? 1) 2 1 f ( x) ? , x ? (0,1] x? 2. 2? x 已知函数 ,它的一个极值点是
(Ⅰ) 求 a 的值及 f ( x) 的值域; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? e ? 4 x ? 4 x ? a ,试求函数 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的零点的个数.
x


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