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2016年河北省邯郸一中提前招生考前模拟数学密卷(二)


2016 年河北省邯郸一中提前招生考前模拟数学密卷(二)
一、选择题(每题 5 分,共 12 小题) 1. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)设 a 为 ﹣ 的小数部分.则 ﹣ 的值为( ) ﹣ 的小数部分,b 为

A. + ﹣1 B. ﹣ +1 C. ﹣ ﹣1 D. + +1 2. (5 分) (2014?抚顺)如图,将足够大的等腰直角三

角板 PCD 的锐角顶点 P 放在另一个 等腰直角三角板 PAB 的直角顶点处, 三角板 PCD 绕点 P 在平面内转动, 且∠CPD 的两边始 终与斜边 AB 相交,PC 交 AB 于点 M,PD 交 AB 于点 N,设 AB=2,AN=x,BM=y,则能 反映 y 与 x 的函数关系的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

3. (5 分) (2012?岳阳)如图,两个边长相等的正方形 ABCD 和 EFGH,正方形 EFGH 的顶 点 E 固定在正方形 ABCD 的对称中心位置,正方形 EFGH 绕点 E 顺时针方向旋转,设它们 重叠部分的面积为 S,旋转的角度为 θ,S 与 θ 的函数关系的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

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4. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)如图,A、B 是双曲线上的点,A、B 两点的横坐标分 别是 a、2a,线段 AB 的延长线交 x 轴于点 C,若 S△ AOC=9.则 k 的值是( )

A.9 B.6 C.5 D.4 2 5. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)已知抛物线 y=ax +bx+c 的图象如图所示,则下列结 论:①abc>0;②a+b+c=2;③a< ;④b>1.其中正确的结论是( )

A.①②

B.②③

C.③④

D.②④ x+1 交 x 轴于点 A,交

6. (5 分) (2013?百色)如图,在平面直角坐标系中,直线 l:y=

y 轴于点 B, 点 A1、 A2、 A3, …在 x 轴上, 点 B1、 B2 、 B3, …在直线 l 上. 若△ OB1A1, △ A1B2A2, △ A2B3A3,…均为等边三角形,则△ A5B6A6 的周长是( )

A.24 B.48 C.96 D.192 7. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)如图,一次函数 y=ax+b 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点, 与反比例函数 y= 相交于 C、D 两点,分别过 C、D 两点作 y 轴、x 轴的垂线,垂足为 E、F, 连接 CF、 DE、 EF. 有下列三个结论: ①△ CEF 与△ DEF 的面积相等; ②△ DCE≌△CDF; ③AC=BD.其中正确的结论个数是( )

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A.0 B.1 C.2 D.3 8. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生) 如图, ABCD 为正方形, O 为 AC、 BD 的交点, △ DCE 为 Rt△ ,∠CED=90°,∠DCE=30°,若 OE= ,则正方形的面积为( )

A.5 B.4 C.3 D.2 9. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)如图,在 Rt△ ABC 中,∠A=90°,AB=3,AC=4,以 O 为圆心的半圆分别与 AB、AC 边相切于 D、E 两点,且 O 点在 BC 边上,则图中阴影部 分面积 S 阴=( )

A.

B.

C.5﹣ π

D.


2

10. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)若实数 a,b 满足 a﹣ab+b +2=0,则 a 的取值范围 是( ) A.a≤﹣2 B.a≥4 C.a≤﹣2 或 a≥4 D.﹣2≤a≤4 11. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)在下列图形中,各有一边长为 4cm 的正方形与一个 8cm×2cm 的长方形相重叠.问哪一个重叠的面积最大( )

A. B. C. D. 12. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)有四张正面分别标有数字﹣2,﹣6,2,6 的不透明 卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中抽取一张,将该卡
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片上的数字记为 a;不放回,再从中抽取一张,将该卡片上的数字记为 b,则使关于 x 的不 等式组 的解集中有且只有 3 个非负整数解的概率( B. C. D. )

A.

二、填空题(每题 5 分,共 6 小题) 13. (5 分) (2005?黑龙江)一次函数 y=kx+3 的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为 5, 则 k 的值为 . 14. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)已知|ab﹣2|+|a﹣1|=0,则 + +…+
2

=



15. (5 分) (2011?呼和浩特)若 x ﹣3x+1=0,则

的值为



16. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生) 已知实数 a, b, c 满足 a+b+c=10, 且 则 的值是 . +b +2b+1=0,则 a +
2 2



17. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)若 |b|= .



18. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生) 已知 M、 N 两点关于 y 轴对称, 且点 M 在双曲线 上,点 N 在直线 y=﹣x+3 上,设点 M 坐标为(a,b) ,则 y=﹣abx +(a+b)x 的顶点坐标 为 . 三、解答题 19. (15 分) (2016?邯郸校级自主招生)如图,△ AEF 中,∠EAF=45°,AG⊥EF 于点 G, 现将△ AEG 沿 AE 折叠得到△ AEB,将△ AFG 沿 AF 折叠得到△ AFD,延长 BE 和 DF 相交 于点 C. (1)求证:四边形 ABCD 是正方形; (2)连接 BD 分别交 AE、AF 于点 M、N,将△ ABM 绕点 A 逆时针旋转,使 AB 与 AD 重 合,得到△ ADH,试判断线段 MN、ND、DH 之间的数量关系,并说明理由. (3)若 EG=4,GF=6,BM=3 ,求 AG、MN 的长.
2

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20. (15 分) (2016?邯郸校级自主招生)为深化“携手节能低碳,共建碧水蓝天”活动,发展 “低碳经济”,某单位进行技术革新,让可再生资源重新利用.今年 1 月份,再生资源处理量 为 40 吨,从今年 1 月 1 日起,该单位每月再生资源处理量每一个月将提高 10 吨.月处理成 本(元)与月份之间的关系可近似地表示为:p=50x +100x+450,每处理一吨再生资源得到 的新产品的售价定为 100 元. 若该单位每月再生资源处理量为 y (吨) , 每月的利润为 w (元) . (1)分别求出 y 与 x,w 与 x 的函数关系式; (2)在今年内该单位哪个月获得利润达到 5800 元? 21. (15 分) (2016?邯郸校级自主招生)已知关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x +(2﹣3a) x+3=0. (1)求证:当 a 取不等于 1 的实数时,此方程总有两个实数根; (2)若 m,n(m<n)是此方程的两根,并且 .直线 l:y=mx+n 交 x 轴于点 A,交 的图象上,求反比例函数
2 2

y 轴于点 B.坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 O′在反比例函数 的解析式;

(3)在(2)成立的条件下,将直线 l 绕点 A 逆时针旋转角 θ(0°<θ<90°) ,得到直线 l′, l′交 y 轴于点 P,过点 P 作 x 轴的平行线,与上述反比例函数 形 APQO′的面积为 时,求 θ 的值. 的图象交于点 Q,当四边

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22. (15 分) (2016?邯郸校级自主招生)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,直线 y=x+3 交 x 轴于 A 点,交 y 轴于 B 点,过 A、B 两点的抛物线 y=﹣x +bx+c 交 x 轴于另一点 C,点 D 是抛物线的顶点. (1)求此抛物线的解析式; (2)点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一点, (不与点 A、B 重合) ,过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H,交直线 AB 于点 F,作 PG⊥AB 于点 G.求出△ PFG 的周长最大值; (3)在抛物线 y=ax +bx+c 上是否存在除点 D 以外的点 M,使得△ ABM 与△ ABD 的面积 相等?若存在,请求出此时点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
2 2

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2016 年河北省邯郸一中提前招生考前模拟数学密卷 (二)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 12 小题) 1. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)设 a 为 ﹣ A. + 的小数部分.则 ﹣ 的值为( ﹣1 B. ﹣ ﹣ +1 C. ﹣ ) ﹣1 D. + +1 ﹣ 的小数部分,b 为

【解答】解:∵ = = = = , ﹣

∴a 的小数部分= ∵ = = = , ∴b 的小数部分= ∴ ﹣ = = = = 故选 B. ﹣

﹣1;

﹣2,



2. (5 分) (2014?抚顺)如图,将足够大的等腰直角三角板 PCD 的锐角顶点 P 放在另一个 等腰直角三角板 PAB 的直角顶点处, 三角板 PCD 绕点 P 在平面内转动, 且∠CPD 的两边始 终与斜边 AB 相交,PC 交 AB 于点 M,PD 交 AB 于点 N,设 AB=2,AN=x,BM=y,则能 反映 y 与 x 的函数关系的图象大致是( )

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A.

B.

C.

D.

【解答】解:作 PH⊥AB 于 H,如图, ∵△PAB 为等腰直角三角形, ∴∠A=∠B=45°,AH=BH= AB=1, ∴△PAH 和△ PBH 都是等腰直角三角形, ∴PA=PB= AH= ,∠HPB=45°, ∵∠CPD 的两边始终与斜边 AB 相交,PC 交 AB 于点 M,PD 交 AB 于点 N, 而∠CPD=45°, ∴1≤AN≤2,即 1≤x≤2, ∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°,∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°, ∴∠2=∠BPM, 而∠A=∠B, ∴△ANP∽△BPM, ∴ = ,即 = ,

∴y= , ∴y 与 x 的函数关系的图象为反比例函数图象,且自变量为 1≤x≤2. 故选:A.

3. (5 分) (2012?岳阳)如图,两个边长相等的正方形 ABCD 和 EFGH,正方形 EFGH 的顶 点 E 固定在正方形 ABCD 的对称中心位置,正方形 EFGH 绕点 E 顺时针方向旋转,设它们 重叠部分的面积为 S,旋转的角度为 θ,S 与 θ 的函数关系的大致图象是( )

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A.

B.

C.

D.

【解答】解:如右图,过点 E 作 EM⊥BC 于点 M,EN⊥AB 于点 N, ∵点 E 是正方形的对称中心, ∴EN=EM, 由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL, 在 Rt△ ENK 和 Rt△ EML 中, ,

故可得△ ENK≌△EML,即阴影部分的面积始终等于正方形面积的 . 故选 B.

4. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)如图,A、B 是双曲线上的点,A、B 两点的横坐标分 别是 a、2a,线段 AB 的延长线交 x 轴于点 C,若 S△ AOC=9.则 k 的值是( )

A.9 B.6 C.5 D.4 【解答】解:作 AD⊥x 轴于 D,BE⊥x 轴于 E,如图,

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设反比例函数解析式为 y= (k>0) , ∵A、B 两点的横坐标分别是 a、2a, ∴A、B 两点的纵坐标分别是 、 ∵AD∥BE, ∴△CEB∽△CDA, ,



=

=

= ,

∴DE=CE, ∵OD:OE=a:2a=1:2, ∴OD=DE, ∴OD= OC, ∴S△ AOD= S△ AOC= ×9=3, ∴ |k|=3, 而 k>0, ∴k=6. 故选 B.

5. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)已知抛物线 y=ax +bx+c 的图象如图所示,则下列结 论:①abc>0;②a+b+c=2;③a< ;④b>1.其中正确的结论是( )

2

A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 【解答】解:①∵抛物线的开口向上,∴a>0, ∵与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上,∴c<0,
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∵对称轴为 x= ∴abc<0, 故本选项错误;

<0,∴a、b 同号,即 b>0,

②当 x=1 时,函数值为 2, ∴a+b+c=2; 故本选项正确;

③∵对称轴 x= 解得: <a, ∵b>1, ∴a> , 故本选项错误;

>﹣1,

④当 x=﹣1 时,函数值<0, 即 a﹣b+c<0, (1) 又 a+b+c=2, 将 a+c=2﹣b 代入(1) , 2﹣2b<0, ∴b>1 故本选项正确; 综上所述,其中正确的结论是②④; 故选 D.

6. (5 分) (2013?百色)如图,在平面直角坐标系中,直线 l:y=

x+1 交 x 轴于点 A,交

y 轴于点 B, 点 A1、 A2、 A3, …在 x 轴上, 点 B1、 B2 、 B3, …在直线 l 上. 若△ OB1A1, △ A1B2A2, △ A2B3A3,…均为等边三角形,则△ A5B6A6 的周长是( )

A.24 B.48 【解答】解:∵点 A(﹣ ∴OA= ,OB=1, ∴tan∠OAB= = ,

C.96 D.192 ,0) ,点 B(0,1) ,

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∴∠OAB=30°, ∵△OA1B1、△ A1B2A2、△ A2B3A3…均为等边三角形, ∴∠A1OB1=∠A2A1B2=∠A3A2B3=60°, ∴∠OB1A=∠A1B2A=∠A2B3A=∠OAB=30°, ∴OB1=OA= ,A1B2=A1A,A2B3=A2A, ∴OA1=OB1= ,OA2=OA1+A1A2=OA1+A1B2= +2 =3 同理:OA3=7 ,OA4=15 ,OA5=31 ,OA6=63 , 则 A5A6=OA6﹣OA5=32 . 则△ A5B6A6 的周长是 96 , 故选 C.



7. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)如图,一次函数 y=ax+b 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点, 与反比例函数 y= 相交于 C、D 两点,分别过 C、D 两点作 y 轴、x 轴的垂线,垂足为 E、F, 连接 CF、 DE、 EF. 有下列三个结论: ①△ CEF 与△ DEF 的面积相等; ②△ DCE≌△CDF; ③AC=BD.其中正确的结论个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

【解答】解:①设 D(x, ) ,则 F(x,0) , 由图象可知 x>0,k>0, ∴△DEF 的面积是 × ×x= k, 同理可知:△ CEF 的面积是 k, ∴△CEF 的面积等于△ DEF 的面积, ∴①正确; ②条件不足,无法证出两三角形全等的条件, ∴②错误; ③∵△CEF 的面积等于△ DEF 的面积, ∴边 EF 上的高相等, ∴CD∥EF, ∵BD∥EF,DF∥BE, ∴四边形 BDFE 是平行四边形, ∴BD=EF, 同理 EF=AC, ∴AC=BD,
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∴③正确;正确的有 2 个. 故选:C. 8. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生) 如图, ABCD 为正方形, O 为 AC、 BD 的交点, △ DCE 为 Rt△ ,∠CED=90°,∠DCE=30°,若 OE= ,则正方形的面积为( )

A.5 B.4 C.3 D.2 【解答】解:如图,过点 O 作 OM⊥CE 于 M,作 ON⊥DE 交 ED 的延长线于 N, ∵∠CED=90°, ∴四边形 OMEN 是矩形, ∴∠MON=90°, ∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM, ∴∠COM=∠DON, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴OC=OD, 在△ COM 和△ DON 中,

∴△COM≌△DON(AAS) , ∴OM=ON, ∴四边形 OMEN 是正方形, 设正方形 ABCD 的边长为 2a, ∵∠DCE=30°,∠CED=90° ∴DE=a,CE= a, 设 DN=x,x+DE=CE﹣x,解得:x= ∴NE=x+a= ∵OE= ∴ ∴a=1, ∴S 正方形 ABCD=4 故选 B. NE, = ? , , ,

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9. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)如图,在 Rt△ ABC 中,∠A=90°,AB=3,AC=4,以 O 为圆心的半圆分别与 AB、AC 边相切于 D、E 两点,且 O 点在 BC 边上,则图中阴影部 分面积 S 阴=( )

A.

B.

C.5﹣ π

D.



【解答】解:连接 OD,OE,设⊙O 与 BC 交于 M、N 两点, ∵以 O 为圆心的半圆分别与 AB、AC 边相切于 D、E 两点, ∴OD⊥AB,OE⊥AC, 即∠ADO=∠AEO=90°, ∵在 Rt△ ABC 中,∠A=90°, ∴四边形 ADOE 是矩形, ∵OD=OE, ∴四边形 ADOE 是正方形, ∴∠DOE=90°, ∴∠DOM+∠EON=90°, 设 OE=x,则 AE=AD=OD=x,EC=AC﹣AE=4﹣x, ∵△COE∽△CBA, ∴ 即 解得:x= , , ,

∴S 阴影=S△ ABC﹣S 正方形 ADOE﹣(S 扇形 DOM+S 扇形 EON) = ×3×4﹣( = ﹣ )﹣ .
2

故选 D.
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10. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)若实数 a,b 满足 a﹣ab+b +2=0,则 a 的取值范围 是( ) A.a≤﹣2 B.a≥4 C.a≤﹣2 或 a≥4 D.﹣2≤a≤4 【解答】解:∵b 是实数, ∴关于 b 的一元二次方程 b ﹣ab+ a+2=0, △ =(﹣a) ﹣4×1×( a+2)≥0 解得:a≤﹣2 或 a≥4; ∴a 的取值范围是 a≤﹣2 或 a≥4. 故选 C. 11. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)在下列图形中,各有一边长为 4cm 的正方形与一个 8cm×2cm 的长方形相重叠.问哪一个重叠的面积最大( )
2 2

2

A.

B.
2 2

C.

D. ,S 阴影=4×4﹣2× ×(4﹣ ) (4﹣ )

【解答】解:A、S 阴影=2×4=8(cm ) ; B、如图所示:根据勾股定理知,2x =4,所以 x=

=

﹣2(cm ) ;

2

C、图 C,逆时针旋转 90°,并从后面看,可与图 D 对比,因为图 C 的倾斜度比图 D 的倾斜 度小,所以,图 C 的底比图 D 的底小,两图为等高不等底,所以图 C 阴影部分的面积小于 图 D 阴影部分的面积. D、如图:设阴影部分平行四边形的底为 x,所以,直角三角形的短直角边是 因为正方形的面积=阴影部分的面积+两个空白三角形的面积,
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所以, ×4× =2× 因为, 即 = ≈1.414, ﹣2>

×2+2x=16,解得 x=

,S 阴影

≈2.646,所以,

﹣2≈9.312,

≈8.775;

,图 B 阴影的面积大于图 D 阴影的面积;

又因为图 A、图 C、图 D 中阴影部分四边形为等高不等底,因为图 D 阴影的倾斜度最大, 所以图 D 中阴影部分的底最大; 故选 B 12. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)有四张正面分别标有数字﹣2,﹣6,2,6 的不透明 卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中抽取一张,将该卡 片上的数字记为 a;不放回,再从中抽取一张,将该卡片上的数字记为 b,则使关于 x 的不 等式组 的解集中有且只有 3 个非负整数解的概率( B. C. D. )

A.

【解答】解:根据题意列出树状图得:

则(a,b)的等可能结果有: (﹣2,﹣6) , (﹣2,2) , (﹣2,6) , (﹣6,﹣2) , (﹣6,2) , (﹣6,6) , (2,﹣2) , (2,6) , (2,﹣6) , (6,﹣2) , (6,2) , (6,﹣6)共 12 种;

解①得:x<7,当 a>0, 解②得: ,

根据不等式组的解集中有且只有 3 个非负整数解, 则 3<x<7 时符合要求,故 , ,

即 b=6,a=2 符合要求,当 a<0,解②得:

根据不等式组的解集中有且只有 3 个非负整数解, 则 x<3 时符合要求,故 ,即 b=﹣6,a=﹣2 符合要求,

故所有组合中只有 2 种情况符合要求, ∴使关于 x 的不等式组 的解集中有且只有 3 个非负整数解的概率为: .

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故选 A. 二、填空题(每题 5 分,共 6 小题) 13. (5 分) (2005?黑龙江)一次函数 y=kx+3 的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为 5, 则 k 的值为 或 .

【解答】解:在 y=kx+3 中令 x=0,得 y=3, 则函数与 y 轴的交点坐标是: (0,3) ; 设函数与 x 轴的交点坐标是(a,0) , 2 2 根据勾股定理得到 a +3 =25, 解得 a=±4; 当 a=4 时,把(4,0)代入 y=kx+3,得 k=﹣ ; 当 a=﹣4 时,把(﹣4,0)代入 y=kx+3,得 k= . 故 k 的值为 或 .

14. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)已知|ab﹣2|+|a﹣1|=0,则 + +…+ = .

【解答】解:∵|ab﹣2|≥0,|a﹣1|≥0,且|ab﹣2|+|a﹣1|=0, ∴ab﹣2=0 且 a﹣1=0,解得 ab=2 且 a=1, 把 a=1 代入 ab=2 中,解得 b=2, 则原式=(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+…+( 故答案为: ﹣ )=1﹣ = .

15. (5 分) (2011?呼和浩特)若 x ﹣3x+1=0,则 【解答】解:由已知 x ﹣3x+1=0 变换得 x =3x﹣1 2 将 x =3x﹣1 代入 = = =
2 2

2

的值为



=

=

= 故答案为 .

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16. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生) 已知实数 a, b, c 满足 a+b+c=10, 且 则 的值是 .



【解答】解∵a+b+c=10, ∴a=10﹣(b+c) ,b=10﹣(a+c) ,c=10﹣(a+b) , ∴ = = = ∵ ∴原式= 故填: ×10﹣3= . ﹣ ﹣1+ + + + ﹣ ﹣1+ ﹣3, , ﹣3= . + ﹣1 ﹣

17. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生)若 【解答】解:∵ ∴
2

+b +2b+1=0,则 a +

2

2

﹣|b|=

0



+b +2b+1=0, +(b+1) =0,

2

∴a﹣1=0,b+1=0, ∴a=1,b=﹣1, ∴a +
2

﹣|b|=0.

故答案为:0. 18. (5 分) (2016?邯郸校级自主招生) 已知 M、 N 两点关于 y 轴对称, 且点 M 在双曲线 上,点 N 在直线 y=﹣x+3 上,设点 M 坐标为(a,b) ,则 y=﹣abx +(a+b)x 的顶点坐标 为 (± , ) .
2

【解答】解:∵M、N 两点关于 y 轴对称, ∴M 坐标为(a,b) ,N 为(﹣a,b) ,分别代入相应的函数中得,b= ∴ab= , (a+b) =(a﹣b) +4ab=11,a+b=±
2 2

①,a+3=b②,



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∴y=﹣ x ±

2

x,

∴顶点坐标为( 故答案为: (± ,

=± ) .



=

) ,即(±



) .

三、解答题 19. (15 分) (2016?邯郸校级自主招生)如图,△ AEF 中,∠EAF=45°,AG⊥EF 于点 G, 现将△ AEG 沿 AE 折叠得到△ AEB,将△ AFG 沿 AF 折叠得到△ AFD,延长 BE 和 DF 相交 于点 C. (1)求证:四边形 ABCD 是正方形; (2)连接 BD 分别交 AE、AF 于点 M、N,将△ ABM 绕点 A 逆时针旋转,使 AB 与 AD 重 合,得到△ ADH,试判断线段 MN、ND、DH 之间的数量关系,并说明理由. (3)若 EG=4,GF=6,BM=3 ,求 AG、MN 的长.

【解答】 (1)证明:∵△AEB 由△ AED 翻折而成, ∴∠ABE=∠AGE=90°,∠BAE=∠EAG,AB=AG, ∵△AFD 由△ AFG 翻折而成, ∴∠ADF=∠AGF=90°,∠DAF=∠FAG,AD=AG, ∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°, ∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°, ∴四边形 ABCD 是矩形, ∵AB=AD, ∴四边形 ABCD 是正方形; (2)MN =ND +DH , 理由:连接 NH, ∵△ADH 由△ ABM 旋转而成, ∴△ABM≌△ADH, ∴AM=AH,BM=DH, ∵由(1)∠BAD=90°,AB=AD, ∴∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°,
2 2 2

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∴△AMN≌△AHN, ∴MN=NH, 2 2 2 ∴MN =ND +DH ; (3)设 AG=BC=x,则 EC=x﹣4,CF=x﹣6, 在 Rt△ ECF 中, 2 2 2 2 2 ∵CE +CF =EF ,即(x﹣4) +(x﹣6) =100,x1=12,x2=﹣2(舍去) ∴AG=12, ∵AG=AB=AD=12,∠BAD=90°, ∴BD= = =12 ,

∵BM=3 , ∴MD=BD﹣BM=12 ﹣3 =9 , 设 NH=y, 在 Rt△ NHD 中, 2 2 2 2 2 ∵NH =ND +DH ,即 y =(9 ﹣y) +(3

) ,解得 y=5

2

,即 MN=5



20. (15 分) (2016?邯郸校级自主招生)为深化“携手节能低碳,共建碧水蓝天”活动,发展 “低碳经济”,某单位进行技术革新,让可再生资源重新利用.今年 1 月份,再生资源处理量 为 40 吨,从今年 1 月 1 日起,该单位每月再生资源处理量每一个月将提高 10 吨.月处理成 2 本(元)与月份之间的关系可近似地表示为:p=50x +100x+450,每处理一吨再生资源得到 的新产品的售价定为 100 元. 若该单位每月再生资源处理量为 y (吨) , 每月的利润为 w (元) . (1)分别求出 y 与 x,w 与 x 的函数关系式; (2)在今年内该单位哪个月获得利润达到 5800 元? 【解答】解: (1)设 y=kx+b, 根据题意,将(1,40) , (2,50)代入 y=kx+b, 得: 解得: , ,

故每月再生资源处理量 y(吨)与 x 月份之间的关系式为:y=10x+30, w=100y﹣p
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=100(10x+30)﹣(50x +100x+450) 2 =﹣50x +900x+2550; 2 (2)由﹣50x +900x+2550=5800 得: 2 x ﹣18x+65=0 ∴x1=13,x2=5 ∵x≤12, ∴x=5, ∴在今年内该单位第 5 个月获得利润达到 5800 元. 21. (15 分) (2016?邯郸校级自主招生)已知关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x +(2﹣3a) x+3=0. (1)求证:当 a 取不等于 1 的实数时,此方程总有两个实数根; (2)若 m,n(m<n)是此方程的两根,并且 .直线 l:y=mx+n 交 x 轴于点 A,交 的图象上,求反比例函数
2

2

y 轴于点 B.坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 O′在反比例函数 的解析式;

(3)在(2)成立的条件下,将直线 l 绕点 A 逆时针旋转角 θ(0°<θ<90°) ,得到直线 l′, l′交 y 轴于点 P,过点 P 作 x 轴的平行线,与上述反比例函数 形 APQO′的面积为 时,求 θ 的值. 的图象交于点 Q,当四边

【解答】 (1)证明:∵方程(a﹣1)x +(2﹣3a)x+3=0 是一元二次方程, ∴a﹣1≠0,即 a≠1.
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2

∴△=(2﹣3a) ﹣4×(a﹣1)×3=(3a﹣4) ,而(3a﹣4) ≥0, ∴△≥0. 所以当 a 取不等于 1 的实数时,此方程总有两个实数根; (2)解:∵m,n(m<n)是此方程的两根, ∴m+n=﹣ ∵ ∴﹣ , = , ,mn= = , .

2

2

2

∴a=2,即可求得 m=1,n=3. ∴y=x+3,则 A(﹣3,0) ,B(0,3) , ∴△ABO 为等腰直角三角形, ∴坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 O′的坐标为 (﹣3, 3) , 把 (﹣3, 3) 代入反比例函数 得 k=﹣9, 所以反比例函数的解析式为 y=﹣ ; ,

(3)解:设点 P 的坐标为(0,p) ,延长 PQ 和 AO′交于点 G. ∵PQ∥x 轴,与反比例函数图象交于点 Q, ∴四边形 AOPG 为矩形. ∴Q 的坐标为(﹣ ,p) , ∴G(﹣3,P) , 当 0°<θ<45°,即 p>3 时, ∵GP=3,GQ=3﹣ ,GO′=p﹣3,GA=p, ∴S 四边形 APQO′=S△ APG﹣S△ QGO′= ×p×3﹣ ×(3﹣ )×(p﹣3)=9﹣ ∴ =9﹣ , ,

∴p= . (合题意) ∴P(0, ) .则 AP=6,OA=3, 所以∠PAO=60°,∠θ=60°﹣45°=15°; 当 θ=45°时,直线 l 于 y 轴没有交点; 当 45°<θ<90°,则 p<﹣3, 用同样的方法也可求得 p= ,这与 p<﹣3 相矛盾,舍去. 所以旋转角度 θ 为 15°.

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22. (15 分) (2016?邯郸校级自主招生)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,直线 y=x+3 交 x 2 轴于 A 点,交 y 轴于 B 点,过 A、B 两点的抛物线 y=﹣x +bx+c 交 x 轴于另一点 C,点 D 是抛物线的顶点. (1)求此抛物线的解析式; (2)点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一点, (不与点 A、B 重合) ,过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H,交直线 AB 于点 F,作 PG⊥AB 于点 G.求出△ PFG 的周长最大值; 2 (3)在抛物线 y=ax +bx+c 上是否存在除点 D 以外的点 M,使得△ ABM 与△ ABD 的面积 相等?若存在,请求出此时点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

【解答】解: (1)∵直线 AB:y=x+3 与坐标轴交于 A(﹣3,0) 、B(0,3) , 代入抛物线解析式 y=﹣x +bx+c 中 ∴ ∴抛物线解析式为:y=﹣x ﹣2x+3; (2)∵由题意可知△ PFG 是等腰直角三角形, 2 设 P(m,﹣m ﹣2m+3) ,
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2 2



∴F(m,m+3) , ∴PF=﹣m ﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m ﹣3m, 2 2 △ PFG 周长为:﹣m ﹣3m+ (﹣m ﹣3m) , =﹣( +1) (m+ ) +
2 2 2

, .

∴△PFG 周长的最大值为:

(3)点 M 有三个位置,如图所示的 M1、M2、M3,都能使△ ABM 的面积等于△ ABD 的面 积. 此时 DM1∥AB,M3M2∥AB,且与 AB 距离相等, ∵D(﹣1,4) , ∴E(﹣1,2) 、则 N(﹣1,0) ∵y=x+3 中,k=1, ∴直线 DM1 解析式为:y=x+5, 直线 M3M2 解析式为:y=x+1, 2 2 ∴x+5=﹣x ﹣2x+3 或 x+1=﹣x ﹣2x+3, ∴x1=﹣1,x2=﹣2,x3= ∴M1(﹣2,3) ,M2( ,x4= , , ) ,M3( , ) .

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