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江苏省2008年普通高校对口单招文化统考数学试卷B


江苏省 2008 年普通高校单独招生统一考试



学 试卷(B)
第I卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分。每小题列出的四个选项中, 只有一项是符合要求的)
1. 已知集合 A ? ? x
x ? 2 ? 1 ,B ?

?

?x

x ? 2 ? ,则 A ? B ?

( D.



A. ? x 2 ? x ? 3 ? 2. a ? 1 是 a
2

B.

?x

1? x ? 2?

C.

?x

x ? 2?

?x

x ? 3?

? a 的

( B. 必要而非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 ( D.
? 12 13

)

A.充要条件 C. 充分而非必要条件 3. 已知 cos ? ? A.
12 13 5 13

, ? 是第四象限的角,则 sin( ? ? ? ) ? B.
5 13



C.

?

5 13

4.下列函数在 ( 0 , ? ? ) 内是单调递增的是 A. y ? ? x
2

( C.
y ? ( 1 4 )
x



B.

y ? s i nx

D.

y ? l o g2 x

5.已知数列 ? a n ? 满足 a n ? 1 ? 2 a n ,且 a 2 ? 3 ,则 a 5 ? A. 12 B. 48 C.
24

( D.
9



6.设向量 a ? ( 3 , k ), b ? ( ? 1, 3 ), 已知 a ? b ? 0 ,则 k ? A. 2 B. 1
?
4

( D.
0



C.

?2

7.已知函数 y ? 2 cos( 3 x ? A. ? B.

) ,则其周期为

( C.
2?



2? 3

D.

8?

8.在下列条件中,可判定两直线平行的是 A.两直线平行于同一平面 C. 两直线垂直于同一平面

( B. 两直线垂直于同一条直线 D. 两直线分别在两平行平面内 (



9.若直线 x ? ay ? a ? 0 与直线 ax ? ( 2 a ? 3 ) y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? A. 2 或 0 B. ? 3 或 1 C.
2



D.

1 或0

10.由 0,1, 2, 3, 4, 5 可组成无重复数字的二位数有 A. 25 个 B. 30 个 C.
15 个

( D.
10 个



-1-

11.已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率 e ?

5 2

,则它的渐近线方程为





A. y ? ? 2 x

B. y ? ?

3 4

x

C.

y ? ?

5 2

x

D.

y ? ?

1 2

x

12.设函数 f ( x ) 是周期为 5 的周期函数且为偶函数,已知 f ( ? 1) ? 3 ,则 f ( 6 ) ? A. ? 3 B. 0 C.
3





D.

?1

第 II 卷
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在题中的横线上)
13.设复数 z ? 2 ? 5 i ,则 2 z z ? 14.已知函数 f ( x ) 的定义域为 [ 15. 若 cos 2? ?
1 5
4

.
, 4 ] ,则函数 f ( log
4

1 2

2

x ) 的定义域为

.

,则 cos ? ? sin ? ?

. . .

16.抛掷一枚硬币 3 次,则至少有 1 次正面向上的概率为

17.设 S n 表示等差数列 ? a n ? 中前 n 项的和,已知 S 5 ? 30 ,则 a 3 ?
2 2

18.设直线过点 ( 0 , a ) ,其斜率为 1,且与圆 C : x ? y ? 2 相切,切点在第二象限,则
a ?

.

三、解答题(本大题共 7 小题,共 78 分)
19. (本题满分 9 分) 解不等式 (
1 2 )
?x ?2x
2

? 2

2 x?3

.

20. 本题满分 9 分) ( 在△ ABC 中, 已知 ? A ? 120 ,AB ? 5 , AC ? 6 , 求边 BC 的长及△ ABC
0

的面积.

21. (本题满分 14 分)一名枪手击中目标的概率是 0 . 9 . 他连打 3 枪, 设 X 表示击中目标的次数. 求 (1) P ( X ? 1) ; (2) X 的分布率; (3) E ( X ).

-2-

22. (本题满分 14 分) 有甲、 乙两种商品, 经营销售这两种商品所能获得的利润依此是 p 和 q(万 元) ,它们与投入资金 x (万元)的关系有经验公式:
p ? 1 5 x, q ? 3 5 x .

今有 3 万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别 应为多少?能获得多大的利润?

23. (本题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中, BC ? CC 1 ? 2 , AC ? AB ?
BF ? AB
1

2,

(1) 求证: BF ⊥ AC ; (2)求点 B 到平面 AB 1 C 的距离;

(3)求二面角 B ? B 1 C ? A 的大小(用反三角函数表示).

24. (本题满分 14 分)已知抛物线 x ? 2 py ( p ? 0 ) 的焦点与椭圆 4 x ? 2 y ? 1 的一个焦点
2 2 2

重合,一斜率为 ? 1 的动直线 l 与此抛物线交于不同的两点 B , C . (1) 求此抛物线的方程; (2) 若 BC ? 4 ,求直线 l 与 y 轴交点纵坐标的取值范围; (3) 当直线 l 过抛物线焦点 F 时,弦 BC 的垂直平分线交 BC 于 M ,交 y 轴于 N ,试求 △ FMN 的面积.

25. (本题满分 6 分)设向量 a ? ( x 1 , y 1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) ,现定义一种向量的新运算“ ? ” :
a ? b ? ( x 1 y 2 ? x 2 y 1 , x 2 ? y 2 ) .(1)求 ( 3 , 2 ) ? (1, ? 2 ) ; (2)求

( 2 , 1) ? (1, 3 ) .

-3-

江苏省 2008 年普通高校单独招生统一考试

《数学》试卷(B)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 D 5 C 6 B 7 B 8 C 9 A 10 A 11 D 12 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 13. 58 14. [ 2,16 ] 15.
1 5

16.

7 8

17. 6

18. 2

三、解答题(本大题共 7 小题, ,共 78 分) 19. 解:原不等式可化为
2

2

2 x ?2 x

? 2

2 x?3



………….….4 分

从而得 x ? 2 x ? 2 x ? 3 ,即 x ? 4 x ? 3 ? 0 , ( x ? 1)( x ? 3 ) ? 0 ,
2

解得 1 ? x ? 3 . 20. 解:由余弦定理得 BC
2

……………………………….5 分
? AB
2 2

? AC
2

2

? 2 ? AB ? AC ? cos ? A
0

? 5 ? 6 ? 2 ? 5 ? 6 ? cos 120

? 91 ,

所以, BC ?
1 2

91 ,
1 2
3

………………………….…….5 分
15 2 3

S ? ABC ?

AB ? AC ? sin ? A ?

? 5 ? 6 ? sin 120

0

?

.

……….…….….4 分 ……………………4 分
2

21. 解: (1) P ( X ? 1) ? 1 ? P ( X ? 0 ) ? 1 ? 0 . 1 ? 0 . 999 ;
3
1

(2) P ( X ? 0 ) ? 0 . 1 ? 0 . 001 , P ( X ? 1) ? C 3 ? 0 . 9 ? 0 . 1 ? 0 . 027 ,
P ( X ? 2 ) ? C 3 ? 0 . 9 ? 0 . 1 ? 0 . 243 , P ( X ? 3 ) ? 0 . 9 ? 0 . 729 ,
2 2

3

所以。 X 的分布率为
X p

0 0.001

1 0.027

2 0.243

3 0.729 …………..……….6 分

(3)

E ( X ) ? 0 ? 0 . 001 ? 1 ? 0 . 027 ? 2 ? 0 . 243 ? 3 ? 0 . 729 ? 2 . 7 .

……..…….…4 分

22. 解:设经营甲商品投入资金 x 万元,则经营乙商品投入资金 ( 3 ? x ) 万元,能获得的利润为
y 万元,则

y ?

1 5

x?

3 5

3? x .



………5 分

-4-

设 3 ? x ? t ( t ? 0 ) ,则 x ? 3 ? t ,代入①得
2

y ?

1 5

(3 ? t ) ?
2

3 5

t ? ? 21 20

1 5

t

2

?

3 5

t?

3 5

? ? 3 2

1 5

(t ?

3 2

) ?
2

21 20

,

………………….5 分

所以当 t ?

3 2

时, y 最大 ?

,由 3 ? x ?

, 得x ?

3 4

. 即甲商品投入资金 0 . 75 万元,对乙商 …………………………4 分

品投入资金 2 . 25 万元,获得最大利润 1 . 05 万元.

23. (1)证明:在 ? ABC 中,由 AC ? AB ?

2 及 BC ? 2 可知 ? CAB ? 90 ,即
0

AC ? AB ,又已知 B 1 B ? 底面 ABC ,所以 B 1 B ? AC ,即 AC ? B 1 B ,

所以 AC ? 面 ABB 1 A 1 ,又因为 BF 在平面 ABB 1 A 1 内,所以 BF ? AC . ………..4 分 (2) 解:由(1)知 BF ? AC ,又已知 BF ? AB 1 ,所以 BF ? 面 AB 1 C ,即 BF 为
1 2 1 2

点 B 平面 AB 1 C 的距离. 由

BF ? AB 1 ?

AB ? BB 1 可得 BF ?

2 3 3

.

…………….4 分

(3) 解:取 B 1 C 的中点为 E ,连接 BE , EF . 由于 BB 1 ? CC 1 ? BC ,所以 BE ? B 1 C , 又由(2)知 BF ? 面 AB 1 C ,所以 B 1 C ? BF ,结合 BE ? B 1 C 可知
B 1 C ? 面 EFB ,从而 B 1 C ? EF ,因此 ? FEB 即为二面角 B ? B 1 C ? A 的平面角,在直角三
BF BE
2 2

角形 EFB 中, sin ? FEB ?

?

6 3

,所以 ? FEB ? arcsin
1 2 ) , (0, ? 1 2

6 3

. …….……..4 分
p 2 ? 1 2

24. (1) 解:椭圆 4 x ? 2 y ? 1 的焦点为 ( 0 , 所以,该抛物线方程为 x ? 2 y .
2

) ,由题意得

,即 p ? 1 ,

???????????? 4 分

(2) 解:设 B ( x 1 , y 1 ), C ( x 2 , y 2 ) ,直线 l 与 y 轴交点为 ( 0 , a ) ,则直线 l 的方程可表 示为 y ? ? x ? a , 由?
? y ? ?x ? a ? x
2

? 2y

得 x ? 2 x ? 2 a ? 0 ,根据题意 ? ? 4 ? 8 a ? 0 ,即 a ? ?
2

1 2

.

...①

又 x 1 ? x 2 ? ? 2 , x 1 x 2 ? ? 2 a ,所以
BC ? 2 ? x1 ? x 2 ? 2? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

2?

4 ? 8a ,
1 2 ? a ? 1 2

由于 BC ? 4 ,所以 2 ? 4 ? 8 a ? 4 ,解得 a ?

1 2

,再结合①式得 ?

. ?5 分

-5-

(3) 当直线 l 过抛物线焦点 F ( 0 ,

1 2

) 时, l 的方程为 y ? ? x ?

1 2

,即 a ?
3 2

1 2

, M 点的

坐标为 ( x M , y M ) , x M ? 平分线方程为 y ? 所以, S ? FMN ? 25. 略.
1 2 3 2

x1 ? x 2 2

? ? 1 , y M ? ? ( ? 1) ?

1 2

?
5 2

,所以, BC 的垂直

? x ? 1 ,令 x ? 0 ,得 y ?

5 2

,即 N ( 0 ,

),

x M ? NF ? 1 .

???????????????? 5 分

-6-


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