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三角函数题型汇总(老师用)


三角函数提醒汇总

三角函数的基础知识与基本运算:
1.(2009 全国卷Ⅰ文) sin 585。的值为 (A) ? 【答案】A 【解析】 sin 585o ? sin(360o ? 225o ) ? sin(180o ? 45o ) ? -sin 45o ? ?
2 2

(B)

2 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

2 ,故选择 A。 2

2.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是(
0 0 0 A. sin11 ? cos10 ? sin168



0 0 0 B. sin168 ? sin11 ? cos10

0 0 0 C. sin11 ? sin168 ? cos10

0 0 0 D. sin168 ? cos10 ? sin11

【答案】C 解析因为 sin160? ? sin(180? ?12? ) ? sin12? ,cos10? ? cos(90? ? 80? ) ? sin80? ,由于正弦函数 y ? sin x 在 区 间 [0? ,90? ] 上 为 递 增 函 数 , 因 此 sin11? ? sin12? ? sin 80? , 即 sin11? ? sin160? ? cos10? 。

4 3.(2009 北京文)若 sin ? ? ? , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5 3 【答案】 ? 5
2



3 3 ? 4? 【解析】 由已知,? 在第三象限, ∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? , ∴应填 ? . 5 5 ? 5?

2

4.(2009 北京理)“ ? ?

?

6 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

? 2k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ?

1 ”的( ) 2 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】当 ? ?

?

?? ? 1 ? ? 2k? (k ? Z ) 时, cos 2? ? cos ? 4k? ? ? ? cos ? , 6 3? 3 2 ?

反之,当 cos 2? ? 或 2? ? 2k? ?

?
3

1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6

? ? ? k? ?

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.

5.(2008 浙江理) 若cos ? ? 2sin ? ? ? 5, 则tan ? ? ( ) 1 1 (A) (B)2 (C) ? 2 2 【答案】B 【解析】由 cos ? ? 2sin ? ? ? 5 可得: cos ? ? ? 5 ? 2sin ? ,

(D) ?2

又由 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,可得: sin2 ? ? (? 5 ? 2sin ? )2 ? 1 可得 sin ? ? ?
cos ? ? ? 5 ? 2sin ? ? ?
sin ? 5 ?2 ,所以, tan ? ? cos ? 5

2 5 , 5

图像与性质:
1.(2009 浙江理)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ... )

? 2 2. (2009 辽宁卷理) 已知函数 f ( x) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示,f ( ) ? ? , 则 f (0) = 2 3 2 2 1 1 (A) ? (B) (C)- (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 2 2 3

2π 3 2π 2π π 7π 于是 f(0)=f( ),注意到 与 关于 对称 3 3 2 12 2π π 2 所以 f( )=-f( )= 3 2 3 【答案】B 【解析】由图象可得最小正周期为

4.(2009 江苏卷)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 )在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = .

【解析】 考查三角函数的周期知识。

3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 , 2 3

4.(2009 宁夏海南卷理)已知函数 y=sin( ? x+ ? )( ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图 所示,则 ? =________________

T?
解析:由图可知,
9? 10

5? 4 ?4 ? ,?? ? , 把 ? 2? ,1? 代入y=sin ? x ? ? ? 有: 2 5 ?5 ?

9? ?8 ? 1=sin ? ? ? ? ? ,?? ? 10 ?5 ?

答案:

5. ( 2009 宁 夏 海 南 卷 文 ) 已 知 函 数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的 图 像 如 图 所 示 , 则
? 7? f? ? 12 ? ?? ?



w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】0
2 5? ? 2? 2? ? ? )= ( = ,故 ? =3,又 x= 时, 3 4 4 3 ? 4 ? ? 7? ? ? 7? ? ? ) =0。 f(x)=0,即 2 sin(3 ? ? ? )=0,可得 ? ? ,所以, f ? ? 2 sin( 3 ? ? 4 4 12 4 ? 12 ?

【解析】由图象知最小正周期 T=

7.(2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示, 则? =

【解析】由图象可得最小正周期为 ∴T= 【答案】
3 2

2π 4π = ω 3

4π 3 3 ? ω= 2

(2009 安徽卷理)已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与 直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? ,则 f ( x) 的单调递增区间是 ? 5? 5? 11? (A) [k? ? , k? ? ], k ? Z (B) [k? ? , k? ? ], k ? Z
12

(C) [k? ? , k? ? ], k ? Z
3 6

?

?

12

12 2? (D) [k? ? , k? ? ], k ? Z 6 3

12

?

【答案】C

? 【解析】 f ( x) ? 2sin(? x ? ) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 , 6 ? ? ? ? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 得, k? ? ? x ? k? ? , k ? z ,故选 C 2 6 2 3 6

2.(2009 全国卷Ⅰ理)如果函数 y ? 3sin(2 x ? ? ) 的图像关于点 (
| ? | 的最小值为(C)

4? , 0) 中心对称,那么 3

(A) 【答案】C

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

【解析】 函数 y ? 3sin(2 x ? ? ) 的图像关于点 (
?2?

4? , 0) 中心对称 3

4? ? 4? ? ? ? k? ?? ? k? ? 2 ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 C 3 3 3

? 3.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? )( x ? R) ,下面结论错误 的是 .. 2
A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2? ? B. 函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上是增函数 2 C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 D. 函数 f ( x) 是奇函数 【答案】D ? 【解析】∵ f ( x) ? sin( x ? ) ? ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D 2

4.(2009 北京文)(本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;
? ? ?? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 2? 【解析】(Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x ,

∴函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

3 ? ? ?? ∴ f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? . 2 ? 6 2?

5.(2009 陕西卷文)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 的周期为 ? ,且图象上一个最低点为 M (
2? , ?2) . 3

?
2



(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;(Ⅱ)当 x ? [0, 【解析】(1)由最低点为 M (

?

? 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 6 ? ? ? ? ? ? (Ⅱ)因为 x ? [0, ], 2 x ? ? [ , ] ,所以当 2x+ ? 时,即 x=0 时,f(x) 6 6 12 6 6 3 ? ? ? 取得最小值 1; 当2x+ ? , 即x ? 时,f ( x)取得最大值 3 ; 6 3 12

2? 2? 2? , ?2)得A ? 2 由 T ? ? 得? ? ? ?2 3 T ? 2? 4? 4? 由点 M ( , ?2) 在图像上得 2sin( ? ? ) ? ?2 即 sin( ? ? ) ? ?1 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? ? ? 2 k? ? 故 ? ? 2 k ? ? (k ? Z ) ,又 ? ? (0, ) ,所以 ? ? 所以 6 3 2 6 2

12

] ,求 f ( x) 的最值.

2.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期.

? )+sin 2 x. 3

1 C 1 (2) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角, 若 cosB= , f ( ) ? ? , 且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4 ? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 解: (1)f(x)=cos(2x+ )+sin 2 x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x 3 3 3 2 2 2 1? 3 所以函数 f(x)的最大值为 ,最小正周期 ? . 2 c 1 1 ? 3 3 (2)f ( ) = ? 所以 sin C ? , 因为 C 为锐角, 所以 C ? , sin C =- , 4 3 2 2 2 2 1 2 3, 又因为在 ? ABC 中, cosB= , 所以 sin B ? 所以 3 3 2 1 1 3 2 2? 3 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? 2? ? ? ? . 3 2 3 2 6

4.(2009 重庆卷理)(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分.) ?x ? ?x ?1 . 设函数 f ( x) ? sin( ? ) ? 2 cos 2 4 6 8 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期. 4 (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 3

y ? g ( x) 的最大值.

解:(Ⅰ) f ( x) = sin

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4 ? ? = 3 sin( x ? ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4 3 2? 故 f ( x) 的最小正周期为 T = =8

=

? 4

4 2 (Ⅱ)因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图 3 3

象关于
4 2 x = 1 对称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值 3 3 ? ? 由(Ⅰ)知 f ( x) = 3 sin( x ? ) 4 3 2 ? ? ? ? 当 ? x ? 2 时, ? ? ? ? 3 6 4 3 6 4 因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 ? 3 . g max ? 3 sin ? 6 2

图像的变换:
1.(2009 湖南卷理)将函数 y ? sin x 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后,得到函

? 数 y ? sin( x ? ) 的图象,则 ? 等于(D) 6
A.

? 6

B.

5? 6

C.

7? 6

D.

11? 6

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【答案】:D

【解析】解析由函数 y ? sin x 向左平移 ? 的单位得到 y ? sin( x ? ? ) 的图象,由条件知函 ? 数 y ? sin( x ? ? ) 可 化 为 函 数 y ? sin( x ? ) , 易 知 比 较 各 答 案 , 只 有 6 11? ? y ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) ,所以选 D 项。 6 6

2.(2009 全国卷Ⅱ文)若将函数 y ? tan( ?x ? 后,与函数 y ? tan( ?x ? (A) 【答案】D
1 6

?
4

)(? ? 0) 的图像向右平移

? 个单位长度 6

?
6

) 的图像重合,则 ? 的最小值为
1 4

(B)

(C)

1 3

(D)

1 21 世纪教育网 2

? ? 向右平移 6 个单位 ? ? ?? ? ? 【解析】 y ? tan ? ? x ? ? ?????? ? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? tan ? ? x ? ? 4? 6 4 6? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? k? ? ?? ? 6k ? (k ? Z ) ,又 ? ? 0 ??min ? .故选 D 2 4 6 6 2

?

3.(2009 山东卷理)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 所得图象的函数解析式是( A.y ? cos 2 x 【答案】B 【 解 析 】 将 函 数 y ? sin 2 x 的 图 象 向 左 平 移 B.y ? 2cos2 x ).

? 个单位, 再向上平移 1 个单位, 4

C.y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D.y ? 2sin 2 x

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式 2 为 y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 B.

?

? ? 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? sin 2( x ? ) 即 4 4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? , 4 y ? f ( x) 的图像向左平移 | ? | 个单位长度, 所得图像关于 y 轴对称, 则 ? 的一个值是 ( ) ? 3? ? ? A B C D 8 2 4 8 【答案】D 2? , w ? 2 ,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶 【解析】由已知,周期为 ? ? w

4 .( 2009 天津卷文)已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?

函数, sin[ 2( x ? ? ) ?

?

4

] ? ? cos 2 x ,故选 D

? 5. (2009 天津卷理)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了 4 得到函数 g ( x) ? cos? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象 ? ? A 向左平移 个单位长度 B 向右平移 个单位长度 21 世纪 8 8 ? ? 教育网 C 向左平移 个单位长度 D 向右平移 个单位长度 4 4 【答案】A 【解析】由题知 ? ? 2 ,所以 ? ? ? ? ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos[ ? (2 x ? )] ? cos(2 x ? ) ? cos 2( x ? ) , 4 2 4 4 8

三角恒等变换:
1.(2009 辽宁卷文)已知 tan ? ? 2 ,则 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos2 ? ? (A) ? 【答案】D 【解析】 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? ?
sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 ? ? ? tan 2 ? ? 1 4 ?1 5
4 3

(B)

5 4

(C) ?

3 4

(D)

4 5

2.(2009 福建卷理)函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是 A.-1 【答案】B
1 1 【解析】∵ f ( x) ? sin 2 x ∴ f ( x) min ? ? .故选 B 2 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

3.(2009 湖北卷文)“ sin ? ? A.充分而不必要条件 C.充要条件

1 1 ”是“ cos 2? ? ” 的 21 世纪教育网 2 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】由 cos 2a ?
1 1 1 1 得 sin a ? ? ,故 sin a ? 是sin 2 a ? 成立的充分不必要条件, 2 2 2 4

4.(2009 江西卷文)函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 3? ? A. 2? B. C. ? D. 2 2 【答案】A ? 【解析】 由 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x ? cos x ? 3 sin x ? 2sin( x ? ) 可得最小正周期为 2? , 6

5.(2009 年上海卷理)函数 y ? 2cos2 x ? sin 2 x 的最小值是_____________________ . 【答案】 1 ? 2

? 【解析】 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4

6.(2009 江西卷理)若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? A.1 【答案】B B. 2 C. 3 ? 1 D. 3 ? 2

?
2

,则 f ( x) 的最大值为

? 【解析】因为 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x = cos x ? 3 sin x = 2 cos( x ? ) 3 ? 当 x ? 是,函数取得最大值为 2. 故选 B 3

1.(2009 全国卷Ⅰ理)若 解:令 tan x ? t ,

?
4

?x?

?
2

,则函数 y ? tan 2x tan3 x 的最大值为



?
4

?x?

?
2

?t ? 1,

? y ? tan 2 x tan 3 x ?

2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? ? ? ? ? ?8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ? tan x 1 ? t ? ( 2? ) ? ? t4 t2 t 2 4 4

? 7.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 3 (1)求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期. 1 c 1 (2) 设A, B, C为?ABC的三个内角,若 cos B ? , f ( ) ? ? , 且C为锐角, 求 sin A 3 2 4 【 解 析 】 ( 1 ) ? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 f(x)=cos(2x+ )+sin 2 x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x 3 3 3 2 2 2 1? 3 所以函数 f ( x) 的最大值为 ,最小正周期 ? . 2 c 1 1 ? 3 3 (2) f ( ) = ? ,因为 C 为锐角,所以 C ? , sin C =- ,所以 sin C ? 4 3 2 2 2 2 1 2 3, 又因为在 ? ABC 中, cos B ? ,所以 sin B ? 3 3 2 1 1 3 2 2? 3 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? . 2? ? ? ? 3 2 3 2 6

8.(2009 重庆卷理)设函数 f ( x) ? sin( (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期.

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8

4 (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 3 y ? g ( x) 的最大值. ? ? ? ? ? 【解析】(Ⅰ) f ( x) = sin x cos ? cos x sin ? cos x 4 6 4 6 4 ? ? 3 ? 3 ? sin x ? cos x = 3 sin( x ? ) 21 世纪教育网 = 4 3 2 4 2 4 2? 故 f ( x) 的最小正周期为 T = =8

( Ⅱ ) 在 y ? g ( x) 的 图 象 上 任 取 一 点 ( x, g ( x)) , 它 关 于 x ? 1 的 对 称 点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而 21 世纪教育网 ? ? ? ? ? ? ? g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] = 3 sin[ ? x ? ] = 3 cos( x ? ) 2 4 3 4 3 4 3 3 ? ? ? 2? 4 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 4 3 4 3 3 ? 3 gmax ? 3 cos ? 21 世纪教育 3 2 网 9. (2009 重庆卷文) 设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为
2? . 3

? 4

(Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移
y ? g ( x) 的单调增区间.

? 个单位长度得到,求 2

【解析】 (Ⅰ)f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ? 1 ? 2cos 2? x ? ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4 2? 2? 3 ? 依题意得 ,故 ? 的最小正周期为 . 21 世纪教育网 2 2? 3 ? ?? 5? ? (Ⅱ)依题意得: g ( x) ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 2 4? 4 ? ? 5? ? 2 ? 2 7? ≤ 2 k? ? (k ? Z ) 解得 k? ? ≤ x ≤ k? ? (k ? Z ) 由 2 k? ? ≤ 3 x ? 2 4 2 3 4 3 12 2 ? 2 7? ] (k ? Z ) 故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ? , k? ? 3 4 3 12

三角函数与解三角形综合:

1.(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则
AC 的取值范围为 ( 2, 3) .

AC 的值等于 cos A

2



【解析】设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?

由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 , 又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30 ? ? ? 45 ?
2 3 ? cos ? ? , 2 2

? AC ? 2cos? ? ( 2, 3).

2. (2009 天津卷文) (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A ? (Ⅰ)求 AB 的值。(Ⅱ)求 sin( 2 A ? ) 的值。 4 2 【答案】 10 AB BC ? 【解析】(1)解:在 ?ABC 中,根据正弦定理, , sin C sin A BC ? 2 BC ? 2 5 于是 AB ? sin C sin A

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ? 于是 sin A ? 1 ? cos2 A =

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

5 , 5 4 3 从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ? , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5 ? ? ? 2 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10

3.(2009 浙江理)(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且满足 cos
A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

(I)求 ?ABC 的面积; 【解析】(I)因为 cos

(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

A 3 4 A 2 5 ,? cos A ? 2 cos 2 ? 1 ? ,sin A ? ,又由 AB ? AC ? 3 , ? 2 5 5 2 5

1 得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ? bc sin A ? 2 21 世纪教育网 2

( II ) 对 于 bc ? 5 , 又 b ? c ? 6 , ? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由 余 弦 定 理 得
a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5

4.(2009 湖北卷文)在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且

3a ? 2c sin A ,(Ⅰ)确定角 C 的大小:
(Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为
3 3 2

,求 a ? b 的值。
a 2sin A sin A ? ? 21 世纪教育网 c sin C 3

【解析】(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,
Qs i n A? ? 0, s Ci ? n

? 3 , Q ?ABC 是锐角三角形,? C ? 3 2

(2)解法 1: Q c ? 7 ,C ?

?

1 ? 3 3 . a bs i n ? 即 , a? b   6① 由面积公式得 3 2 3 2

? 2 2 cos ? 即 7, a ? b ? ab ?  7 ② 由余弦定理得 a 2 ? b 2 ?2 a b 3
由②变形得 (a ? b )2 ? 2 5 故 , a? b? 5

5. (2009 北京理) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值;(Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 【解析】(Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ?

?

4 ,cos A ? , b ? 3 。 3 5

?

3 2? 3 ? A,sin A ? , ∴C ? 3 5 3 1 3? 4 3 ? 2? ? ∴ sin C ? sin ? . ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 3 ? 2

, cos A ?

4 , 5

3 3? 4 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? ,sin C ? , 5 10 ? 又∵ B ? , b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 3 b sin A 6 ? . ∴a ? sin B 5 1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 ∴△ABC 的面积 S ? ab sin C ? ? ? 3 ? . ? 2 2 5 10 50

6. (2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 5 10 且 sin A ? ,sin B ? 5 10 (I)求 A ? B 的值;(II)若 a ? b ? 2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。 5 10 ,sin B ? 【解析】(I)∵ A、B 为锐角, sin A ? 5 10 2 5 3 10 ∴ cos A ? 1 ? sin 2 A ? , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ? ? ? ? ? . 5 10 5 10 2 ? ∵ 0 ? A ? B ? ? ,∴ A ? B ? 4 3? 2 (II)由(I)知 C ? ,∴ sin C ? 4 2 a b c ? ? 由 得 sin A sin B sin C 5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b 又∵

a ? b ? 2 ? 1 ,∴ 2b ? b ? 2 ?1 ,∴ b ? 1 ,∴ a ? 2, c ? 5

7.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 2sin x cos 2 (1)求 ? 的值; (2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 2, f ( A) ? 【解析】(1) f ( x) ? 2sin x ?
1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

3 ,求角 C.. 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )

因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 , 因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? (2)因为 f ( A) ?

?

? .所以 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x 2 2

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又 6 2 2
a b ? , 也 就 是 sin A sin B

因 为 a ? 1, b ? 2, 所 以 由 正 弦 定 理 , 得
sin B ?

? 3? b sin A 1 2 ,因为 b ? a ,所以 B ? 或 B ? . ? 2? ? 4 4 a 2 2 ?
4

当B ?

时, C ? ? ?

?
6

?

?
4

?

7? 3? ? 3? ? ? . ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 12 4 6 4 12

8.(2009 全国卷Ⅱ文)(本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分 别为 a, b, c , cos( A ? C ) ? cos B ? 【解析】由 cos( A ? C ) ? cos B ?
cos A co Cs ? sA in
3 2 , b ? ac ,求 B. 2

3 3 及 B ? ? ? ( A ? C ) 得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? , 2 2

C s?i n

A ( c o sC ? c o sA

3 3 sin A i, n? . sC i?n 解得 sin ) sC 4 2
3 , 4

又由 b 2 ? ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C, 故 sin 2 B ?

sin B ?

? 2? 3 3 或 sin B ? ? (舍去),于是 B ? 或B ? 。 3 3 2 2
?
3

又由 b 2 ? ac 知 b ? a 或 b ? c 所 以 B ?



9.(2009 安徽卷理)(本小题满分 12 分) 1 在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sin B ? . 3 (I)求 sin A 的值; (II)设 AC ? 6 ,求 ?ABC 的面积.

? ? B ? B 2 B B 【解析】 (Ⅰ) 由C ? A ? , 且C ? A ? ? ? B , ∴A? ? , ∴ sin A ? sin( ? ) ? (cos ? sin ) , 2 4 2 4 2 2 2 2 1 1 3 C ∴ sin 2 A ? (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3 AC BC ? (Ⅱ)如图,由正弦定理得 A sin B sin A 3 6? AC sin A 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ∴ BC ? ? 1 sin B 3 3 2 2 6 1 6 1 1 6 ? ? ? ? ? ,∴ S?ABC ? AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 3 3 3 3 3 2 2 3

B

10.(2009 江西卷理)(本小题满分 12 分) △ ABC 中,A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,tan C ? (1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c . 21 世纪教育网
C? 【解析】(1) 因为 t a n sin A? s i Bn sin C ? ,即 cos A? c o Bs cos C s iA n ? c oA s ? sB in , cB os

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

C c oA s ? sC in c B ? os Cc o s A ? sin C , co Bs s i n 所以 s i n C c oA s ? cC os A ? sin Cc o s ?B s i n C , s iB n cos 即 sin 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) ,所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立).

即 2C ? A ? B , 得 C ?

?
3

,所以. B ? A ?

又因为 sin( B ? A) ? cos C ? 得A?

?
4

,B ?

5? 12

1 ? 5? ,则 B ? A ? ,或 B ? A ? (舍去) 2 6 6

2? 3

(2) S?ABC ?

a c 1 6? 2 ? , 即 ac sin B ? ac ? 3 ? 3 ,又 sin A sin C 2 8

a c ? , 2 3 2 2

21 世纪教育网 得 a ? 2 2 ,c ? 2 3 .

三角函数与向量综合:

1.(2009 年广东卷文)(本小题满分 12 分)

? 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) 2
(1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

? ,求 cos ? 的值 2

v v v v 【解析】(1) Q a ? b ,? a g b ? sin ? ? 2cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ?
1 4 ∴ 4cos2 ? ? cos 2 ? ? 1,即 cos 2 ? ? ,∴ sin 2 ? ? 5 5 ? 2 5 5 又 ? ? (0, ) ? sin ? ? , cos ? ? 2 5 5 (2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos? 1 ?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ? 2 ? 2 又 0?? ? , ∴ cos ? ? 21 世纪 2 2

又∵ sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,

教育网

2.(2009 江苏卷)(本小题满分 14 分) 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? )

(1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 【解析】
( 1由 ) a与b ? c 2 垂直 a , ? b? ( c 2 ? a)? b ? a ? c 2 ? 即4 s i n ? (? ? ? ) ( 2b )?c ?
2

0 ) ),
2

8? co ?s ?( ?

) ?0 ?, ? t a? n( 4 sin

2;
2 ?3?2 c o s ? sin

( s? in ?

? cos

? ,4 ?c o s ?

b ? c ? s 2i ? n?

2?s i n ? ? c o s 2? ?c o s

?? 16 cos ?

16 sin

? 17 ? 30sin ? cos ? ? 17 ? 15sin 2 ? , 最大值为32, 所以 b ? c 的最大值为4 2. (3)由 tan ? tan ? ? 16得 sin ? sin ? ? 16 cos ? cos ? , 即4 cos ? ? 4 cos ? - sin ? sin ? ? 0,? a / / b

3.(2009 湖南卷文) 已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值;(Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。 【解析】(Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? ,
1 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ? . 4

(Ⅱ)由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin 2 ? ? 5. 从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1 ,

? ? 9? ? 2 于是 sin(2? ? ) ? ? .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 4 2
所以 2? ? 因此 ? ?

?
4

?

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 3? . 4

?
2

,或 ? ?

4. (2009 上海卷文) 已知Δ ABC 的角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 设向量 m ? (a, b) ,

n ? (sin B,sin A) , p ? (b ? 2, a ? 2) .
(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C =

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

u v v 【解析】(1) Q m // n,?a sin A ? b sin B, a b ? b? 即a? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 21 世纪教育网 2R 2R ? ?ABC 为等腰三角形 u v u v (2)由题意可知 m ? p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 ,? a ? b ? ab

由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab 即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 ,? ab ? 4(舍去ab ? ?1) 21 世纪教育网 1 1 ? ? S ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

5.已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域. 解:(Ⅰ) 由题意得 m n ? 3 sin A ? cos A ? 1, 2sin( A ? ) ? 1,sin( A ? ) ? 由 A 为锐角得 A ?

?
6

?

?
6

,A?

?
3

? 6

? 6

1 . 2

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 cos A ?

1 , 2
2

3 . 2 1 3 因为 x∈R,所以 sin x ???1,1? ,因此,当 sin x ? 时,f(x)有最大值 . 2 2 ? 3? 当 sin x ? ?1 时, f ( x ) 有最小值-3,所以所求函数 f ( x ) 的值域是 ? ?3, ? ? 2?
所以 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin s ? ?2(sin x ? ) ?
2

1 2


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