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2013届高考数学(人教A一轮复习课件3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式


第2课时

同角三角函数的基本

关系与诱导公式

教材回扣夯实双基
基础梳理
1.同角三角函数基本关系式
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1,其等价形式 1-sin2α 为:sin2α=1-cos2α,cos2α=__________. sinα =tanα cosα (2)商数

关系: ____________, 其等价形式为: sinα cosαtanα sinα=_____________,cosα= . tanα

2.角的对称 相关角的终边 α与π+α α与π-α α与-α(或2π-α)
π α与 2 -α

对称性

原点 关于_______对称
y轴 关于______对称 关于x轴对称 y=x 关于直线________对称

3.六组诱导公式
组数
角 正弦 余弦


2kπ+ α(k∈Z) sinα cosα


π+α -sinα _______ -cosα


-α -sinα cosα _____


π-α sinα -cosα -tanα ______





π -α 2
cosα _____ sinα

π +α 2
cosα

-sinα _______

正切
口诀

tanα

tanα

-tanα

函数名不变符号看象限

函数名改变 符号看象限

简记口诀:奇变偶不变,符号看象限.

课前热身
1.sin(-300° )等于( 1 A.- 2 3 C.- 2
答案:D

) 1 B. 2 3 D. 2

1 2.若 sin(π+α)=- ,则 cosα 等于( 2 1 A.2 2 3 C.± 2 1 B. 2 3 D. 2

)

1 1 解析:选 C.由 sin(π+α)=- 得-sinα=- , 2 2 1 3 2 即 sinα= ,∴cosα=± 1-sin α=± . 2 2

3 3.(2011· 高考重庆卷)若 cosα=- ,且 α∈ 5

?π,3π ?,则 tanα=__________. 2? ?
3 ?π,3π ?, 解析:∵cosα=- 且 α∈ 2? 5 ? 4 4 ∴sinα=- ,∴tanα= . 5 3
4 答案: 3

sin?2π-α?cos?π-α? 4. =________. 5π 5π cos? 2 +α?sin? 2 -α? ? ? ? ?
sin?-α??-cosα? 解析:原式= ?π+α? sin?π-α? cos 2 ? ? ?2 ? sinαcosα = =-1. -sinαcosα
答案:-1

考点探究讲练互动
考点突破 考点1 利用诱导公式化简与求值

例1 (1)化简:

3π tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ ? 2 ; cos?-α-π?sin?-π-α? (2)求值:sin690°sin150° · +cos930°cos(- · 870° )+tan120°tan1050° · .

【解】

(1)法一:原式=

π ?-tanα?·cos[π+?π-α?]· sin?π+ -α? 2 cos?π+α?· [-sin?π+α?] π ?-tanα?· [-cos?π-α?]· [-sin? -α?] 2 = ?-cosα?· sinα -tanα· cosα· ?-cosα? -tanα· cosα = = sinα -cosα· sinα sinα cosα =- · =-1. cosα sinα

π -tanα· cos?-α?· sin?-α- ? 2 法二:原式= cos?π-α?· sin?π-α? π sinα · cosα tanα· cosα· sin?α+ ? 2 cosα = = =-1. -cosα· sinα -sinα

(2) 原 式 = sin(720° 30° sin(180° 30° - )· - )+ cos(1080° - 150° cos(720° + 150° + )· ) tan(180° -60° tan(1080° )· -30° ) = - sin30° sin30° + cos150° cos150° + tan60° tan30° 1 3 =- + +1 4 4 3 = . 2

【题后感悟】

(1)化简是一种不指定答案的

恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数

尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求
出值. (2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小, 化到锐角为止.

备选例题(教师用书独具)


设 f(α)=

2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? (1+ 3π π 1+sin2α+cos? 2 +α? -sin2?2+α? ? ? ? ?

?-23π?=________. 2sinα≠0),则 f ? 6 ?

?-2sinα??-cosα?+cosα 【解析】 ∵f(α)= 1+sin2α+sinα-cos2α 2sinαcosα+cosα cosα?1+2sinα? 1 = = = , 2 2sin α+sinα sinα?1+2sinα? tanα 1 1 ?-23π?= ∴f = ? 6 ? 23π? ?- ?-4π+π ? tan 6? ? 6 ? tan? = 1 π tan 6 = 3.

【答案】

3

变式训练
sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] 1.化简: (k∈Z). sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α?

解:当 k 为偶数时,设 k=2m(m∈Z), sin?2mπ-α?cos[?2m-1?π-α] 则原式= sin[?2m+1?π+α]cos?2mπ+α? sin?-α?cos?π+α? = sin?π+α?cosα

?-sinα??-cosα? = =-1; -sinαcosα 当 k 为奇数时,可设 k=2m+1(m∈Z), 仿上可得,原式=-1. sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] 综上, =-1. sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α?

考点2
例2

同角三角函数的基本关系式
已知 tanα=2,求:

4sinα-2cosα (1) 的值; 5sinα+3cosα (2)3sin2α+3sinαcosα-2cos2α 的值.

【解】 (1)法一:∵tanα=2, ∴cosα≠0, 4sinα 2cosα - 4sinα-2cosα cosα cosα ∴ = 5sinα+3cosα 5sinα 3cosα + cosα cosα 4tanα-2 4×2-2 6 = = = . 5tanα+3 5×2+3 13

法二:由 tanα=2,得 sinα=2cosα,代入得 4sinα-2cosα 4×2cosα-2cosα 6cosα = = 13cosα 5sinα+3cosα 5×2cosα+3cosα 6 = . 13 (2)3sin2α+3sinαcosα-2cos2α 3sin2α+3sinαcosα-2cos2α = = sin2α+cos2α 3tan2α+3tanα-2 tan2α+1 3×22+3×2-2 16 = = . 2 5 2 +1

【题后感悟】

已知角α的某一个三角函数值,可

求角α的其他三角函数值.此时,若角α所在的象

限是确定的,可直接求值;若角α所在的象限不明
确,可先由角α的某一三角函数值的符号确定出角 α所在的象限,再分类讨论求值.

互动探究
2.例 2 条件不变,求 sin(α-2π)sin(α-π) 5π 3π -sin( +α)· sin( -α)的值. 2 2

解:∵tanα=2, 5π 3π ∴sin(α-2π)sin(α-π)-sin( +α)sin( - 2 2 α) =-sin2α+cos2α cos2α-sin2α 1-tan2α 1-4 3 = 2 =- . 2 = 2 = 5 cos α+sin α 1+tan α 1+4

备选例题(教师用书独具)

已知 sin(θ+kπ)=-2cos(θ+kπ),k∈Z. 1 2 2 2 求 sin θ+ cos θ 的值. 4 5

【解】 由已知得 cos(θ+kπ)≠0, ∴tan(θ+kπ)=-2,k∈Z.即 tanθ=-2. 1 2 2 tan θ+ 4 5 7 1 2 2 2 sin θ+ cos θ= = . 4 5 tan2θ+1 25

考点3

sinα±cosα与sinαcosα的关系

例3 已知在△ABC 中,sinA+cosA= 1. 5 (1)求 sinAcosA 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角 形; (3)求 tanA 的值.

1 【解】 (1)∵sinA+cosA= ,① 5 1 ∴两边平方得 1+2sinAcosA= , 25 12 ∴sinAcosA=- . 25 12 (2)由 sinAcosA=- <0,且 0<A<π, 25 可知 cosA<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝 角三角形.

(3)∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA 24 49 =1+ = , 25 25 又 sinA>0,cosA<0,∴sinA-cosA>0, 7 ∴sinA-cosA= .② 5 4 3 ∴由①,②可得 sinA= ,cosA=- , 5 5 4 5 sinA 4 ∴tanA= = =- . 3 3 cosA - 5

【题后感悟】 对于 sinxcosx,sinx+cosx,
sinx-cosx 借助平方关系可互相表示,也可 知一求二,如令 sinx+cosx=t,则 sinxcosx t2-1 = ,(sinα-cosα)2=2-t2 等. 2

备选例题(教师用书独具)


已知 sinθ,cosθ 是关于 x 的方程 x2
3

?π-θ ? -ax+a=0(a∈R)的两个根.求 cos 2 ? ? ?π-θ?的值. +sin 2 ? ?
3

【解】 由已知原方程的判别式 Δ≥0, 即(- a)2-4a≥0, ∴a≥4 或 a≤0.
?sinθ+cosθ=a ? 又? ?sinθcosθ=a ?

, (sinθ + cosθ)2 = 1 +

2sinθcosθ,

则 a2-2a-1=0,从而 a=1- 2或 a=1+ 2(舍去), 因此 sinθ+cosθ=sinθcosθ=1- 2.

?π-θ?+sin3?π-θ?=sin3θ+cos3θ ∴cos 2 ? ? ?2 ?
3

=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ) =(1- 2)[1-(1- 2)]= 2-2.

变式训练
2 3 . 已 知 sin(π - α) - cos(π + α) = 3

?π<α<π ?,求 sinα-cosα. ?2 ?
2 解:由 sin(π-α)-cos(π+α)= , 3 2 得 sinα+cosα= . 3

2 将上式平方得:1+2sinαcosα= , 9 7 ∴2sinαcosα=- . 9 π 又 <α<π, 2 ∴sinα>0,cosα<0, ∴sinα-cosα>0,

?-7 ?=16, ∴(sinα-cosα) =1-2sinαcosα=1- 9 ? ? 9
2

4 ∴sinα-cosα= . 3

方法感悟 方法技巧
1.同角三角函数关系及诱导公式要注意象
限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平 方关系在求三角函数值时,进行开方时要根 据角的象限或范围判断符号,正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,求

值与化简的常用方法有:

sinx (1)弦切互化法: 主要利用公式 tanx= 进 cosx 行弦、切间的互化(如例 2); (2) 和 积 转 换 法 : 如 利 用 (sinθ± cosθ)2 = 1± 2sinθcosθ 的关系进行变形、转化; (3) 巧 用 “1” 的 变 换 : 1 = sin2θ + cos2θ = 1 π 2 2 2 cos θ(1 + tan θ) = sin θ· + (1 ) = tan 4 tan2θ =…(如例 2). 注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、 整式化.

失误防范
1.使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象 限的符号(如例1),特别是在具体题目中出现类似 kπ±α(k∈Z)的形式时,需要对k的取值进行分类 讨论,从而确定三角函数值的正负. 2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方, 要特别注意判断符号(如例3(3)).

考向瞭望把脉高考
命题预测
从近几年的高考试题来看, 同角三角函数的 π 基本关系和诱导公式中的 π±α, ± 是高考 α 2 的热点,题型既有选择题、填空题,又有解 答题,难度为中、低档题.

主要是诱导公式在三角函数式求值、 化简的 过程中与同角三角函数的关系式、 和差角公 式及倍角公式的综合应用,一般不单独命 题,在考查基本运算的同时,还注重考查等 价转化的思想方法. π 预测 2013 年高考仍将以 π±α, ± 为主要 α 2 考点, 重点考查考生的运算能力与恒等变形 能力.

典例透析


(2011· 考 大 纲 全 国 卷 ) 已 知 α ∈ 高

?π,3π ?,tanα=2,则 cosα=__________. 2? ?
sinα 【解析】 ∵tanα=2,∴ =2, cosα ∴sinα=2cosα. 又 sin2α+cos2α=1, ∴(2cosα )2+cos2α=1,

1 ∴cos α= . 5
2

?π,3π ?, 又∵α∈ 2? ?
5 ∴cosα=- . 5

【答案】

5 - 5

【得分技巧】 解答本题利用同角三角函数
的基本关系,转化为关于cosα的方程求解.

【失分溯源】

忽视角α的范围,求出cosα为

两个值,在利用平方关系开方时一定要注意符 号.


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