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2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程课件理


第3讲

圆的方程

最新考纲

掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程

与一般方程.

知识梳理

1.圆的定义和圆的方程
定义 定长 的点的轨迹叫做圆 定点 的距离等于______ 平面内到_____ 圆心C(a,b) 半径为r 方 D2+E2-4F>0 充要条件:______________ 一般 x2+y2+Dx+Ey+F=0 圆心坐标: ? D E? ?- ,- ? 2? ? 2 ___________
1 2 2 r = D + E -4F 半径r= 2

标准 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)



(D2+E2-4F>0)

2.点与圆的位置关系
平面上的一点 M(x0 , y0) 与圆 C : (x - a)2 + (y - b)2 = r2 之间存 在着下列关系: 圆外 ; (1)d>r?M在圆外,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2?M在_____

圆上 ; (2)d=r?M在圆上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2?M在_____
圆内 (3)d<r?M在圆内,即(x0-a)2+(y0-b)2<r2?M在_____.

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(
(2)方程x2+y2=a2表示半径为a的圆.(

)
) )

(3)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆.(

(4)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要 条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.( )

解析 (2)当 a=0 时,x2+y2=a2 表示点(0,0); 当 a<0 时,表示半径为|a|的圆. 1 (3)当(4m) +(-2) -4×5m>0,即 m<4或 m>1
2 2

时才表示圆.

答案 (1)√ (2)×

(3)× (4)√

2.(2015· 北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1

)

C.(x+1)2+(y+1)2=2
解析

D.(x-1)2+(y-1)2=2

由题意得圆的半径为 2,故该圆的方程为(x-1)2

+(y-1)2=2,故选 D.

答案 D

3.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值 范围是( A.(-1,1) ) B.(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析

D.a=±1

因为点(1,1)在圆的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4,

所以-1<a<1. 答案 A

4.(2016· 浙江卷)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a

=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________. 解析 由已知方程表示圆,则a2=a+2,
解得a=2或a=-1. 当a=2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去. 当a=-1时,原方程为x2+y2+4x+8y-5=0, 化为标准方程为(x+2)2+(y+4)2=25,

表示以(-2,-4)为圆心,半径为5的圆.
答案 (-2,-4) 5

5.(必修2P124A4改编)圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1) 和B(1,3),则圆C的方程为________.
解析 设圆心坐标为 C(a,0),

∵点 A(-1,1)和 B(1,3)在圆 C 上, ∴|CA|=|CB|,即 (a+1)2+1= (a-1)2+9, 解得 a=2,所以圆心为 C(2,0), 半径|CA|= (2+1)2+1= 10, ∴圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10.

答案 (x-2)2+y2=10

考点一 圆的方程 【例1】 (1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2, 1),则圆C的方程为________. (2) 已知圆 C 经过P( - 2 ,4) , Q(3 ,- 1) 两点,且在 x 轴上截

得的弦长等于6,则圆C的方程为________.
解析 (1)法一 由已知 kAB=0,所以 AB 的中垂线方 程为 x=3.① 过 B 点且垂直于直线 x-y-1=0 的直线方程为 y-1 =-(x-2),即 x+y-3=0,②

? ?x=3, 联立①②,解得? 所以圆心坐标为(3,0), ? y = 0 , ?

半径 r= (4-3)2+(1-0)2= 2, 所以圆 C 的方程为(x-3)2+y2=2. 法二 ∵点 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
2 2 2 ? ( 4 - a ) +( 1 - b ) = r , ? A(4,1),B(2,1)在圆上,故? 2 2 2 ? ?(2-a) +(1-b) =r ,

b-1 又∵ =-1,解得 a=3,b=0,r= 2, a-2 故所求圆的方程为(x-3)2+y2=2. (2)设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 将 P,Q 两点的坐标分别代入得
? ?2D-4E-F=20, ? ? ?3D-E+F=-10.

① ②

又令 y=0,得 x2+Dx+F=0.③ 设 x1,x2 是方程③的两根,

由|x1-x2|=6,得 D2-4F=36,④ 由①,②,④解得 D=-2,E=-4,F=-8, 或 D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y=0.

答案

(1)(x-3)2 + y2 =2

(2)x2 +y2 -2x - 4y- 8= 0

或x2+y2-6x-8y=0

规律方法

求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方

程.一般来说,求圆的方程有两种方法: (1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量 .确定圆 的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂

直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内
切或外切时,切点与两圆圆心三点共线; (2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.

【训练 1】(1)(2016· 天津卷)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴 上,点 M(0, 5)在圆 C 上,且圆心到直线 2x-y=0 的距 4 5 离为 5 ,则圆 C 的方程为________. (2)(2017· 武汉模拟)以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心, 与该抛 物线的准线相切的圆的标准方程为________.

解析

(1)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,设 C(a,0),

2a 4 5 且 a>0,所以圆心到直线 2x-y=0 的距离 d= = 5 , 5 解得 a=2,所以圆 C 的半径 r=|CM|= 4+5=3, 所以圆 C 的方程为(x-2)2+y2=9.

(2)抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),准线为 x=-1, 故所求圆的圆心为(1,0),半径为 2,所以该圆的标 准方程为(x-1)2+y2=4.

答案 (1)(x-2)2+y2=9 (2)(x-1)2+y2=4

考点二 与圆有关的最值问题
【例 2】 已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0. y (1)求x的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值; (3)求 x2+y2 的最大值和最小值.
解 原方程可化为(x-2)2+y2=3,

表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆. y (1)x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, y 所以设x=k,即 y=kx.

当直线 y=kx 与圆相切时, 斜率 k 取最大值或最小值, |2k-0| 此时 2 = 3,解得 k=± 3(如图 1). k +1 y 所以x的最大值为 3,最小值为- 3.

(2)y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距,当直线 y=x+b |2-0+b| 与圆相切时, 纵截距 b 取得最大值或最小值, 此时 = 3, 2 解得 b=-2± 6(如图 2). 所以 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6. (3)x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识 知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 (如图 3).

又圆心到原点的距离为 (2-0)2+(0-0)2=2, 所以 x2+y2 的最大值是(2+ 3)2=7+4 3, x2+y2 的最小值是(2- 3)2=7-4 3.

规律方法

把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义

解题,充分体现了数形结合以及转化的数学思想,其中以下 几类转化极为常见:
y-b (1)形如 m= 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问 x-a 题;

(2) 形如 t = ax + by 的最值问题,可转化为动直线截距的最值 问题; (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距

离的平方的最值问题.

2 【训练 2】 (1)(2017· 昆明诊断)圆心在曲线 y=x (x>0)上,与 直线 2x+y+1=0 相切,且面积最小的圆的方程为( A.(x-2)2+(y-1)2=25 C.(x-1)2+(y-2)2=25 B.(x-2)2+(y-1)2=5 D.(x-1)2+(y-2)2=5 )

(2)(2014· 全国Ⅱ卷)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N ,使得∠OMN = 45° ,则 x0 的取值范围是 ________.

解析

(1)设圆心坐标为

? 2? C?a,a?(a>0), ? ?

2 2a+a+1 2 则半径 r= ≥ 5

2 2a×a+1 = 5, 5

2 当且仅当 2a=a,即 a=1 时取等号. 所以当 a=1 时圆的半径最小,此时 r= 5,C(1,2), 所以面积最小的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.

(2)如图所示,过点 O 作 OP⊥MN 交 MN 于点 P. 在 Rt△OMP 中,|OP|=|OM|· sin 45° , 1 又|OP|≤1,得|OM|≤ = 2. sin 45°
2 ∴|OM|= 1+x2 0≤ 2,∴x0≤1.

因此-1≤x0≤1.

答案 (1)D (2)[-1,1]

考点三 与圆有关的轨迹问题 【例3】设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM, ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
解 如图所示,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点 ?x0-3 y0+4? ?x y ? ? 坐标为?2,2?,线段 MN 的中点坐标为? .由于 , ? 2 2 ? ? ? ? ? 平行四边形的对角线互相平分,

? ?x0=x+3, x x0-3 y y0+4 故2= 2 ,2= 2 .从而? ? ?y0=y-4.

又 N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求轨迹为圆: (x + 3)2 + (y - 4)2 = 4 ,但应除去两点
? 9 12? ? 21 28? ?- , ?和?- , ?(点 5? ? 5 5? ? 5

P 在直线 OM 上时的情况).

规律方法

求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的

不同常采用以下方法:

(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;
(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程; (3)几何法,利用圆的几何性质列方程; (4) 代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满 足的关系式等.

【训练 3】 (2014· 全国Ⅰ卷)已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2- 8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积.
解 (1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16, 所以圆心为 C(0,4),半径为 4.设 M(x,y), → → 则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y). → → 由题设知CM· MP=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2.

由于点 P 在圆 C 的内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上, 又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM.因为 ON 的斜率为 3, 1 所以 l 的斜率为-3,故 l 的方程为 x+3y-8=0. 4 10 又|OM|=|OP|=2 2,O 到 l 的距离为 5 ,

4 10 所以|PM|= 5 , 1 4 10 4 10 16 S△POM= × × = , 2 5 5 5 16 故△POM 的面积为 . 5

[思想方法]

1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参
数”是求圆的方程的基本方法,是指根据题设条件恰当 选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数. 2. 解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性 质,简化运算.

[易错防范]
1.求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆的 方程都要列出系数的三个独立方程. 2.求轨迹方程和求轨迹是有区别的,求轨迹方程得出方程即 可,而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.


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