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2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标1)


2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学 (新课标 1)

评卷人

得分 一、选择题(题型注释)

1.已知集合 A ? x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0 , B ? ?x | ?2 ? x ? 2?,则 A ? B ? ( A. [ ?2,?1] B. [?1,2) C.. [ ?1,1] D. [1,2)

?

?



(1 ? i ) 3 2. ?( (1 ? i ) 2
A. 1 ? i

) C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i

B. 1 ? i

3.设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论 中正确的是( ) B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数
2

A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C.. f ( x) | g ( x) | 是奇函数
2

4.已知 F 为双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线 的距离为( A. ) B. 3 C.

3

3m

D. 3m

5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学 参加公益活动的概率为( ) A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

6.如图,图 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA, 终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f ( x) ,则 y ? f ( x)在[0, ? ] 的图像大致为( )

P O M A

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7.执行右面的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M=(



A.

20 3

B.

7 2

C.

16 5

D.

15 8


8.设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ), ? ? (0, ), 且 tan ? ? , 则( 2 2 cos ?

(A) 3? ? ? ? 9.不等式组 ?

?
2

(B) 3? ? ? ?

?
2

(C) 2? ? ? ?

?
2

(D) 2? ? ? ?

?
2

? x ? y ? 1, 的解集为 D,有下面四个命题: ? x ? 2 y ? 4,
p2 : ?(x, y) ? D, x? 2 y ? 2 , p4 : ?(x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1,

p1 : ?(x, y) ? D, x? 2 y ? ?2 , p3 : ?(x, y) ? D, x? 2 y ? 3
其中的真命题是( A. p2 , p3 )

B. p1 , p2
2

C. p1 , p3

D. p1 , p4

10.已知抛物线 C: y ? 8x 的焦点为 F,准线为 l ,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 得
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一个焦点,若 PF ? 4FQ ,则 QF ? ( A.

) D.

7 2

B.

3

C.

5 2

2

11.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取 值范围是 A. ? 2, ??? B. ?1, ?? ? C. ? ??, ?2? D. ? ??, ?1?

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多 面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )

(A) 6 2

(B) 6

(C) 6 2

(D) 4

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 13. ? x ? y ?? x ? y ? 的展开式中 x 2 y 7 的系数为________.(用数字填写答案)
8

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A, B, C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市. 丙说:我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ 15 .已知 A, B, C 为圆 O 上的三点,若 AO ? _______. 16 . 已 知 a, b, c 分 别 为 ?A B C三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , a ? 2 , 且

1 AB ? AC ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

?

?

?2 ? b?( s iA n? s i B n ) ? (c ? b) s i C n ,则 ?ABC 面积的最大值为____________.
评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数, (I)证明: an? 2 ? an ? ? ; (II)是否存在 ? ,使得 ?an ? 为等差数列?并说明理由. 18. (本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果 得如下图频率分布直方图:

(I)求这 500 件产品质量指标值的样本平均值 x 和样本方差 s (同一组的数据用该组
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2

区间的中点值作代表) ; (II)由直方图可以认为,这种产品的质量指标 Z 服从正态分布 N ? , ? 2 ,其中 ? 近 似为样本平均数 x , ? 2 近似为样本方差 s 2 . (i)利用该正态分布,求 P ?187.8 ? Z ? 212.2? ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值 位于区间 ?187.8, 212.2? 的产品件数.利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ? 12.2 若

?

?

Z ~ N ? ? ,? 2 ?



P ? ? ? ? ? Z ? ? ? ? ? ? 0.6826



P ? ? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ? ? 0.9544 。
19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C .

A

A1

C

C1 B1

B

(Ⅰ)证明: AC ? AB1 ;
? (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , AB ? BC ,求二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值.

? 2? ,椭圆 E: 20.已知点 A ? 0,

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ;F 是椭圆 E 的右 2 a b 2

焦点,直线 AF 的斜率为 (I)求 E 的方程;

2 3 ,O 为坐标原点 3

(II)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点。当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的直线 方程.

be x ?1 21. (12 分)设函数 f ( x) ? ae ln x ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方 x
x

程为 y ? e( x ? 1) ? 2. (I)求 a, b;
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(II)证明: f ( x) ? 1. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是 且 CB 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E ,

? CE .

(Ⅰ)证明: ?D ? ? E ; (Ⅱ)设 AD 不是 的直径, AD 的中点为 M ,且 MB

? MC ,证明: ?ADE 为

等边三角形. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4,坐标系与参数方程 已知曲线 C1 :

? x ? 2 ? t, x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 y ? 2 ? 2 t , ?

(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (II)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 ? 的直线,交 l 于点 A , PA 的最大值与 最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3

1 1 ? ? ab . a b

(Ⅰ)求 a

? b3 的最小值;

(Ⅱ)是否存在 a, b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析:由已知得, A ? x x ? ?1 或 x ? 3? ,故 A

?

B ? ? x ?2 ? x ? ?1? ,选 A.

【考点定位】1、一元二次不等式解法;2、集合的运算. 2.D 【解析】 试题分析:由已知得

(1 ? i ) 3 (1 ? i)2 (1 ? i) 2i(1 ? i) ? ? ? ?1 ? i . (1 ? i ) 2 (1 ? i)2 ?2i

【考点定位】复数的运算. 3.C 【解析】 试题分析: 设 H ( x) ? f ( x) g ( x) , 则 H (?x) ? f (?x) g ( ? x) , 因为 f ( x) 是奇函数,g ( x)

是偶函数,故 H (?x) ? ? f ( x) g ( x) ? ?H ( x) ,即 f ( x) | g ( x) | 是奇函数,选 C. 【考点定位】函数的奇偶性. 4.A 【解析】 试题分析: 由已知得, 双曲线 C 的标准方程为

x2 y 2 2 ? ? 1. 则 c ? 3m ? 3 ,c ? 3m ? 3 , 3m 3

设一个焦点 F ( 3m ? 3,0) , 一条渐近线 l 的方程为 y ?

3 1 即x? m x? x, y ? 0, 3m m

所以焦点 F 到渐近线 l 的距离为 d ?

3m ? 3 ? 3 ,选 A. m ?1

【考点定位】1、双曲线的标准方程和简单几何性质;2、点到直线的距离公式. 5.D 【解析】
4 试题分析: 由已知, 4 位同学各自在周六、 周日两天中任选一天参加公益活动共有 2 ? 16 种

不同的结果,而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况: (1)一天一人,另一
1 2 2 天三人,有 C4 (2)周六、日各 2 人,有 C4 A2 ? 8 种不同的结果; ? 6 种不同的结果,故周

六、周日都有同学参加公益活动有 8 ? 6 ? 14 种不同的结果,所以周六、周日都有同学参加 公益活动的概率为

14 7 ? ,选 D. 16 8

【考点定位】1、排列和组合;2、古典概型的概率计算公式. 6.C 【解析】
答案第 1 页,总 11 页

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试题分析:如图所示,当 0 ? x ?

?
2

时,在 Rt ?OPM 中, OM ? OPcos x ? cos x.在

Rt? OMD中, MD ?
OM sin x
O M ?

1 ? ? cos x sin x ? sin 2 x ; 当 ? x ?? 2 2
O c o P ?s ? ( ? x) ?
, 在 c o x s R ?t

时 , 在 Rt ?OPM

中 ,

O M 中 D ,

MD ?

O M s i? ? n ( x

)

? c ? o x s

1 x ?? xs ? i n? ,所以当 x s 0 i?n 2 时, y ? f ( x) 的图象大致为 C. 2

P

D O

P M A

D M O A

【考点定位】1.解直角三角形;2、三角函数的图象. 7.D 【解析】

1 3 3 ? , a ? 2, b ? , n ? 2 ; 2 2 2 2 8 3 8 3 3 15 8 15 M ? 2 ? ? , a ? , b ? , n ? 3 ; M ? ? ? , a ? , b ? , n ? 4 ,程序结束, 3 3 2 3 2 8 8 3 8 15 输出 M ? . 8

n ?1; M ? 1? 试题分析: 程序在执行过程中, a ? 1, b ? 2, k ? 3 ,

【考点定位】程序框图. 8.C 【解析】 试 题 分 析 : 由 已 知 得 , tan ? ?

sin ? 1 ? sin ? ? cos ? cos ?

, 去 分 母 得 ,

sin ? cos ? ? cos ? ? cos ? sin ? ,所以 sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? cos ?


sin(? ? ? ) ? cos ? ? sin(

?
2

?? )

, 又 因 为

?

?
2

?? ?? ?

?
2



0?

?
2

?? ?

?
2

,所以 ? ? ? ?

?
2

? ? ,即 2? ? ? ?

?
2

,选 C.

【考点定位】1、和角的正弦公式;2、同角三角函数基本关系式;3、诱导公式. 9.B 【解析】 试题分析: 画出可行域, 如图所示, 设 x ? 2y ? z , 则y ? ?

1 z x ? ,当直线 l 过点 A(2, ?1) 2 2

答案第 2 页,总 11 页

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时, z 取到最小值, zmin ? 2 ? 2 ? (?1) ? 0 ,故 x ? 2 y 的取值范围为 x ? 2 y ? 0 ,所以正确 的命题是 p1 , p2 ,选 B.
4 y 3 2 1 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 1 2 A 3 4 x

【考点定位】1、线性规划;2、存在量词和全称量词. 10.B 【解析】 试题分析:如图所示,因为 PF ? 4FQ ,故

PQ PF

?

3 ,过点 Q 作 QM ? l ,垂足为 M,则 4

所以 QM / / x 轴, 选 B.

MQ 4

?

PQ PF

?

3 , 所以 MQ ? 3 , 由抛物线定义知, QF ? MQ ? 3 , 4

4 y 3 2 1 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 1 F 2 3 4 x

【考点定位】1、抛物线的定义;2、抛物线的标准方程;3、向量共线. 11.C 【解析】
2 试题分析:当 a ? 0 时, f ( x) ? ?3x ? 1 ,函数 f ( x ) 有两个零点

3 3 和? ,不满足题 3 3

答案第 3 页,总 11 页

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意,舍去;当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 3ax2 ? 6 x ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?

2 . x ? (??,0) a

时, f ' ( x) ? 0 ; x ? (0, ) 时, f ' ( x) ? 0 ; x ? ( , ??) 时, f ' ( x) ? 0 ,且 f (0) ? 0 ,此 时在 x ? (??,0) 必有零点, 故不满足题意, 舍去; 当 a ? 0 时,x ? (??, ) 时, f ' ( x) ? 0 ;

2 a

2 a

2 a

2 x ? ( , 0) 时, f ' ( x) ? 0 ; x ? (0, ??) 时, f ' ( x) ? 0 ,且 f (0) ? 0 ,要使得 f ( x) 存在唯 a 2 一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,只需 f ( ) ? 0 ,即 a 2 ? 4 ,则 a ? ?2 ,选 C. a
考点:1、函数的零点;2、利用导数求函数的极值;3、利用导数判断函数的单调性. 12.B 【解析】 试题分析: 由正视图、 侧视图、 俯视图形状, 可判断该几何体为四面体, 且四面体的长、 宽、 高均为 4 个单位,故可考虑置于棱长为 4 个单位的正方体中研究,如图所示,该四面体为 D ? ABC ,且 AB ? BC ? 4 ,

AC ? 4 2 , DB ? DC ? 2 5 , DA ? (4 2) 2 ? 4 ? 6 ,故最长的棱长为 6,选 B.
A 4 B

D

C

【考点定位】三视图. 13. ?20 【解析】
8 k 8? k k 试题分析:由题意, ( x ? y) 展开式通项为 Tk ?1 ? C8 x y , 0 ? k ? 8 .当 k ? 7 时,
7 6 2 6 T8 ? C8 xy 7 ? 8xy 7 ;当 k ? 6 时, T7 ? C8 x y ? 28x 2 y 6 ,故 ? x ? y ?? x ? y ? 的展开式中
8

x 2 y 7 项为 x ? 8xy7 ? (? y) ? 28x2 y6 ? ?20 x2 y7 ,系数为 ?20 .
【考点定位】二项式定理. 14.A 【解析】 试题分析:由丙说可知,乙至少去过 A,B,C 中的一个城市,由甲说可知,甲去过 A,C 且比乙 去过的城市多,故乙只去过一个城市,且没去过 C 城市,故乙只去过 A 城市. 【考点定位】推理. 15. 90 .
0

答案第 4 页,总 11 页

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【解析】 试题分析:由 AO ? (AB + AC) ,故 O, B, C 三点共线,且 O 是线段 BC 中点,故 BC 是圆

1 2

O 的直径,从而 ?BAC ? 900 ,因此 AB 与 AC 的夹角为 90 0
【考点定位】1、平面向量基本定理;2、圆的性质. 16. 3 【解析】 试 题 分 析 : 由

a?2

, 且

?2 ? b?(

sAi ? s n iB)n ? (c ? b) s i C n, 故

( ? a

得 , 化简得, b ) ? ( s i ? n A? , s 又根据正弦定理, i n B ) ( (a c? b)( ba ? )b) s ? (c i ? b) n cC

b2 ? c2 ? a 2 ? bc ,故 cosA ?

b 2 ? c2 ?a 2 1 ? ,所以 A ? 600 ,又 b2 ? c2 ? bc ? 4 ? bc ,故 2bc 2

1 S?BAC ? bcsinA ? 3 . 2
【考点定位】1、正弦定理和余弦定理;2、三角形的面积公式. 17. (I)详见解析; (II)存在, ? ? 4 . 【解析】 试题分析: (I)对于含 an , S n 递推式的处理,往往可转换为关于项 an 的递推式或关于 Sn 的 递 推 式 . 结 合 结 论 , 该 题 需 要 转 换 为 项 an 的 递 推 式 . 故 由 an an?1 ? ? Sn ?1 得 两式相减得结论; (II) 对于存在性问题, 可先探求参数的值再证明. 本 an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1 . 题 由 a1 ? 1 , a2 ? ? ?1 , a3 ? ? ? 1 , 列 方 程 得 2a2 ? a1 ? a3 , 从 而 求 出 ? ? 4 . 得

an?2 ? an ? 4 ,故数列 ?an ? 的奇数项和偶数项分别为公差为 4 的等差数列.分别求通项公
式,进而求数列 ?an ? 的通项公式,再证明等差数列. 试题解析: ( I ) 由 题 设 , an an?1 ? ? Sn?1 , an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1 . 两 式 相 减 得 ,

an?1 (an?2 ? an ) ? ?an?1 .
由于 an?1 ? 0 ,所以 an? 2 ? an ? ? . (II) 由题设, 可得 a2 ? ? ?1 , 由 (I) 知, 令 2a2 ? a1 ? 1 , a1a2 ? ? S1 ?1 , a3 ? ? ? 1 . a1 a ?3 解得 ? ? 4 . 故 an? 2 ? an ? 4 , 由 此 可 得 , ?a2n?1? 是 首 项 为 1 , 公 差 为 4 的 等 差 数 列 , ,

答案第 5 页,总 11 页

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a2n?1 ? 1 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 3 ;

?a2n ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列, a2n ? 3 ? (n?1) ? 4 ? 4n ?1 .
所以 an ? 2n ? 1, an?1 ? an ? 2 . 因此存在 ? ? 4 ,使得 ?an ? 为等差数列. 【考点定位】1、递推公式;2、数列的通项公式;3、等差数列. 18. (I) 200,150 ; (II) (i) 0.6826 ; (ii) 68.26 . 【解析】 试题分析: (I)由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差.若同一组 的数据用该组区间的中点值作代表, 则众数为最高矩形中点横坐标. 中位数为面积等分为

1 2

的点. 均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值. 方差是矩形横坐标与均值差的 平方的加权平均值. (II) (i)由已知得, Z 故 P ?1 N (200,150) , 8 7 8 .

?2 Z 1 2 .?

2 0 0 1 2 .? Z ? ? P(

? 2 0 0 ?

?1 2 .) 0 6 .8 2 6 ?

; (ii)

某用户从该企业购买了 100 件这种产品, 相当于 100 次独立重复试验, 则这 100 件产品中质 量 指 标 值 位 于 区 间 ?187.8, 212.2? 的 产 品 件 数 X

B(100,0.6826) , 故 期 望

EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26 .
试题分析: (I)抽取产品的质量指标值的样本平均值 x 和样本方差 s 分别为
2

x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ?
230 ? 0.02 ? 200 ,

200 ? 0.33 ? 210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ?

s2 ? (?30)2 ? 0.02 ? (?20)2 ? 0.09 ? (?10)2 ? 0.22 ? 0 ? 0.33 ?102 ? 0.24 ? 202 ? 0.08 ? 302 ? 0.02
? 150 .
( II ) ( i ) 由 ( I ) 知 , Z 服 从 正 态 分 布 N (200,150) , 从 而 P ?187.8 ? Z ? 212.2 ?

? P( 200? 12.2 ? Z ? 200 ?12.2) ? 0.6826 .
(ii)由(i)可知,一件产品的质量指标值位于区间 ?187.8, 212.2? 的概率为 0.6826 ,依 题意知 X

B(100,0.6826) ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26 .

【考点定位】1、频率分布直方图;2、正态分布的 3? 原则;3、二项分布的期望. 19. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)

1 7
答案第 6 页,总 11 页

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【解析】 试题分析: (Ⅰ) 由侧面 BB1C1C 为菱形得 B1C ? BC1 , 结合 AB ? B1C 得 B1C ? 平面 ABO , 故 B1C ? AO ,且 O 为 B1C 的中点.故 AO 垂直平分线段 B1C ,则 AC ? AB1 ; (Ⅱ)求二 面角大小, 可考虑借助空间直角坐标系. 故结合已知条件寻找三条两两垂直相交的直线是解 题关键.当 AC ? AB1 且 AC ? AB1 时,三角形 ACB1 为等腰直角三角形,故 AO ? CO , 结合已知条件可判断 ?BOA ? ?BOC , 故 ?AOC ? ?BOC ? 900 , 从而 OA ,OB,OB1 两 两垂直.故以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向建立空间直角坐标系,用坐标表示相 关点的坐标.分别求半平面 AA 1B 1和 A 1B 1C1 的法向量,将求二面角问题转化为求法向量夹 角处理. 试题解析: (I) 连接 BC1 , 交 B1C 于 O , 连接 AO . 因为侧面 BB1C1C 为菱形, 所以 B1C ? BC1 , 且 O 为 B1C 与 BC1 的中点.又 AB ? B1C ,所以 B1C ? 平面 ABO ,故 B1C ? AO .又

B1O ? CO,故 AC ? AB1 .
( II ) 因 为 AC ? AB1 , 且 O 为 B1C 的 中 点 , 所 以 AO ? CO , 又 因 为 AB ? BC ,

?BOA ? ?BOC .故 OA ?OB ,从而 OA,OB,OB1 两两垂直.以 O 为坐标原点,OB 的
方向为 x 轴正方向, OB 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz .因为

AB ? BC , 则 A(0, 0, ?CBB1 ? 600 ,所以 ?CBB 1 为等边三角形.又
3 3 , 0) , C (0, ? , 0) . 3 3

3 ) , B(1, 0, 0) , 3

B1 (0,

AB1 ? (0,

3 3 3 3 , ? ) , A1B1 ? AB ? (1, 0, ? ) , B1C1 ? BC ? (?1, ? , 0) . 3 3 3 3

? 3 3 y? z ? 0, ? ? n ? AB ? 0, ? ? 3 1 3 设 n ? ( x, y, z) 是平面 AA 的法向量,则 即 所以可取 B ? ? 1 1 n ? A B ? 0, 3 ? ?x ? ? 1 1 z ? 0, ? 3 ?

n ? (1, 3, 3) .

答案第 7 页,总 11 页

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设 m 是平面 A1B1C1 的法向量,则 ?

? ?m ? A1 B1 ? 0, ? ?m ? B1C1 ? 0,

同理可取 m ? (1, ? 3, 3) .

则 cos ? n, m ??

n?m n m

?

1 1 .所以二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值为 . 7 7

z A A1

C O B B1 y

C1

【考点定位】1、直线和平面垂直的判定和性质;2、二面角求法. 20. (I) 【解析】 试题分析: (I)由直线 AF 的斜率为

x2 7 7 ? y 2 ? 1; (II) y ? x ? 2. x?2 或 y ? ? 4 2 2

2 3 3 ,可求 c ? 3 .并结合 e ? 求得 a ? 2 ,再利 3 2

2 2 2 用 b ? a ? c 求 b ,进而可确定椭圆 E 的方程; (II)依题意直线 l 的斜率存在,故可设直

线 l 方程为 y ? kx ? 2 ,和椭圆方程联立得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ?16kx ? 12 ? 0 .利用弦长公式表示

PQ ? k 2 ? 1 x1 ? x2 ?
2 k 2 ?1

4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 3 , 利 用 点 到 直 线 l 的 距 离 求 ?OPQ 的 高 4k 2 ? 1

.从而三角形 ?OPQ 的面积可表示为关于变量 k 的函数解析式 f ( k ) ,再求函数最

大值及相应的 k 值,故直线 l 的方程确定. 试题解析: (I)设右焦点 F (c, 0) ,由条件知,

2 2 3 ,得 c ? 3 . ? c 3



x2 c 3 2 2 2 ? y 2 ? 1. ,所以 a ? 2 , b ? a ? c ? 1 .故椭圆 E 的方程为 ? 4 a 2

(II)当 l ? x 轴时不合题意,故设直线 l : y ? kx ? 2 , P(x1 , y1 ),Q(x 2 , y2 ) . 将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ?16kx ? 12 ? 0 .当 ? ? 16(4 k2 ? 3) ? 0,即 4
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k2 ?

3 时, 4

8k ? 2 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 3 2 .从而 PQ ? k ? 1 x1 ? x2 ? .又点 O 到直 x1,2 ? 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
线 PQ 的距离 d ?

2 k 2 ?1

, 所以 ?OPQ 的面积 S?OPQ

1 4 4k 2 ? 3 2 . 设 4k ? 3 ? t , 则t ? 0 , ? d ? PQ ? 2 2 4k ? 1

S?OPQ ?

4 7 4t 4 .因为 t ? ? 4 ,当且仅当 t ? 2 时, k ? ? 时取等号,且满足 ? t 2 t ?4 t ? 4 t
2

? ? 0 .所以,当 ?OPQ 的面积最大时, l 的方程为 y ?

7 7 x ? 2. x?2 或 y ? ? 2 2

【考点定位】1、椭圆的标准方程及简单几何性质;2、弦长公式;3、函数的最值. 21. (I) a ? 1, b ? 2 ; (II)详见解析. 【解析】 试题分析: (I)由切点 (1, f (1)) 在切线 y ? e( x ? 1) ? 2. 上,代入得 f (1) ? 2 ①.由导数的几 何意义得 f (1) ? e ②,联立①②求 a , b ; (II)证明 f ( x) ? 1 成立,可转化为求函数 f ( x ) 的
'

最小值,只要最小值大于 1 即可.该题不易求函数 f ( x ) 的最小值,故可考虑将不等式结构

2 2 ?x , 分别求函数 g ( x) ? x ln x 和 h( x) ? xe ? 的最值, 发现 g ( x) 在 e e 1 1 1 且不同时取最值, (0, ??) 的最小值为 g ( ) ? ? ,h( x) 在 (0, ??) 的最大值为 h(1) ? ? . e e e 2 ?x 故 x ln x ? xe ? 成立, 即 f ( x) ? 1. 注意该种方法有局限性 f ( x)min ? g ( x)min 只是不等式 e
?x 变形为 x ln x ? xe ?

f ( x) ? g ( x) 的充分不必要条件,意即当 f ( x) ? g ( x) 成立,最值之间不一定有上述关系.
' x 试题解析: (I)函数的定义域为 (0, ??) . f ( x) ? ae ln x ?

a x b x ?1 b x ?1 e ? 2e ? e . x x x

由题意可得, f (1) ? 2, f (1) ? e .故 a ? 1, b ? 2 .
'

2 x ?1 2 e ,从而 f ( x) ? 1 等价于 x ln x ? xe ? x ? ,设函 x e 1 1 ' 数 g ( x) ? x ln x ,则 g (x) ? 1? ln x .所以当 x ? (0, ) 时, g ' ( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, e e
x (II)由(I)知, f ( x) ? e ln x ?

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1 1 g ' ( x) ? 0 .故 g ( x) 在 (0, ) 递减,在 ( , ?? ) 递增,从而 g ( x) 在 (0, ??) 的最小值为 e e 1 1 2 g ( ) ? ? .设 h( x) ? xe ? x ? ,则 h' ( x) ? e? x (1? x) .所以当 x ? (0,1) 时, h' ( x ) ? 0 ; e e e
当 x ? (1, ??) 时,h' ( x) ? 0 . 故 h( x) 在 (0,1) 递增, 在 (1, ??) 递减, 从而 h( x) 在 (0, ??) 的 最大值为 h(1) ? ? .综上,当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1. . 【考点定位】1、导数的几何意义;2、利用导数判断函数的单调性;3、利用导数求函数的 最值. 22. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由圆的内接四边形的性质得 ?D ? ?CBE ,由等腰三角形的性质得 ?E ? ?CBE ,则有 ?D ? ?E ,充分挖掘角的等量关系是解题关键; (Ⅱ)要证明 ? ADE 为等边三角形,只 需证明三个内角相等.由 ?E ? ?CBE 得,需证 ?A ? ?CBE ,故只需证明 AD / / BC .由 MB ? MC 得, M 在弦 BC 的垂直平分线上,该直线必然是直径所在的直线,又 M 是非 直径的弦 AD 的中点,故该直线垂直于 AD ,则 AD / / BC ,进而证明 ? ADE 为等边三角 形. 试题解析: (I) 由题设知 A, B, C , D 四点共圆, 所以 ?D ? ?CBE . 由已知得 ?E ? ?CBE , 故 ?D ? ?E . (II) 设 BC 的中点为 N , 连接 MN , 则由 MB ? MC 知 MN ? BC , 故 O 在直线 MN 上. 又 M ? A D , N ? A D . AD 不是 O 的直径,AD 的中点为 M , 故O 即M 所以 AD / / BC , 故 ? A ? ? CBE .又 ?E ? ? CBE ,故 ?E ? ?A .由(1)知, ?D ? ?E ,所以 ? ADE 为等边三角形.

1 e

【考点定位】1、圆的内接四边形的性质;2、垂径定理的推论. 23. (I) ? 【解析】 试题分析: (I)由椭圆的标准方程设

? x ? 2 cos ? , 22 5 2 5 (II)最大值为 ,最小值为 . 2x ? y ? 6 ? 0 ; 5 5 ? y ? 3sin ? ,
x y ? cos ? , ? s i? n ,得椭圆的参数方程为 2 2

? , ?x ? 2 c o s ,消去参数 t 即得直线的普通方程为 2 x ? y ? 6 ? 0 ; (II)关键是处理好 PA ? ? , ?y ? 3 sin
与角 30 ? 的关系. 过点 P 作与 l 垂直的直线, 垂足为 H , 则在 ?PHA 中,PH ? d ?

1 PA , 2

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故 将 PA 的 最 大 值 与 最 小 值 问 题 转 化 为 椭 圆 上 的 点 P( 2 c o? s , 3sin ? ) 到 定 直 线

2 x ? y ? 6 ? 0的最大值与最小值问题处理.
试题解析: ( I )曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? , ( ? 为参数) .直线 l 的普通方程为 ? y ? 3 sin? ,

2x ? y ? 6 ? 0 .
(II)曲线 C 上任意一点 P(2cos ? ,3sin ? ) 到 l 的距离为 d ?

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 .则 5

PA ?

4 d 2 5 ? 5sin(? ? ? ) ? 6 .其中 ? 为锐角,且 tan ? ? . 0 3 sin 30 5

当 sin(? ? ? ) ? ?1 时, PA 取到最大值,最大值为

22 5 . 5

当 sin(? ? ? ) ? 1 时, PA 取到最小值,最小值为

2 5 . 5

【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程;2、点到直线的距离公式;3、解直角三角形. 24. (Ⅰ) 4 2 ; (Ⅱ)不存在. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由已知

1 1 ? ? ab ,利用基本不等式的和积转化可求 ab ? 2 ,利用基 a b

本不等式可将 a

3

? b3 转化为 ab ,由不等式的传递性,可求 a 3 ? b3 的最小值; (Ⅱ)由基

本不等式可求 2a ? 3b 的最小值为 4 3 ,而 4 3 ? 6 ,故不存在. 试题解析: (I)由 ab ?

1 1 2 3 3 ? ? ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时取等号.故 a ? b a b ab

3 3 ? 2 a3b3 ? 4 2 ,且当 a ? b ? 2 时取等号.所以 a ? b 的最小值为 4 2 .

( II )由( I )知, 2a ? 3b ? 2 6 ab ? 4 3 .由于 4 3 ? 6 ,从而不存在 a, b ,使得

2a ? 3b ? 6 . 【考点定位】基本不等式.

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