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等差数列(2)


【课题】 6.2 【教学目标】
知识目标: 理解等差数列通项公式及前 n 项和公式. 能力目标:

等差数列

通过学习前 n 项和公式,培养学生处理数据的能力.

【教学重点】
等差数列的前 n 项和的公式.

【教学难点】
等差数列前 n 项和公式的推导.


【教学设计】
本节的主要内容是等差数列的前 n 项和公式,等差数列应用举例.重点是等差数列的前

n 项和公式;难点是前 n 项和公式的推导以及知识的简单实际应用.
等差数列前 n 项和公式的推导方法很重要,所用方法叫逆序相加法,应该让学生理解并 学会应用.等差数列中的五个量 a1 、d 、n 、a n 、S n 中,知道其中三个,可以求出其余两个, 例 5 和例 6 是针对不同情况,分别介绍相应算法. 例 7 将末项看作是首项的思想是非常重要的,以这类习题作为载体,对培养学生的创新 精神是十分重要的.

【教学备品】
教学课件.

【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学过程】 教 过
*揭示课题 6.2 等差数列. *创设情境 兴趣导入 【趣味数学问题】 数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天赋.据传 从小

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

第 6 章 数列(教案)

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
故事 讲起 引起 学生 兴趣

说,老师在数学课上出了一道题目: “把 1 到 100 的整数写下 来,然后把它们加起来!” 对于这些十岁左右的孩子,这个题目是比较难的.但是高 斯很快就得到了正确的答案,此时其他的学生正在忙碌地将数 字一个个加起来,额头都流出了汗水. 小高斯是怎样计算出来的呢? 他观察这 100 个数 1, 2, 3, 4, 5, ?,96, 97, 98, 99, 100. 并将它们分成 50 对,依次计算各对的和: 1+100=101 2+99=101 3+98=101 4+97=101 5+96=101 ?? 50+51=101 所以,前 100 个正整数的和为 101 ? 50=5050. *动脑思考 探索新知 从小到大排列的前 100 个正整数, 组成了首项为 1, 100 第 项为 100,公差为 1 的等差数列.小高斯的计算表明,这个数 列的前 100 项和为 引导 分析 参与 分析 质疑 思考

10

?1 ? 100 ? ? 100 .
2
现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前 n 项和. 将等差数列 ?a n ?前 n 项的和记作 S n .即
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?2 ? an?1 ? an .

总结 归纳 (1)

思考 归纳

带领 学生 总结 问题

第 6 章 数列(教案)

教 过
也可以写作

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
得到 等差

Sn ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a3 ? a2 ? a1 .

(2)

数列 求和 公式

由于

a1 ? an ? a1 ? an ,

a2 ? an?1 ? ? a1 ? d ? ? ? an ? d ? ? a1 ? an ,

a3 ? a n?2 ? ?a1 ? 2d ? ? ?a n ? 2d ? ? a1 ? a n ,
仔细 ?? (1)式与(2)式两边分别相加,得
2Sn ? n ? a1 ? an ? ,

分析 讲解 关键 词语 理解 记忆

引导 启发 学生 思考 求解

由此得出等差数列 ?a n ?的前 n 项和公式为
Sn ? n ? a1 ? an ? 2

(6.3) .

即等差数列的前 n 项和等于首末两项之和与项数乘积的一 半. 知道了等差数列 ?an ? 中的 a1 、n 和 a n ,利用公式(6.3)可 以直接计算 S n . 将 等 差 数 列 的 通 项 公 式 a n ? a1 ? ?n ? 1?d 代 入 公 式 (6.3) ,得

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d

(6.4)

第 6 章 数列(教案)

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

知道了等差数列 ?an ? 中的 a1 、n 和 d ,利用公式(6.4)可 以直接计算 S n . 【想一想】 在等差数列 {an } 中,知道了 a1 、d、n、 a n 、 S n 五个量中 的三个量,就可以求出其余的两个量.针对不同情况,应该分 别采用什么样的计算方法? *巩固知识 典型例题 例 5 已知等差数列 ?a n ?中, a1 ? ?8 , a20 ? 106 , 求 S20 . 解 由已知条件得 说明 强调 观察 通过 例题 进一 步领 20

S20 ?
例 6 等差数列

20 ? ? ?8 ? 106 ? 2

? 980 .

引领

思考



讲解

主动 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 思考 求解

? 13,?9,?5,?1,3, ?
的前多少项的和等于 50? 解 设数列的前 n 项和是 50,由于

说明

a1 ? ?13, d ? 3 ? (?1) ? 4, 故
n(n ? 1) 50 ? ?13n ? ? 4, 2

引领 分析

观察



强调 含义

2n ? 15n ? 50 ? 0 ,
2

解得

反复

5 , n1 ? 10, n2 ? ? ( 舍去) 2
所以,该数列的前 10 项的和等于 50. 【想一想】 说明 领会

强调

第 6 章 数列(教案)

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
思考 求解

例 6 中为什么将负数舍去?

30 *运用知识 强化练习 练习 6.2.3 1. 求等差数列 1,4,7,10,?的前 100 项的和. 2. 在等差数列{ a n }中, a 4 =6, a 9 ? 26 ,求 S20 . 提问 巡视 指导 *巩固知识 典型例题 例7 某礼堂共有 25 排座位, 后一排比前一排多两个座位, 说明 强调 观察 通过 例题 进一 步领 引领 思考 会 动手 求解 启发 引导 思考 了解 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 40

最后一排有 70 个座位,问礼堂共有多少个座位? 解 1 由题意知,各排座位数成等差数列,设公差 d=2,

a 25 ? 70 ,于是

70 ? a1 ? (25 ? 1) ? 2 ,
解得 所以

a1 ? 22 .
S25 ? 25 ? (22 ? 70) ? 1150 . 2

答 礼堂共有 1150 个座位. 解2 25, 因此
S25 25(25 ? 1) ? (?2) ? 25 ? 70 ? ? 1150. 2

将最后一排看作第一排,则 a1 ? 70 , d ? ?2 ,n =

讲解 说明

主动 求解

注意 观察 学生 是否 理解 知识 点

答 礼堂共有 1150 个座位. 【想一想】 比较本例题的两种解法,从中受到什么启发? 例 8 小王参加工作后,采用零存整取方式在农行存款.从

第 6 章 数列(教案)

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
观察 反复 强调 强调 思考 求解 50 含义

元月份开始, 每月第 1 天存入银行 1000 元, 银行以年利率 1.71% 引领 分析 计息,试问年终结算时本金与利息之和(简称本利和)总额是 多少(精确到 0.01 元)? 【说明】 年利率 1.71%,折合月利率为 0.1425%.计算公式为月利 率=年利率÷12. 解 年利率 1.71%,折合月利率为 0.1425%.

第 1 个月的存款利息为 1000×0.1425%×12(元) ; 第 2 个月的存款利息为 1000×0.1425%×11(元) ; 第 3 个月的存款利息为 1000×0.1425%×10(元) ; ? ? 第 12 个月的存款利息为 1000×0.1425%×1(元) . 应得到的利息就是上面各期利息之和. 思考 求解 说明 领会

, Sn ? 1000 ? 0.1425% ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 12) ? 111.15 (元) 故年终本金与利息之和总额为 12×1000+111.15=12111.15(元) . 练习 6.2.4 1.如图一个堆放钢管的 V 形架的最下面 一层放一根钢管,往上每一层都比他下面一 层多放一个,最上面一层放 30 根钢管,求这 提问 个 V 形架上共放着多少根钢管. 2. 张新采用零存整取方式在农行存款. 从 第 1 题图 巡视 指导 动手 求解 启发 引导 思考 了解 可以 交给 学生 自我 发现 归纳

元月份开始, 每月第 1 天存入银行 200 元, 银行以年利率 1.71% 计息,试问年终结算时本利和总额是多少(精确到 0.01 元)? *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 质疑 以小 组讨 论师 60

第 6 章 数列(教案)

教 过
n ? a1 ? an ? 2

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
回答 生共 同归 纳的 70

等差数列的前 n 项和公式是什么? 结论: Sn ? , 归纳 强调

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

形式 理解 强化 强调 重点 突破 难点

d.

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形,最上面一层铺了 21 块瓦片,往下每一层多铺一块瓦片,斜面上铺了 20 层瓦片, 问共铺了多少块瓦片. *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 6.2(必做) ;学习指导 6.2(选 做) (3)实践调查:运用等差数列求和公式解决生活中的一个 实际问题 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况

引导

回忆 培养 学生 总结

提问

反思

反思 学习 过程 的能 力 分层 次要 求 80

巡视 指导

动手 求解

说明

记录

90

是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动;

学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信;

第 6 章 数列(教案)

遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

第 6 章 数列(教案)


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