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创新设计必修五WORD训练3-4-2


第 2 课时

基本不等式的应用

一、基础达标 1.已知 x>1,y>1 且 lg x+lg y=4,则 lg xlg y 的最大值是 ( A.4 答案 解析 A ∵x>1,y>1,∴lg x>0,lg y>0, B.2 C.1 1 D.4 )

?lg x+lg y?2 ? =4,

当且仅当 lg x=lg y=2, lg xlg y≤? 2 ? ? 即 x=y=100 时取等号. 2.已知点 P(x,y)在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上,则 2x+4y 的最小值为 ( A.2 2 答案 解析 B ∵点 P(x,y)在直线 AB 上,∴x+2y=3. B.4 2 C.16 D.不存在 )

∴2x+4y≥2 2x· 4y=2 2x+2y=4 2. 3 3 当且仅当 x=2,y=4时,等号成立. 1 ? ? 3.函数 y=log2?x+x-1+5? (x>1)的最小值为 ? ? ( A.-3 答案 解析 ≥2 B ∵x+ 1 1 +5=(x-1)+ +6 x-1 x-1 B.3 C .4 D.-4 )

1 ?x-1?· +6=8.当且仅当 x=2 时,取“=”. x-1

1 ? ? ∴log2?x+x-1+5?≥3,∴ymin=3. ? ?

1 4 4.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y=a+b的最小值是 ( 7 A.2 答案 解析 C a+b ∵a+b=2,∴ 2 =1. 2a b 9 2a b · = ( 当且仅当 b 2a 2 b =2a,即 B.4 9 C.2 D.5 )

1 4 1 4 a+b 5 2a b 5 ∴a+b=(a+b)( 2 )=2+( b +2a)≥2+2

1 4 9 b=2a 时,“=”成立),故 y=a+b的最小值为2. 5.周长为 2+1 的直角三角形面积的最大值为______. 答案 解析 1 4 设直角三角形的两条直角边边长分别为 a 、 b ,则 2 + 1 = a + b +

1 2 a2+b2≥2 ab+ 2ab,解得 ab≤2,当且仅当 a=b= 2 时取“=”,所以 1 1 直角三角形面积 S≤ ,即 S 的最大值为 . 4 4 6.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价 每平方米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为________元. 答案 解析 1 760 设水池的造价为 y 元,长方形底的一边长为 x m,

4 由于底面积为 4 m2,所以另一边长为 x m.那么 4? ? ?2x+2· y=120· 4+2· 80· x? ? ? ? 4? =480+320?x+ x? ? ? ≥480+320· 2 4 x· x=1 760(元).

当且仅当 x=2 时等号成立, 即底为边长为 2 m 的正方形时, 水池的造价最低, 为 1 760 元. 7.设 0<x<2,求函数 y= 3x?8-3x?的最大值.



∵0<x<2,∴0<3x<6,8-3x>2>0, 3x+?8-3x? 8 =2=4, 2

∴y= 3x?8-3x?≤

4 当且仅当 3x=8-3x,即 x=3时,取等号. 4 ∴当 x=3时,y= 3x?8-3x?有最大值 4. 8.某种生产设备购买时费用为 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元,这种生 产设备的维修费各年为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,而 且以后以每年 2 千元的增量逐年递增,问这种生产设备最多使用多少年报废 最合算(即使用多少年的年平均费用最少)? 解 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元. 10+0.9x+ 由已知,得 y= 0.2x2+0.2x 2 , x

10 x 即 y=1+ x +10(x∈N*). 由基本不等式知 y≥1+2 10 x 10 x x· 10=3,当且仅当 x =10,即 x=10 时取等

号.因此使用 10 年报废最合算,年平均费用为 3 万元. 二、能力提升 1? ? 1? ? 9.若 xy 是正数,则?x+2y?2+?y+2x?2 的最小值是 ? ? ? ? ( A.3 答案 解析 C 1? ? 1? ? ?x+2y?2+?y+2x?2 ? ? ? ? 7 B.2 C.4 9 D.2 )

1? 1 1 ? x y =x2+y2+4?x2+y2?+y+x ? ? 1? ? 1 ? ?x y? ? =?x2+4x2?+?y2+4y2?+?y+x?≥1+1+2=4. ? ? ? ? ? ? 2 2 当且仅当 x=y= 2 或 x=y=- 2 时取等号.

xy 10.(2013· 山东)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 z 取得最大值 2 1 2 时, x+ y- z 的最大值为 ( A.0 答案 解析 B xy 由 x2-3xy+4y2-z=0,得 z=x2-3xy+4y2.所以 z = 1 x 4y =1,当且仅当y= x , x 4y y· x -3 xy = x -3xy+4y2
2

)

B.1

9 C.4

D.3

1 x 4y ≤ y+ x -3 2

?xy? 即 x=2y 时取等号,此时 z=2y2,? z ?max=1. ? ? 2 1 2 2 1 2 1 2 ?1 ?2 + - = + - 2=- 2+ =-? -1? +1≤1,当 y=1 时,取等号,故 x y z 2y y 2y y y ?y ? 选 B. 11.设 x>-1,则函数 y= 答案 解析 9 ∵x>-1,∴x+1>0, ?x+5??x+2? 的最小值是________. x+1

设 x+1=t>0,则 x=t-1, 于是有 y= 2 ?t+4??t+1? t2+5t+4 4 = = t + t t t +5≥

4 t· t +5=9,

4 当且仅当 t= ,即 t=2 时取等号,此时 x=1. t ∴当 x=1 时,函数 y= ?x+5??x+2? 取得最小值 9. x+1

12.某建筑公司用 8 000 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 12 层、每层 4 000 平方米的楼房.经初步估计得知,如果将楼房建为 x(x≥12) 层,则每平方米的平均建筑费用为 Q(x)=3 000+50x(单位:元).为了使楼房 每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合

费用最小值是多少? ( 注:平均综合费用=平均建筑费用+ 平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 ) 建筑总面积 解 设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元,依题意得 8 000×10 000 4 000x

f(x)=Q(x)+ =50x+

20 000 x +3 000(x≥12,x∈N), 20 000 x +3 000

f(x)=50x+ ≥2

20 000 50x· x +3 000=5 000(元). 20 000 x ,即 x=20 时上式取“=”.

当且仅当 50x=

因此,当 x=20 时,f(x)取得最小值 5 000(元). 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为 20 层,每平方 米的平均综合费用最小值为 5 000 元. 三、探究与创新 13. 如图所示, 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间, 一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围 36 m 长网的材料, 每间虎笼的长、 宽各设 计为多少时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为 24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使 围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 解 (1)设每间虎笼长 x m,宽为 y m,

则由条件知:4x+6y=36,即 2x+3y=18. 设每间虎笼面积为 S,则 S=xy. 法一 由于 2x+3y≥2 2x· 3y=2 6xy,

27 ∴2 6xy≤18,得 xy≤ 2 , 27 即 S≤ 2 ,当且仅当 2x=3y 时,等号成立.

?2x+3y=18, ?x=4.5, 由? 解得? ?2x=3y, ?y=3. 故每间虎笼长为 4.5 m,宽为 3 m 时,可使面积最大. 法二 3 由 2x+3y=18,得 x=9-2y.

∵x>0,∴0<y<6, 3 ? 3 ? S=xy=?9-2y?y=2(6-y)· y. ? ? ∵0<y<6,∴6-y>0, 3 ??6-y?+y?2 27 ? ?= . ∴S≤2· 2 2 ? ? 当且仅当 6-y=y,即 y=3 时,等号成立, 此时 x=4.5. (2)由条件知 S=xy=24.设钢筋网总长为 l, 则 l=4x+6y. 法一 ∵2x+3y≥2 2x· 3y=2 6xy=24,

?2x=3y, ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当 2x=3y 时,等号成立.由? ?xy=24 ?x=6, 解得? ?y=4. 故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小. 法二 24 由 xy=24,得 x= y . 16 y=48. y·

96 ?16 ? ∴l=4x+6y= y +6y=6? y +y?≥6×2 ? ?

16 当且仅当 y =y,即 y=4 时,等号成立,此时 x=6. 故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小.


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