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2010-2011学年江苏省苏州市高一(下)期末数学试卷


2010-2011 学年江苏省苏州市高一(下)期末数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.已知集合 A={x|x<2},B={x|x>1},则 A∩B= _________ . 2.计算 sin +cos 的值为 _________ .

3.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数分别为:90,89,9

0,95,93,94,93, 若去掉一个最高分和一个最低分,则所剩数据的方差为 _________ . 4.函数 y=3sin (x∈[0,π])的单调减区间是 _________ .

5.已知向量 =(1,0) , =(2,1) .若向量 λ ﹣ 与 +3 平行,则实数 λ= _________ . 6.如图,程序执行后输出的结果为 _________ . 7.函数 y=sin2x+cos2x 的递增区间 _________ . 8.连续抛掷同一骰子 3 次,则“3 次掷得的点数之和是 16”的概率为 _________ . 9.若 x≥0,y≥0,2x+3y≤100,2x+y≤60,则 z=6x+4y 的最大值是 _________ . 10.已知 ,则 sinθ= _________ .

11.方程 x+lg x=3 的解在区间(k,k+1) (k∈Z)上.k= _________ . 12. 已知圆 C 的半径为 r, A 是圆 C 上的一个定点. 在圆 C 上任取一个点 B, 则“线段 AB 的长度大于 r”的概率为 _ . 13.已知 0<x<4,则 +
*

的最小值为 _________ .
2

14.已知数列{an}(n∈N ) ,函数 fn(x)=x +3nx+an.若对一切正整数 n,数列{bn}中的项 bn 与 bn+1 是函数 fn(x) 的两个不同的零点,且 b10=﹣10,则 a50= _________ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.已知 a 为常数,f(x)=lg (1)求 a 的值,并求出 f(x)的定义域; (2)解不等式 f(x)>﹣1. 是奇函数.

16.已知函数 f(x)=2cos x+ sin 2x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别表示角 A,B,C 所对边的长.若 a=4,c=5,f(C)=2,求 sin A 及 b.

2

17.在直角坐标平面 xOy 内,已知向量 的动点.当

=(1,5) ,

=(7,1) ,

=(1,2) ,P 为满足条件

=t

(t∈R)

取得最小值时,求: (1)向量

的坐标; (2)cos∠APB 的值.

18.已知 a 为常数,函数 f(x)=a(x﹣1) (x﹣a) . (1)若 f(x)>﹣a 对一切 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围; (2)解不等式 f(x)>x﹣1.

2

19.某企业有员工共 100 名,平均每人每年创造利润 10(万元) .为了进一步提高经济效益,该企业决定优化产业 结构,调整部分员工从事第三产业.经测算,若 x(20≤x≤50,x∈N )名员工从事第三产业,则剩下的员工平均每 人每年创造的利润可提高 20%,而从事第三产业的员工平均每人每年创造的利润为 11﹣ (万元) .
*

(1)如果要保证调整后该企业的全体员工创造的年总利润,至少要比原来的年总利润多 150(万元) ,求从事第三 产业的员工的最少人数与最多人数; (2)如果要使调整后该企业的全体员工创造的年总利润最大,求从事第三产业员工的人数.

20.已知等差数列{an}的首项为 a,公差为 b,等比数列{bn}的首项为 b,公比为 a,其中 a,b 都是大于 1 的整数, * n∈N . (1)若 a1<b1,b3<a2+a3,求 a,b 的值; (2)若 a=2,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn,记 cn=Tn﹣λSn(λ 是实常数) . * ①若数列{cn}是等差数列,求 λ 的值;②若 cn+1>cn 对一切 n∈N 恒成立,求 λ 的取值范围.

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2010-2011 学年江苏省苏州市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.已知集合 A={x|x<2},B={x|x>1},则 A∩B= {x|1<x<2} . 考点: 交集及其运算。 专题: 计算题。 分析: 在数轴上画出集合 A,B,即可得到 A∩B. 解答: 解:集合 A={x|x<2},B={x|x>1}, 所以 A∩B={x|1<x<2}故答案为:{x|1<x<2}. 点评: 本题考查集合的基本运算,利用数轴是求解集合交集的重要工具,注意学习与应用. 2.计算 sin +cos 的值为 0 .

考点: 运用诱导公式化简求值。 专题: 计算题。 分析: 首先应用诱导公式把角化到 0 到 2π,再把特殊角的三角函数代入代数式进行计算即可. 解答: 解:sin +cos =sin +cos = =0 故答案为:0 点评: 本题考查特殊角的三角函数值和诱导公式的应用,比较简单,只要熟记特殊角的三角函数值即可. 3.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数分别为:90,89,90,95,93,94,93,若去掉一个最高分 和一个最低分,则所剩数据的方差为 考点: 专题: 分析: 解答: .

极差、方差与标准差。 计算题。 根据所给的条件,看出七个数据,根据分数处理方法,去掉一个最高分 95 和一个最低分 89 后,把剩下的五 个数字求出平均数和方差. 解:由题意知,去掉一个最高分 95 和一个最低分 89 后, 所剩数据 90,90,93,94,93 的平均数为 方差为 ; .故答案为: .

点评:

平均数和方差属于统计部分的基础知识,也是高考的新增内容,考生应引起足够的重视,确保稳拿这部分的 分数. (x∈[0,π])的单调减区间是 .

4.函数 y=3sin

考点: 正弦函数的单调性。 专题: 计算题。 分析: 由 2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ 解答: 解:由 2kπ+ 故答案为: ≤2x﹣ ≤2kπ+ .

,k∈z,解出 x 的范围,再确定 k 的取值,使 x∈[0,π])即得所求. ,k∈z,求得 ,k∈z,k=0 时,

点评: 本题考查正弦函数的单调减区间的求法,是基础题. 5.已知向量 =(1,0) , =(2,1) .若向量 λ ﹣ 与 +3 平行,则实数 λ= ﹣ .

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示。 专题: 计算题。 分析: 利用向量的坐标运算求出两个向量的坐标,然后利用向量共线的充要条件乐驰方程,求出 λ 的值.

4

解答:

解: 故答案为﹣

点评: 解决向量共线的问题常用的方法是向量的共线的充要条件:向量的坐标交叉相乘相等. 6.如图,程序执行后输出的结果为 64 .

考点: 程序框图。 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加 S=1+3+…+15 的值 并输出. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用,据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加 S=1+3+…+15 的值并输出∵S=1+3+…+15=64 故答案为:64 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是: :①分析流程图 (或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算 的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)? ②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的 数学模型③解模. 7.函数 y=sin2x+cos2x 的递增区间 考点: 专题: 分析: 解答: [kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z) .

正弦函数的单调性;余弦函数的单调性。 计算题。 利用两角和的正弦函数,化简函数 y=sin2x+cos2x 为 解:函数 y=sin2x+cos2x= 所以: sin(2x+ sin(2x+ ) ,然后求出单调增区间. ]k∈Z ,kπ+ ](k∈Z)

) ,因为 y=sinx 的单调增区间为[﹣ ,kπ+ ](k∈Z)故答案为:[kπ﹣

,解得 x∈[kπ﹣

点评:

本题考查正弦函数的单调性,余弦函数的单调性,利用基本函数的单调增区间,求复合函数的单调增区间的 方法,注意本题的变式:y=sin(﹣2x+ )的求法,必须把 x 的系数化简为正数,否则一定有错误. .

8.连续抛掷同一骰子 3 次,则“3 次掷得的点数之和是 16”的概率为

考点: 古典概型及其概率计算公式。 专题: 计算题。 3 分析: 连续抛掷同一骰子 3 次的所有结果的个数共有 6 种结果,每种结果等可能出现,属于古典概率,3 次掷得的 点数之和是 16 结果有(5,5,6) , (5,6,5) , (6,5,5) , (4,6,6) , (6,4,6) , (6,6,4)6 种结果, 由古典概率的计算公式可求 解答: 解:连续抛掷同一骰子 3 次的所有结果的个数共有 63 种结果,每种结果等可能出现,属于古典概率 记“3 次掷得的点数之和是 16”为事件 A,则 A 包含的结果有(5,5,6) , (5,6,5) , (6,5,5) , (4,6,6) , (6,4,6) , (6,6,4)6 种结果由古典概率的计算公式可得,P(A)= 故答案为:

点评: 本题主要考查了古典概率公式的计算公式在解题中的应用,属于基本公式的看考查,属于基础试题. 9.若 x≥0,y≥0,2x+3y≤100,2x+y≤60,则 z=6x+4y 的最大值是 200 . 考点: 简单线性规划。
5

专题: 数形结合。 分析: ①画可行域②名曲目标函数几何意义:直线斜率的四倍 纵截距最大时 z 也取得最大值.③平移目标函数得 到最大值 解答: 解:画可行域如图阴影部分四边形 ABCD 令 z=0 得直线 l:0=6x+4y 平移 l 过 A(20,20) 时 z 最大为 200 故答案为 200

点评: 本题考查线性规划问题:可行域画法 目标函数几何意义 10.已知 考点: 两角和与差的余弦函数。
6

,则 sinθ=



专题: 综合题。 分析: 把已知的条件利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后, 得到关于 sinθ 和 cosθ 的关系式记作 ①,然后根据同角三角函数间的平方关系得到关于关于 sinθ 和 cosθ 的另外一个关系式记作②,把①代入 ②得到关于 sinθ 的方程,求出方程的解即可得到 sinθ 的值,然后利用 θ 的范围,得到符合题意的 sinθ 的值. 解答: 解:由 sin(θ+ )=sinθcos +cosθsin = sinθ+ cosθ=13,得到 cosθ= ﹣ sinθ①, 又 sin θ+cos θ=1②,所以把①代入②得:4sin θ﹣ 则 sinθ= 去,所以 sinθ= 或 sinθ= ,因为 θ∈( .
2 2 2

sinθ﹣ =0, ,π ) ,所以 sinθ>0,故 sinθ= 不合题意,舍

.故答案为:

点评: 此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值, 是一道综合题. 学 生做题时应注意角的范围. 11.方程 x+lg x=3 的解在区间(k,k+1) (k∈Z)上.k= 2 . 考点: 函数最值的应用;函数的零点与方程根的关系。 专题: 计算题。 分析: 方程的解即对应函数 f(x)=lgx+x﹣3 的零点,由 f(1)<0,f(3)>0 知,方程 f(x)=0 的零点在(2, 3)上,又方程 f(x)=0 的零点在∈(k,k+1)上,k∈Z,可得 k 值. 解答: 解:令 f(x)=lgx+x﹣3,则方程 lgx+x﹣3=0 的近似解 x=x0∈(k,k+1) ,k∈Z,即 函数 f(x)的零点, 在(k,k+1)上,k∈Z,∵f(2)=lg2+2﹣3<0,f(3)=lg3+3﹣3>0,∴函数 f(x)的零点在(2,3)上, ∴k=1,故答案为:2. 点评: 本题考查方程的解与函数零点的关系及用二分法求方程的近似解. 解答关键是函数思想, 和方程思想的应用, 属于基础题型. 12. 已知圆 C 的半径为 r, A 是圆 C 上的一个定点. 在圆 C 上任取一个点 B, 则“线段 AB 的长度大于 r”的概率为 .

考点: 几何概型。 专题: 计算题;数形结合。 分析: 根据圆 C 的半径为 r,A 是圆 C 上的一个定点.在圆 C 上任取一个点 B,我们求出满足条件“线段 AB 的长度 大于 r”的角度,代入几何概型概率公式,即可得到“线段 AB 的长度大于 r”的概率. 解答: 解:已知如图所示:当 B 点位于优弧 B′B″时,线段 AB 的长度大于 r 由于优弧 B′B″的弧度为

故“线段 AB 的长度大于 r”的概率 P=

= 故答案为:

点评: 本题考查的知识点是几何概型,其中求出所有基本事件对应的度数(整个周角)和满足条件的基本事件对应 的弧的度数,是解答本题的关键. 13.已知 0<x<4,则 + 的最小值为 .

考点: 函数的最值及其几何意义。 专题: 计算题。
7

分析: 把要求的式子变形为 解答: 解: + =

( + ( +

)=1+ ) =1+

+ ,利用基本不等式即可得到 + + ≥ = 当且仅当

的最小值.

时,即 x= 时取等号.故答案为: 点评: 本题考查基本不等式的应用,把要求的式子变形为 ( + )=1+ + ,

是解题的关键,属于中档题. * 2 14.已知数列{an}(n∈N ) ,函数 fn(x)=x +3nx+an.若对一切正整数 n,数列{bn}中的项 bn 与 bn+1 是函数 fn(x) 的两个不同的零点,且 b10=﹣10,则 a50= 5600 . 考点: 数列与函数的综合。 专题: 计算题。 2 2 分析: 由已知,bn 与 bn+1 是函数 fn(x)=x +3nx+an 的两个不同的零点,即 bn 与 bn+1 是方程 x +3nx+an=0 两个不同 的根. 由韦达定理 bn+b n+1,=﹣3n,且 an=bnb n+1, .探求出 b n+2﹣bn=﹣3,数列{bn}中的奇数项、偶数项均构成以 3 为公差的等差数列.再利用 b10+b11,=﹣30,由 b10=﹣10,得 b11,=﹣20.求出 b50,b51 再求出 a50. 解答: 解:由已知,bn 与 bn+1 是函数 fn(x)=x2+3nx+an 的两个不同的零点,即 bn 与 bn+1 是方程 x2+3nx+an=0 两个 不同的根.由韦达定理 bn+b n+1,=﹣3n,①且 an=bnb n+1, .③ 所以 bn+1+b n+2=﹣3(n+1) ,② ②﹣①得,b n+2﹣bn=﹣3,为常数,所以数列{bn}中的奇数项、偶数项均构成以 3 为公差的等差数列. 2 2 由 b10 与 b11 是函数 f10(x)=x +30x+a10 的两个不同的零点,即 b10 与 b11 是方程 x +30x+a10=0 两个不同的 根.由韦达定理 b10+b11,=﹣30,由 b10=﹣10,得 b11,=﹣20. 所以 b50=b10+20×(﹣3)=﹣10﹣60=﹣70 b51=b11+20×(﹣3)=﹣20﹣60=﹣80. 由③得出 a50=b50b51=5600 故答案为:5600. 点评: 本题考查变形构造推理、计算能力,考查了等差数列的判定、通项公式求解,以及函数零点的知识. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.已知 a 为常数,f(x)=lg >﹣1. 考点: 专题: 分析: 是奇函数. (1)求 a 的值,并求出 f(x)的定义域; (2)解不等式 f(x)

奇偶性与单调性的综合;函数奇偶性的性质;对数函数的单调性与特殊点。 计算题。 (1)根据奇函数的定义可得 f(﹣x)+f(x)=0,故 f0)=0,故 lg(a﹣1)=0,解得 a 的值. (2)f(x)=lg ,不等式 f(x)>﹣1 即 lg ≥lg ,即 ≥ ,移项后,用穿根法求得解

解答:

集,最后得函数的定义域求出交集即可. 解: (1)根据奇函数的定义可得 f(﹣x)+f(x)=0,∴故 f0)=0,故 lg(a﹣1)=0,a﹣1=1,故 a=2. (2)由以上可得 f(x)=lg 不等式 f (x) >﹣1 即 lg ,由 ≥lg ]. , 即 可得﹣1<x<1,故 f(x)的定义域为(﹣1,1) . ≥ , 移项后, 得: , 用穿根法求得﹣1<x≤ . 综

上,不等式的解集为(﹣1, 点评:

本题考查对数函数的定义域,奇函数的定义,对数函数的单调性和特殊点,体现了转化的数学思想,解不 等式 lg ≥﹣1,是解题的难点.
2

16.已知函数 f(x)=2cos x+ sin 2x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别表示角 A,B,C 所对边的长.若 a=4,c=5,f(C)=2,求 sin A 及 b. 考点: 解三角形;三角函数中的恒等变换应用。
8

专题: 分析:

综合题。 (1)先将函数化简为 ,再求函数的周期;

(2)先由 f(C)=2 求出 C,再利用正弦、余弦定理求解. 解答: 解: (1) 由余弦定理得 点评: ,解得 ,故 ; (2)由 f(C)=2 得 ,∴ . ,∴ ,

又由正弦定理得

此题考查了正弦、余弦定理的应用,考查了三角函数的周期性及其求法,熟练掌握三角函数公式及正弦函数 的值域是解本题的关键. =(1,5) , =(7,1) , =(1,2) ,P 为满足条件 =t (t∈R)

17.在直角坐标平面 xOy 内,已知向量 的动点.当

取得最小值时,求: (1)向量

的坐标; (2)cos∠APB 的值.

考点: 平面向量的综合题。 专题: 计算题。 分析: (1)由题意知
2

,由向量共线定理可得?λ∈[0,1]使得

,由向量数量

积的坐标表示可得 f(λ)=5λ ﹣20λ+12,λ∈[0,1]结合二次函数在区间[0,1]的单调性可求函数的最小值及 P 的坐标; (2)代入向量夹角公式 cos 解答: 解: (1)由题意,可设 设 求值 ,其中 λ∈[0,1],则
2

,则 f(λ)=(1﹣λ) (7﹣λ)+(5﹣2λ) (1﹣2λ)=5λ ﹣20λ+12,λ∈[0,1]

又 f(λ)在[0,1]上单调递减∴当 λ=1 时 f(λ)取得最小值,此时 P 点坐标为(1,2) (2) ∴ .

点评: 本题考查平面向量共线定理,平面向量数量积的坐标表示,二次函数的单调性及最值的求解,向量夹角的坐标 表示.熟练掌握向量的基础知识并能灵活运用是解决问题的关键. 18.已知 a 为常数,函数 f(x)=a(x﹣1) (x﹣a) . (1)若 f(x)>﹣a 对一切 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围; (2)解不等式 f(x)>x﹣1. 考点: 函数恒成立问题;一元二次不等式的解法。 专题: 计算题;分类讨论。 2 分析: (1)将 f(x)>﹣a 对一切 x 属于 R 恒成立转化为 a[x ﹣(a+1)x+a+1]>0,再对 a 分类讨论解决; (2)不等式 f(x)>x﹣1 转化为(x﹣1)[a(x﹣a)﹣1]>0,通过 x﹣1>0 且 a(x﹣a)﹣1>0 或 x﹣1<0 且 a(x﹣a)﹣1<0,使问题得到解决. 解答: 解: (1)f(x)>﹣a 对一切 x 属于 R 恒成立,即 f(x)+a>0 对一切 x 属于 R 恒成立,即 a(x﹣1) (x﹣a) 2 +a>0 对一切 x 属于 R 恒成立,即 a[x ﹣(a+1)x+a+1]>0,分别讨论:1)当 a=0 时,左边=0,不等式不成 2 2 立,a 无解 2)当 a>0 时,两边同除以 a,得 x ﹣(a+1)x+a+1>0,因 y=x ﹣(a+1)x+a+1 为开口向上的 2 2 抛物线, 因对一切 x 属于 R 不等式 x ﹣ (a+1) x+a+1>0 恒成立, 故x ﹣ (a+1) x+a+1=0 无解, 其判别式 (a+1) 2 ﹣4(a+1)<0,即(a+1) (a+1﹣4)=(a+1) (a﹣3)<0,解得 0<a<3; 2 2 3)当 a<0 时,两边同除以 a,得 x ﹣(a+1)x+a+1<0,因 y=x ﹣(a+1)x+a+1 为开口向上的抛物线, 2 不论 a 取什么值,都不可能使 x ﹣(a+1)x+a+1<0 恒成立,故此时 a 无解; 综上所述,只有当 0<a<3 时,f(x)>﹣a 对一切 x 属于 R 恒成立. (2)不等式 f(x)>x﹣1,即 a(x﹣1) (x﹣a)﹣(x﹣1)>0,即(x﹣1)[a(x﹣a)﹣1]>0, 解得 x﹣1>0 且 a(x﹣a)﹣1>0 或 x﹣1<0 且 a(x﹣a)﹣1<0,利用前面求得的 0<a<3 可知,第一组解

9



,因

,故第一组解为 (其中 0<a<3) .

;同理,第二组解为 x<1.综上所述,不等式 f(x)

>x﹣1 的解为 x<1 或

点评: 本题考查函数的恒成立问题,考查的重点与难点在于分类讨论思想的灵活运用,是一道考查学生综合运用能 力高低的一道好题. 19.某企业有员工共 100 名,平均每人每年创造利润 10(万元) .为了进一步提高经济效益,该企业决定优化产业 结构,调整部分员工从事第三产业.经测算,若 x(20≤x≤50,x∈N )名员工从事第三产业,则剩下的员工平均每 人每年创造的利润可提高 20%,而从事第三产业的员工平均每人每年创造的利润为 11﹣ (万元) .
*

(1)如果要保证调整后该企业的全体员工创造的年总利润,至少要比原来的年总利润多 150(万元) ,求从事第三 产业的员工的最少人数与最多人数; (2)如果要使调整后该企业的全体员工创造的年总利润最大,求从事第三产业员工的人数. 考点: 函数模型的选择与应用。 专题: 应用题。 分析: (1)根据题意可列出 10(100﹣x) (1+20%)+x(11﹣ )≥10×100+150,进而解不等式求得 x 的范围, 确定问题的答案. (2)根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润,进而根 据题意建立不等式,根据均值不等式求得求 a 的范围. 解答: 解: (1)由题意得:10(100﹣x) (1+20%)+x(11﹣
*

)≥10×100+150,即 x ﹣50x+400≤0,又 20≤x≤50,

2

x∈N ,所以 20≤x≤40.从事第三产业的员工的最少 20 人与最多 40 人 (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 x(11﹣ )万元,从事原来产业的员工的年总利润为 10 )=1200

(100﹣x) (1+20%)万元,则全体员工创造的年总利润 y=10(100﹣x) (1+20%)+x(11﹣ ﹣(x+

)≤1200﹣40=1160 当且仅当 x=20 时,y 取最大值,即要使调整后该企业的全体员工创造的年总

利润最大,从事第三产业员工应有 20 人 本题主要考查了函数模型的选择和应用,基本不等式在求最值问题中的应用.考查了学生综合运用所学知 识,解决实际问题的能力. 20.已知等差数列{an}的首项为 a,公差为 b,等比数列{bn}的首项为 b,公比为 a,其中 a,b 都是大于 1 的整数, * n∈N . (1)若 a1<b1,b3<a2+a3,求 a,b 的值; (2)若 a=2,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 * Tn,记 cn=Tn﹣λSn(λ 是实常数) .①若数列{cn}是等差数列,求 λ 的值;②若 cn+1>cn 对一切 n∈N 恒成立,求 λ 的取值范围. 考点: 等差数列与等比数列的综合。 专题: 计算题。 2 2 分析: (1) 由题意可得, 1<a<b, ba <a+b+a+2b=2a+3b<5b 即 a <5, a>1 且 a 为整数可求 a 然后由, 4b<2a+3b 即 b<2a=4,b 为整数可求 b 点评: (2)若 a=2,则由题意可求,
n

,Tn=b(2 ﹣1+2 ﹣1+…+2 ﹣1)=b(2
n+1 n

1

2

n

n+1

﹣2)Cn=Tn
n

解答:

﹣λSn=b[(2﹣λ)2 +λ﹣2],进而可得 Cn+1﹣Cn=b[(2﹣λ)2 +λ﹣2]﹣b[(2﹣λ)2 +λ﹣2]=b?(2﹣λ)?2 ; n ①若数列为等差数列,则 b?(2﹣λ)?2 为常数,可求 λ n ②若 Cn+1>Cn,则 b(2﹣λ)2 >0,可求 λ 得范围 2 2 解: (1)由题意可得,1<a<b,∵b3<a2+a3∴ba <a+b+a+2b=2a+3b<5b 即 a <5,a>1 且 a 为整数 ∴a=2,4b<2a+3b 即 b<2a=4,b 为整数,故 b=3 即 a=2,b=3 (2)若 a=2,则由题意可得, ,Tn=b(2 ﹣1+2 ﹣1+…+2 ﹣1)=
1 2 n

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点评:

Cn=Tn﹣λSn=b?(2 ﹣2)﹣λb?(2 ﹣1)=b[(2﹣λ)2 +λ﹣2] Cn+1﹣Cn=b[(2﹣λ)2 +λ﹣2]﹣b[(2 n n n n ﹣λ)2 +λ﹣2]=b?(2﹣λ)?2 ;①若数列为等差数列,则 b?(2﹣λ)?2 为常数,而由于 2 为变量,故 b n (2﹣λ)=0,λ=2 ②若 Cn+1>Cn,则 b(2﹣λ)2 >0,从而可得,2﹣λ>0 即 λ<2 本题主要考查了等差数列与等比数列中利用基本量表示数列中的项,这是数列部分考查的最基本的试题类 型,而等差数列得定义与数列单调性的定义的应用是解决(2)的关键.

n+1

n

n

n+1

11


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