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高中数学选修2-2模块检测


2-2 模块检测 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 1.满足条件|z|=|3+4i|的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( A.一条直线 C.圆 B.两条直线 D.椭圆 ).

解析 ∵|z|=|3+4i|=5,∴z 点的轨迹是以原点为圆心,以 5 为半径的圆.答案 C 2. 某个命题与正整数有关, 如果当 n

=k(k∈N*)时, 该命题成立, 那么可推得 n=k+1 时命题也成立. 现 在已知当 n=5 时,该命题不成立,那么可推得( ).

A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 C.当 n=4 时该命题不成立 D.当 n=4 时该命题成立 解析 依题意,若 n=4 时该命题成立,则 n=5 时该命题必成立;而 n=5 时命题不成立,却无法 判定 n=6 时该命题成立还是不成立,故应选 C.答案 C 3.观察下式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,?,则第 n 个式子是 ( ).

A.n+(n+1)+(n+2)+?+(2n-1)=n2 B.n+(n+1)+(n+2)+?+(2n-1)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 D.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=(2n-1)2 解析 法一 由已知得第 n 个式子左边是 2n-1 项的和且首项为 n,以后是各项依次加 1,设最后 一项应为 m,则 m-n+1=2n-1,∴m=3n-2. 法二 特值验证法.n=2 时,2n-1=3,3n-1=5,都不是 4,故只有 3n-2=4.答案 C 4.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a, b)内的极小值点共有( ).

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

解析 在极小值点附近左负右正,有一个极小值点.答案 A 5.函数 y=xln x 在(0,5)上是( ).

A.单调增函数 B.单调减函数 1? ?1 ? ? 1? ?1 ? C.在? ?0,e?上单调递增,在?e,5?上单调递减 D.在?0,e?上单调递减,在?e,5?上单调递增 1 解析 f′(x)=ln x+x·=ln x+1(x>0). x 1 令 f′(x)=0,得 x= , e 1? ?1 ? ∴在 x∈? ?0,e?上,f′(x)<0,在 x∈?e,5?,f′(x)>0,故选 D.答案 D

6.类比下列平面内的结论,在空间中仍能成立的是( ①平行于同一直线的两条直线平行; ②垂直于同一直线的两条直线平行;

).

③如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则必与另一条垂直; ④如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则必与另一条相交. A.①②④ C.②④ 答案 B 7.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 处取得极值,则 a 等于( A.2 B.3 C.4 D.5 解析 f′(x)=3x2+2ax+3,∵f′(-3)=0.∴3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,∴a=5.答案 D 8.已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意 m,n∈N*都有:①f(m,n+1)=f(m,n)+2;② f(m+1,1)=2f(m,1).给出以下三个结论: (1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26. 其中正确结论的个数为( A.3 B.2 C.1 D.0 解析 (1)由 f(1,1)=1 和 f(m,n+1)=f(m,n)+2 得 f(1,2)=f(1,1+1)=f(1,1)+2=1+2=3, f(1,3)=f(1,2)+2=5,f(1,4)=f(1,3)+2=7,f(1,5)=f(1,4)+2=9; (2)由 f(1,1)=1 和 f(m+1,1)=2f(m,1) 得 f(2,1)=f(1+1,1)=2f(1,1)=2,f(3,1)=2f(2,1)=4,f(4,1)=2f(3,1)=8,f(5,1)=2f(4,1)=16; (3)由 f(m,n+1)=f(m,n)+2 得 f(5,6)=f(5,5)+2, 而 f(5,5)=f(5,4)+2,f(5,4)=f(5,3)+2,f(5,3)=f(5,2)+2,f(5,2)=f(5,1)+2=16+2=18, 则 f(5,6)=26.答案 A π 9.若 0<x< ,则 2x 与 3sin x 的大小关系( 2 A.2x>3sin x C.2x=3sin x ). B.2x<3sin x D.与 x 的取值有关 ). ). B.①③ D.①③④

解析 令 f(x)=2x-3sin x,则 f′(x)=2-3cos x. 2 当 cosx< 时,f′(x)>0, 3 2 当 cos x= 时,f′(x)=0, 3 2 当 cos x> 时,f′(x)<0. 3 π 即当 0<x< 时,f(x)先递减再递增, 2

π? 而 f(0)=0,f? ?2?=π-3>0. 故 f(x)的值与 x 取值有关,即 2x 与 sin x 的大小关系与 x 取值有关.故选 D. 答案 D
2 ? ?x ,x∈[0,1], 10.f(x)=? 则 ?2-x,x∈[1,2], ?

f(x)dx=( 4 B. 5

).

3 A. 4 5 C. 6

D.不存在

解析

f(x)dx=

x2dx+

(2-x)dx

1 3??1 ? 1 2??2 =? ?3x ??0+?2x-2x ??1 1? 5 1 = +(4-2)-? ?2-2?=6. 3 答案 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 11.在下面演绎推理中:“∵|sin x|≤1,又 m=sin α,∴|m|≤1”,大前提是________. 答案 |sin x|≤1 12.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式: 22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,?; 23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,?. 根据上述分解规律,则 52=1+3+5+7+9,若 m3(m∈N*)的分解中最小的数是 73,则 m 的值为 ________. m?m-1? 解析 m3 的分解中最小数是 3,5,7,9,?中的第 个, 2 m?m-1? ∴73=2· +1. 2 ∵m(m-1)=72,又 m>0,∴m=9. 答案 9

?1+i??1+i?2?1+i?3??1+i?100=________. 13.? ?? ?? ? ? ? ?1-i??1-i? ?1-i? ?1-i?
解析 原式=i1 答案 -1 x 14.曲线 y= 在点(1,-1)处的切线方程为________. x-2 x-2-x -2 解析 y′= = , ?x-2?2 ?x-2?2
+2+3+?+100

=i5 050=i2=-1.

∴y′|x=1=-2, 故所求切线方程为 y+1=-2(x-1),即 2x+y-1=0. 答案 2x+y-1=0 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 15.(10 分)某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,求该公司能获得的最大利 润为多少万元? 解 设在甲地销售 m 辆车,在乙地销售(15-m)辆车,

则总利润 y=5.06m-0.15m2+2(15-m)=-0.15m2+3.06m+30,所以 y′=-0.3m+3.06. 令 y′=0,得 m=10.2.当 0≤m<10.2 时,y′>0; 当 10.2<m≤15 时,y′<0.故当 m=10.2 时,y 取得极大值,也就是最大值. 又由于 m 为正整数,且当 m=10 时,y=45.6;当 m=11 时,y=45.51. 故该公司获得的最大利润为 45.6 万元. 1 16.(10 分)设函数 f(x)=(a-2)ln(-x)+ +2ax(a∈R). x (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)当 a≠0 时,求 f(x)的单调区间. 解 (1)依题意,知 f(x)的定义域为(-∞,0).

-2 1 -?2x+1? 1 当 a=0 时,f(x)=-2ln(-x)+ ,f′(x)= - 2= . x x x x2 1 1 1 1 令 f′(x)=0,解得 x=- .当 x<- 时,f′(x)>0;当 x>- 时,f′(x)<0.故当 x=- 时, 2 2 2 2 f(x)取得极大值为 2ln 2-2. a-2 1 ?a-2?x-1+2ax2 (2)f′(x)= - 2+2a= x x x2 1? a?2x+1?? ?x-a? x2



.

1 1 若 a>0,令 f′(x)>0,解得 x<- ;令 f′(x)<0,解得- <x<0. 2 2 1 1 1 1 1 1 若 a<0,①当-2<a<0 时,- > ,令 f′(x)>0,解得 <x<- ;令 f′(x)<0,解得 x< 或- <x<0. 2 a a 2 a 2 -?2x+1?2 1 1 ②当 a=-2 时,- = ,f′(x)= ≤0. 2 a x2 1 1 ③当 a<-2 时,- < , 2 a 1 1 令 f′(x)>0,解得- <x< ; 2 a 1 1 令 f′(x)<0,解得 x<- 或 <x<0. 2 a

1? ? 1 ? 综上,当 a>0 时,f(x)的增区间为? ?-∞,-2?,减区间为?-2,0?; 1 1? 1? ? 1 ? ? 当-2<a<0 时,f(x)的增区间为? ?a,-2?,减区间为?-∞,a?,?-2,0?; 当 a=-2 时,f(x)的减区间为(-∞,0),无增区间; 1 1? 1? ?1 ? ? 当 a<-2 时,f(x)的增区间为? ?-2,a?,减区间为?-∞,-2?,?a,0?. 17.(10 分)已知函数 f(x)=ax-ln x,若 f(x)>1 在区间(1,+∞)内恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 由 f(x)>1,得 ax-ln x-1>0. 1+ln x 即 a> 在区间(1,+∞)内恒成立. x 1+ln x ln x 设 g(x)= ,则 g′(x)=- 2 , x x ∵x>1,∴g′(x)<0. 1+ln x ∴g(x)= 在区间(1,+∞)内单调递减. x ∴g(x)<g(1)=1, 即 1+ln x <1 在区间(1,+∞)内恒成立, x

∴a≥1. 8· 1 8· 2 8· n 8 18.(12 分)已知数列 2 2, 2 2,?, ,?,Sn 为该数列的前 n 项和,计算得 S1= , 1· 3 3· 5 9 ?2n-1?2· ?2n+1?2 24 48 80 S2= ,S3= ,S4= . 25 49 81 观察上述结果,推测出 Sn(n∈N*),并用数学归纳法加以证明. 解 ?2n+1?2-1 推测 Sn= (n∈N*). ?2n+1?2

用数学归纳法证明如下: ?2+1?2-1 8 (1)当 n=1 时,S1= = ,等式成立; 9 ?2+1?2 (2)假设当 n=k 时等式成立, ?2k+1?2-1 即 Sk= ,那么当 n=k+1 时, ?2k+1?2 8?k+1? Sk+1=Sk+ ?2k+1?2?2k+3?2 = ?2k+1?2-1 8?k+1? + ?2k+1?2 ?2k+1?2?2k+3?2

[?2k+1?2-1]?2k+3?2+8?k+1? = ?2k+1?2?2k+3?2 = ?2k+1?2?2k+3?2-?2k+3?2+8?k+1? ?2k+1?2?2k+3?2



?2k+1?2?2k+3?2-?2k+1?2 ?2k+1?2?2k+3?2

?2k+3?2-1 [2?k+1?+1]2-1 = = . ?2k+3?2 [2?k+1?+1]2 也就是说,当 n=k+1 时,等式成立. 根据(1)和(2),可知对一切 n∈N*,等式均成立. 19.(12 分)已知函数 f(x)=x2+ln x. (1)求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; (2)求证:当 x∈(1,+∞)时, 2 1 函数 f(x)的图象在 g(x)= x3+ x2 的下方. 3 2 (1)解 ∵f(x)=x2+ln x, 1 ∴f′(x)=2x+ . x ∵x>1 时,f′(x)>0, ∴f(x)在[1,e]上是增函数, ∴f(x)的最小值是 f(1)=1, 最大值是 f(e)=1+e2. (2)证明 令 F(x)=f(x)-g(x) 1 2 = x2- x3+ln x, 2 3
2 3 1 x -2x +1 ∴F′(x)=x-2x2+ = x x



x2-x3-x3+1 ?1-x??2x2+x+1? = . x x

∵x>1,∴F′(x)<0, ∴F(x)在(1,+∞)上是减函数, 1 2 1 ∴F(x)<F(1)= - =- <0. 2 3 6 ∴f(x)<g(x). ∴当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)的图象在 2 1 g(x)= x3+ x2 的下方. 3 2


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