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高中数学1.1任意角和弧度制导学案 新人教A版必修4


1.1 《任意角和弧度制》导学案
【 学习目标】 1.理解任意角的概念. 2.学会建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角,掌握终边相同角的集合的书写. 3.了解弧度制,能进行弧度与角度的换算. 4.认识弧长公式,能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解,会进行简单应用,不必在应用 方面加深. 5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系, 培养学生学会用函数的观点分析、 解决

问题. 【导入新课】 复习初中学习过的知识:角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出问题: 1.初中所学角的概念. 2.实际生活中出现一系列关于角的问题. 3. 初中的角是如何度量的?度量单位是什么? 4.1°的角是如何定义的?弧长公式是什么? 5.角的范围是什么?如何分类的? 新授课阶段 一、角的定义与范围的扩大 1.角的定义:一条射线绕着它的端点 O ,从起始位置 OA 旋转到终止位置 OB ,形成一个 角 ? ,点 O 是角的顶点,射线 OA, OB 分别是角 ? 的终边、始边. 说明:在不引起混淆的前提下, “角 ? ”或“ ?? ”可以简记为 ? . 2.角的分类: 正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角; 负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角; 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角. 说明:零角的始边和终边重合. 3.象限角:

1

在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负轴重合,则 (1)象限角:若角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例如: 30 ,390 , ?330 都是第一象限角; 300 , ?60 是第四象限角. (2)非象限角(也称象限间角、轴线角) :如角的终边在坐标轴上,就认为这个角 不属于 任何象限.例如: 90 ,180 , 270 等等. 说明:角的始边“与 x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与 x 轴的正半轴重合”.因为 x 轴 的 正半轴不包括原点,就 不完全包括角的始边,角的始边是以角的顶点为其端点的射线. 4.终边相同的角的集合:由特殊角 30 看出:所有与 30 角终边相同的角,连同 30 角自身 在内,都可以写成 30 ? k ? 360 角都与 30 角的终边相同.

? k ? Z ? 的形式;反之,所有形如 30

? k ? 360 ? k ? Z ? 的

从而得出一般规律:

所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一个集合

S ? ? ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z ? ,
即:任一与角 ? 终边相同的角,都可以表示成角 ? 与整数个周角的和. 说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 例1 在 0 与 360 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角? (1) ?120 ;(2) 640 ;(3) ?950 12? . 解:

2

例 2 若 ? ? k ? 360 ?1575 , k ? Z ,试判断角 ? 所在象限. 解:

例3

写出下列各边相同的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式 ?360 ? ? ? 720 的元素

?
写出来: (1) 60 ; 解: (2) ?21 ; (3) 363 14? .

例 4:写出第一象限角的集合 M . 分析: 解

学生讨论,归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法:

3

说明:区间角的集合的表示不唯一.

例5 解:

写出 y ? ? x( x ? 0) 所夹区域内的角的集合.

二、弧度制与弧长公式 1. 角度制与弧度制的换算: ∵ 360?=2? rad, ∴ 1?= ∴180?=? rad.

?
180

rad ? 0.01745 rad .
?

? 180? ? ? 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' . ? ? ?
2.弧长公式: l ? r ? ? . 由公式: ? ?

R o S l

l n?r ? l ? r ? ? ,比公式 l ? 简单. r 180 1 lR ,其中 l 是扇形弧长, R 是圆的半径. 2

弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积. 3.扇形面积公式 注意几点: 1. 今后在具体运算时, “弧度”二字和单位符号“rad”可以省略,如:3 表示 3rad ,sin? 表 示?rad 角的正弦; 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住: 角度 弧度 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

S?

4

弧度 3.应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合 与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.

正角 零角 负角

正实数 零 负实数

任意角的集合 例 6 把下列各角从度化为弧度:

实数集 R

(1) 252 ;(2) 11 15 ;(3) 30 ;(4) 67 ?30 ' .
0 0 /
0

解:

变式练习:把下列各角从度化为弧度: (1)22 ?30′;(2)-210?; (3)1200?. 解:

例 7 把下列各角从弧度化为度: (1) ? ;(2) 3.5;(3) 2;(4) 解: (1) (2) (3) (4)

3 5

? . 4

5

变式练习:把下列各角从弧度化为度: (1) 解:

? 4? 3? ;(2);(3) . 12 3 10

例 8 知扇形的周长为 8 cm ,圆心角 ? 为 2rad, ,求该扇形的面积. 解:

课堂小结 1. 弧度制的定义; 2.弧度制与角度制的转换与区别; 3.牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用; 4.象 限角与相衔接集奥的写法,终边相同的角的写法. 作业 习题 A 组 1 拓展提升 1. 若时针走过 2 小时 40 分,则分针走过的角是多少? 2. 下列命题正确的是: ( ) (B)第一象限的角都是锐角. (D)小于 900 的角都是锐角. 象限角.
2

3

5 见《同步练习》

(A)终边相同的角一定相等. (C)锐角都是第一象限的角. 3. 若 a 是第一象限的角,则 ? a 是第

6

4.一角为

,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_
o

_.

5.集合 M={α =k ? 90 ,k∈Z}中,各角的终边都在( A. 轴正半轴上, C. 轴或 轴上, B. D. 轴正半轴上, 轴正半轴或



轴正半轴上

{第一象限的角}, 6.设 E ? {小于90o的角},F ? {锐角},G=

,那么有( ) . A. B. C. ( ) D.

7.设






C={α |α = k180o+45o ,k∈Z} ,
.

则相等的角集合为_

_.

8.在 ?ABC 中,若 ?A : ?B : ?C ? 3 : 5 : 7 ,求 A,B,C 弧度数.

9. 直径为 20cm 的滑轮, 每秒钟旋转 45 , 则滑轮上一点经过 5 秒钟转过的弧长是多少?

10.选做题 如图,扇形 OAB 的面积是 4cm ,它的周长是 8cm ,求扇形的中心角及弦 AB 的 长.
2

B

A O
11.在 (1) ~ 间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角: ; (2) ; (3) .
7

8

1.1 《任意角与弧度制》导学案 参考答案 例1 解: (1) ?120 ? 240 ? 360 ,

所以,与 ?120 角终边相同的角是 240 ,它是第三象限角; (2) 640 ? 280 ? 360 , 所以,与 640 角终边相同的角是 280 角,它是第四象限角; (3) ?950 12? ? 129 48? ? 3 ? 360 , 所以, ?950 12? 角终边相同的角是 129 48? 角,它是第二象限角. 例 2 解:∵ ? ? k ? 360 ?1575 ? (k ? 5) ? 360 ? 225 , ∴ ? 与 225 终边相同, 所以, ? 在第三象限. 例3 解: (1) S ? ? | ? ? 60 ? k ? 360 , k ? Z ,

(k ? 5) ? Z

?

?

S 中适合 ?360 ? ? ? 720 的元素是

60 ? 1? 360 ? ?300 , 60 ? 0 ? 360 ? 60 , 60 ? 1? 360 ? 420 .
(2) S ? ? | ? ? ?21 ? k ? 360 , k ? Z , S 中适合 ?360 ? ? ? 720 的元素是

?

?

?21 ? 0 ? 360 ? ?21 , ?21 ? 1? 360 ? 339 , ?21 ? 2 ? 260 ? 699
(3) S ? ? | ? ? 363 14? ? k ? 360 , k ? Z S 中适合 ?360 ? ? ? 720 的元素是

?

?

9

363 14? ? 2 ? 360 ? ?356 46?, 363 14? ? 1? 360 ? 3 14?, 363 14? ? 0 ? 360 ? 363 14?.
例4 分析: (1)在 360 内第一象限角可表示为 0 ? ? ? 90 ; (2)与 0 ,90 终边相同的角分别为 0 ? k ? 360 ,90 ? k ? 360 ,(k ? Z ) ; (3)第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合,我们表示为:

M ? ? ? | k ? 360 ? ? ? 90 ? k ? 360 , k ? Z ? .
学生讨论, 归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法:

P ? ? ? | 90 ? k ? 360 ? ? ? 180 ? k ? 360 , k ? Z ? ; N ? ?? | 90 ? k ? 360 ? ? ? 180 ? k ? 360 , k ? Z ? ; Q ? ?? | 270 ? k ? 360 ? ? ? 360 ? k ? 360 , k ? Z ? .
说明:区间角的集合的表示不唯一. 例5 解:当 ? 终边落在 y ? x( x ? 0) 上时,角的集合为 ? | ? ? 45 ? k ? 360 , k ? Z ; 当 ? 终边落在 y ? ? x( x ? 0) 上时,角的集合为 ? | ? ? ?45 ? k ? 360 , k ? Z ;

?

?

?

?

所以,按逆时针方向旋转有集合: S ? ? | ?45 ? k ? 360 ? ? ? 45 ? k ? 360 , k ? Z 例6 解:(1) 变式练习: 解:(1) 例7 解: (1)108?;(2)200.5?;(3)114.6?;(4)45?. 变式练习: 解: (1)15?; (2)-240?; (3)54?. 例8

?

?

7 1 ?; ? ;(4) 0.375? . (2) 0.0625 ? ;(3) 5 6 1 7 20 ?. ?; (2) ? ? ;(3) 6 3 8

10

解:因为 2R+2R=8,所以 R=2,S=4. 拓展提升 1.解:2 小时 40 分= 8 小时,? ?180 '? 8 ? ?480 .
3
3

故分针走过的角为 480 . 2. C 6.C 7. B=D,C=E 8.答案:A= 3. 一或三 4. 5. C

.

? ? 7? ; B= ;C= 5 3 15

9.答案:

25? 2

10.答案: ? ? 2, AB ? 4 sin 1

11.解:(1)∵



∴与

角终边相同的角是

角,它是第三象限的角;

(2)∵



∴与

终边相同的角是

,它是第四象限的角;

(3)



所以与

角终边相同的角是

,它是第二象限角.

11


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