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山东省淄博实验中学2016届高三数学4月教学诊断考试试题 理(扫描版)


山东省淄博实验中学 2016 届高三数学 4 月教学诊断考试试题 理 (扫描版)

1

2

3

淄博实验中学高三年级第二学期教学诊断考试参考答案
一. 选择题 CCBAB BDDAC

4

二. 填空题 11.

1 3

12. 4

13.

3

14.

? 1? ? 0, ? ? 2?

15. ①③④

三. 解答题

?m m??n n ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 16.解析: (Ⅰ) f f( ( xx ))?

r r

1 3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? 2 2 2 2
4分

?

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 6 2 2

由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z 得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ?Z 6分

∴ f ( x ) 的单调递增区间为得 [k? ?

?

,k? ? ] , k ? Z . 6 3

?

(Ⅱ)∵

f(

? ? A ? 3 又 0 ? A ? ,∴ A ? ? ) ? sin A ? 3 2 2 12 2
① 9分 , ②

8分

∵ 2sin C ? sin B .由正弦定理得 b ? 2c,

2 2 ∵ a ? 3 ,由余 弦定理,得 9 ? b ? c ? 2bc cos

?
3

10 分

解①②组成的方程组,得 ? 综上 A ?

?c ? 3 . ?b ? 2 3
12 分

?
3

,b ? 2 3 ,c ? 3.

17.解析: (1)证明:连接 MC 交 BN 于 F ,连结 EF , 由已知可得 ABCD 是平行四边形

? F 为 BN 的中点
由 E 的 AB 中点得: EF // AN ∵ AN ? 平面 MEC ; EF ? 平面 MEC ∴ EF // 平面 MEC ; (2)解:由题意可如图建立空间直角坐标系由 D ? xyz ,则 D(0,0,0), E( 3,0,0) ,

??? ? ??? ? C(0, 2,0), N(0,0,1) ,设 P( 3, ?1, t), 其中0 ? t ? 1,故 PE ? (0,1, ? t), EC ? (? 3, 2,0)

5

? ??? ? ? ? n ? PE ? y ? zt ? 0 ? PEC 的法向量 n ? (x, y,z) ,则 ? ? ??? ? 设面 ? ?n ? EC ? ? 3z ? 2 y ? 0

???? ? 3, 令x ? 2,得n ? (2, 3, ) 易知 DN ? (0,0,1) 为平面 DEC 的一个法向量, t ,
? ???? ? 故 cos ? cos ? n?DN ? ? 6 3 t 4?3? 3 t 7 . 7

得t ?

所以在线段 AM 上存在点 P 此时 AP ?

,使二面角 P ? EC ? D 的大小为

?
6



7 . 7

18.解析: (1)记“甲考核为优秀”为事件 A ,“乙考核为优秀”为事件 B ,“丙考核为优 秀”为事件 C ,“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为 事件 D . 则 P( D ) ? 1 ? P( ABC ) ? 1 ? P( A) P( B ) P(C ) ? 1 ? (2)由题意,得 X 的可能取值是 3,4,5,6. 因为 P ( X ? 3) ? P ( ABC ) ? P ( A) P ( B ) P (C ) ?

1 1 1 44 ? ? ? . 5 3 3 45

1 , 45 8 P( X ? 4) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? , 45 4 P( X ? 5) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? , 9 16 P( X ? 6) ? P ( ABC ) ? P ( A) P ( B ) P (C ) ? , 45

所以 X 的分布列为:

X
P

3

4

5

6

4 8 16 9 45 45 4 1 8 16 77 . E ( X ) =3× +4× +5× +6× = 9 45 45 45 15

1 45

19.解析: (1)由 a n?1 ?

an a ?3 1 3 得 ? n ? 1? an ? 3 an?1 an an
3分



1 a n ?1

?

1 1 1 ? 3( ? ) 2 an 2



1 1 3 ? ? a1 2 2

6

所以 ?

? 1 1? 3 ? ? 是以 为首项,3 为公比的等比数列. 2 ? an 2 ?
1 1 3 n?1 3n ? ? ?3 ? an 2 2 2
n

5分

所以

2 6分 3 ?1 n (3) bn ? n ?1 7分 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 0 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 ? n ? n ?1 2 2 2 2 2
即 an ?

Tn 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n 2 2 2 2 2
两式相减得

Tn 1 1 1 1 1 n?2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n 2 2 2 2 2 2 2
9分

Tn ? 4 ?

n?2 2 n ?1 2 2 n ?1

? (?1) n ? ? 4 ?

?? ? 3 2 n ?1 2 若 n 为奇数,则 ? ? ? 4 ? n ?1 ? ?? ? 2 ? ? ? ?2 2 ? ?2 ? ? ? 3 12 分
20. 解: (Ⅰ)因为若抛物线 y ? 4 x 的焦点为 ?1, 0? 与椭圆 C 的一个焦点重合,所以
2

若 n 为偶数,则 ? ? 4 ?

2

c ? 1 ???1 分
又因为椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形,所以 b ? c ? 1 故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1, 2
2 3
??3 分

2 2 “相关圆” E 的方程为 x ? y ?

(Ⅱ) (i)当直线 l 的斜率不存在时,不妨设直线 AB 方程为 x ?

6 , 3
?????4 分

则 A?

? 6 6? ? 6 ? 6? , , B , ? 所以 ?AOB ? ? ? ? ? 3 3 ? ? 3 2 3 ? ? ? ? ?

当直线 l 的斜率存在时,设其方程设为 y ? kx ? m ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?
7











? y ? kx ? m ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?2



x2 ? 2(kx ? m)2 ? 2

,



(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 , ????5 分
△= 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 8(2k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ,即 2k 2 ? m2 ? 1 ? 0

(*)

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
因 为 直 线 与 相 关 圆 相

?????6 分









d?

m 1? k 2

?

m2 2 ? 3m2 ? 2 ? 2k 2 ? 2 1? k 3

?????8 分

? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 3m 2 ? 2k 2 ? 2 ?0 1 ? 2k 2

(1 ? k 2 )(2m2 ? 2) 4k 2 m2 ? ? m2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

?

??? ? ??? ? ?OA ? OB

??AOB ?

?
2

为定值

?????8 分

(ii) 由于 PQ 是 “相关圆” 的直径, 所以 S?ABQ ? 面积的取值范围,只需求弦长 AB 的取值范围 当直线 AB 的斜率不存在时,由(i)知 AB ?

1 6 所以要求 ?ABQ AB PQ ? AB , 2 3

2 6 3

????9 分

因为 | AB |? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? (1 ? k )
2 2 2

8(2k 2 ? m2 ? 1) (1 ? 2k 2 )2

?? ?10 分

?

8 4k 4 ? 5k 2 ? 1 8 k2 ? 4 ? [1 ? ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1
8 1 1 1 1 [1 ? ] 为 4k 2 ? 2 ? 4 ? 8 所以 0 ? ? , 1 1 k 3 4k 2 ? 2 ? 4 4k 2 ? 2 ? 4 8 k k

① k ? 0 时 | AB |?

8

所以

2 8 8 1 6 ?| AB |? 3 ? [1 ? ] ? 3 ,所以 1 3 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k

k ??
当且仅当

2 2 时取“=”
2 2 6 6 ?| AB |? 3 .|AB |的取值范围为 3 3

?????11 分

②当 k ? 0 时, | AB |?

???12 分

?4 ? ? ?ABQ 面积的取值范围是 ? , 2 ? ?3 ?
???13 分

??

21.解析: (1)由已知 所以

,又 ,解得



即 设 ,即



若 若

, ,方程

,这与题设 的判别式 ,

矛盾(舍) ;



,即

时,





单调递减,

,即不等式成立;



时,方程

的根



单调递增,

,与题设矛盾(舍) ;

综上所述,



9

证明:由(2)知,当 不妨令 故 令 k=1,2,3? 累加即得结论。 ,所以

时,

成立,

10


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